Sur la notion de courbure, un petit repost :
Commençons en 1D : pour caractériser la courbure d'une... courbe, par exemple un virage sur une autoroute (en rouge ci dessous), on fait appel à la notion de rayon de courbure R. En chaque point on définit le rayon du cercle tangent à la courbe (appelé cercle osculateur).
source
La courbure X c'est tout simplement l'inverse du rayon de courbure:
X=1/R
Plus le rayon R est petit, plus la courbure X est grande.
Si R est nul, la courbure n'est pas définie, on a un point anguleux. Inversement, une droite bien rectiligne se definit par un rayon de courbure infini et X est nulle, comme on s'en doutait. Que le virage aille à droite ou a gauche est indifférent et R est toujours positif. In fine, X est donc seulement positive ou nulle en 1D.
En 2D maintenant. Sur une nappe on se représente en chaque point le plan tangent à la nappe. Et, pointant orthogonalement à ce plan, en tout point, un vecteur normal h. En suivant un chemin fermé quelconque parcourant la nappe si h revient en son point initial identique à lui même, la nappe est dite orientable (ça a un sens de définir une direction et son opposée). S'il revient inversé, c-a-d pointant dans la direction opposée à celle de départ, cas du ruban de Moebius, la nappe est dite non orientable.
Faisons maintenant passer un plan selon h, cad un plan normal à la nappe. Son intersection avec la nappe définit un arc (une section) le long duquel, en chaque point on peut définir une courbure dans le sens de précédemment (1D). Mais comme c'est en 2D qu'on travaille, en chaque point de cet arc, on peut regarder ce qui se passe si on tranche la nappe perpendiculairement, et mesurer le rayon de courbure et la courbure tout pareille : on a donc 2 courbures possibles.
Ajoutons à cela, si la surface est orientable, que le rayon de courbure peut se situer d'un côté ou de l'autre de la nappe. Aussi le rayon de coubure et la courbure, son inverse, ont un signe, positif ou négatif : X est donc négative, positive ou nulle en 2D.
Bien. Considérant la nappe en un point donné, on va essayer de la trancher de manière à ce que le rayon de coubure soit le plus petit possible et la courbure correspondante maximale. Tchac, on tranche on mesure et on obtient R1 le rayon et X1 = 1/R1 son inverse, la courbure principale.
Première chose remarquable, il se trouve que le rayon de courbure R2 obtenue en tranchant perpendiculairement en ce point est, lui, maximal, et la courbure X2 correspondante, minimale.
Avec 2 nombres comme X1 et X2 on peut s'amuser.
En les combinant, on va définir deux types de courbures.
H, la courbure moyenne est la moyenne de X1 et X2
H=(X1+X2)/2
et K, la courbure de Gauss, leur produit.
K=X1.X2
Voyons ce que cela donne dans un cas concret. Disons un cylindre et une sphère de rayon r.
Commençons par le cylindre. La courbure principale est la section du cylindre, un cercle de rayon r. Perpendiculairement à cette section, j'ai la génératrice du cylindre qui est une droite.
J'ai donc X1 = 1/r et X2 = 0.
Ce qui me donne
H = 1/2r
K = 0
Pour la sphère, j'ai X1 = X2 = 1/r
H = 1/r
K = 1/r²
On mesure ainsi que la courbure moyenne d'une sphère est deux fois plus forte que celle d'un cylindre. Ca correspond bien à l'intuition (puisque la sphère est courbée selon deux direction contre une seule dans le cas du cylindre). Plus surprenant on mesure que la courbure de Gauss est nulle dans le cas du cylindre.
Or, la signification profonde d'une courbure de Gauss nulle, c'est la propriété de la nappe à accepter des projections sans déformation d'angle depuis un plan. Si la courbre de Gauss n'est pas nulle, on ne peut pas passer du cas euclidien (le plan) à la nappe sans déformer les angles ou les surfaces.
On peut ainsi couvrir un cylindre avec une feuille de papier sans faire de pli. Mais on ne peut emballer une orange sans froisser le papier.
La courbure de Gauss est donc intrinseque, elle influe sur la géométrie que l'on peut tracer sur la nappe.
Si K =0 on a quelque chose d'euclidien. Un cylindre est donc euclidien bien que apparemment courbé.
Si K > 0, cela signifie que les 2 rayon de courbures, R1 minimal et R2 maximal en chaque point, sont du même côté de la nappe (ils sont soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs, selon le sens arbitraire selon lequel on a orienté la nappe). C'est le cas de la sphère.
Si K < 0 cela signifie que en un point une des ligne de courbure est positive et l'autre perpendiculairement est négative. C'est le cas de la selle de cheval.
Et après, on généralise en trois dimensions...
--
Dans le cas de l'univers et selon la théorie de la relativité générale, il existe une relation entre taux d'expansion, la courbure spatiale et densité d'énergie.
Pour un univers homogène et isotrope, c'est donné par l'équations de Friedmann :
 = \frac{8 \pi G}{c^4} \rho )
avec H le taux d'expansion (ou cte de Hubble, H = 72 km/s/megaparsec ), G la cte de gravitation, K/a
2 la courbure spatiale, ρ la densité d'énergie (en Joule/m
3). On définit sur cette base une densité critique d'énergie ρ
c, telle que la courbure est nulle :
soit une densité critique
de l'ordre de 10
-11 J/m
3
Le ratio de la densité d'énergie d'une espèce de particules (matière, rayonnement, matière noire, énergie sombre...) peuplant l'univers avec la densité critique permet de définir un paramètre de densité adimensionné
. On va noter
la somme de toutes ces contributions.
Selon le même principe on peut définir un paramètre de courbure
de telle sorte que l'équation de Friedmann s'écrive sous cette forme simplifiée.
Ainsi, en mesurant un des deux termes, on peut connaitre l'autre, puisque leur somme donne 1. Les données les plus précises sur la courbure spatiale de l'univers sont celles issues de l'analyse des anisotropies du fond diffus cosmologique et donne un
proche de zéro, donc un
proche de 1.
a+
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