Cosmologie : tenseur de Riemann

[invite9f69a44f]

Bonjour à tous,

Pourquoi le fait que l'Univers soit homogène et isotrope implique que la métriqe est de la forme

ds ² = - dt ² + a(t) g_ij (u) duⁱdu^j (1)

où t est la coordonnée de temps, u la coordonnée d'espace (coordonnées comobiles), g _{i j} la métrique associée et a(t) le facteur d'échelle.


Autre question :
Pourquoi est-ce qu'alors la métrique 3D vérifie la relation suivante ?

⁽³⁾ R _{i j k l} = k ( g _{i k} g _{j l} - g _{i l} g _{j k} ) (2)

où k est une constante et l'indice (3) sur le tenseur de Riemann nous rappelle que c'est une métrique 3D (g _{i j} n'est donc pas la métrique de l'espace temps).

[invite9c9b9968]

SAlut,

L'univers homogène et isotrope implique que les sections spatiales sont maximalement symétriques, donc en introduisant les vecteurs de Killing tu aboutis à cette forme de la métrique (métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker).

Plus prosaïquement, les sections spatiales sont de signature euclidienne, et il y en a de trois types : univers "plats" (euclidien classique), univers "fermés" (sections spatiales sont des 3-sphères), univers "ouverts" (hyperbolique).

De là tu peux réécrire la partie spatiale de la métrique en coordonnées sphériques, faisant apparaître ta constante k, qui est soit nulle, soit égale à 1, soit égale à -1 (plat, fermé, ouvert).

Tu en déduis alors par le calcul ta relation sur le tenseur de Riemann, ce qui devrait d'ailleurs te donner la relation sur le tenseur de Ricci.

[invite9f69a44f]

SAlut,

L'univers homogène et isotrope implique que les sections spatiales sont maximalement symétriques, donc en introduisant les vecteurs de Killing tu aboutis à cette forme de la métrique (métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker).

Plus prosaïquement, les sections spatiales sont de signature euclidienne, et il y en a de trois types : univers "plats" (euclidien classique), univers "fermés" (sections spatiales sont des 3-sphères), univers "ouverts" (hyperbolique).

De là tu peux réécrire la partie spatiale de la métrique en coordonnées sphériques, faisant apparaître ta constante k, qui est soit nulle, soit égale à 1, soit égale à -1 (plat, fermé, ouvert).

Tu en déduis alors par le calcul ta relation sur le tenseur de Riemann, ce qui devrait d'ailleurs te donner la relation sur le tenseur de Ricci.

Tu pourrais expliciter les calculs car je galère pas mal ou alors m'indiquer une biblio où ces différents calculs sont présentés ?

Merci par avance
Max

[invitea29d1598]

salut,

regarde par exemple le début du cours de cosmo de Ruth Durrer

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Salut!

Je ne savais pas que Dürrer avait ses cours en ligne. Cependant, pour l'avoir eue comme professeur, je peux t'annoncer que du point de vue mathématique, cela risque d'être bien; par contre, ses cours sont toujours assaez "déconnecté" de la physique (au moins en première approche).

Elle a tendance a privilégié l'approche mathématique que purement physique.