Problème amusant relié à la cosmologie

[invite8c514936]

Bonjour,

Pour perturber ceux d'entre vous pendant leurs révisions ( ), je vous propose un petit problème relié à la cosmologie... La question revient souvent dans ce forum de savoir si la vitesse de la lumière est constante dans un Univers en expansion, et si on peut voir un objet situé à plus de 14 années-lumière dans un Univers âgé de 14 annes-lumière...

Je ne vais pas rediscuter de ça ici, je voudrais juste vous soumettre le petit problème suivant, qui en apparence n'a pas grand-chose à voir avec ce que je viens d'évoquer, on aura l'occasion (j'espère) d'y revenir...

Vous êtes en bas d'un escalier qui comporte 10 marches. A chaque pas que vous faites sur cet escalier, le nombre de marches est multiplié par deux (ceux qui ont vu le film "Dark City" se souviennent peut-être 'une scène de ce type...), l'augmentation de taille de l'escalier étant homogène : si vous êtes au tiers de l'escalier avant ll'augmentation, vous restez au tiers après l'augmentation, l'escalier ayant gangé des marches devant et derrière vous, proportionnellement au nombre de marches qui s'y trouvaient déjà...

La question est simple : arriverez-vous un jour en haut de l'escalier ? (si oui, en combien de pas ?)

Si ça peut vous motiver, imaginez votre plus beau rêve en haut de l'escalier... C'est Jimy Page qui m'a soumis le problème, un jour...

[yat]

Ca ressemble au problème de la puce sur la laisse élastique... sauf que là, la longueur de la "laisse" augmente exponentiellement et plus linéairement.

Et puis là, en l'occurence, il me semble fort improbable qu'on puisse s'approcher du bout, parce qu'il restera toujours de plus en plus de marches à parcourir...
Bon, on va essayer de dire ca plus clairement : Si le nombre de marches est multiplié par deux et que la proportion de marches devant et derrière reste constante, alors le nombre de marches qui restent à monter est lui aussi multiplié par deux. J'appelle U_n le nombre de marches qu'il reste à monter quand on a fait n pas. à n=0, U_n=10.
D'après l'énoncé, U_n+1=2U_n-1. On peut donc vérifier par récurence que U_n=9*2ⁿ+1, et ça m'étonnerait que ça tende un jour vers zéro...

[invite88ef51f0]

Salut,

ça m'étonnerait que ça tende un jour vers zéro...

Même en montant les marches deux par deux...

Saleté d'ascenseur toujours en panne quand il faut pas !

[yat]

Oups, je viens de me rendre compte que c'était un sondage (pas bien réveillé, moi). Peut-être qu'il fallait se contenter d'une réponse sans justification histoire de ne pas influencer les autres...
...si c'est le cas et qu'un gentil modo veut bien rectifier le tir...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51605009]

Je ne suis aps d'accord avec toi yat. Je pense que ca rejoint l'engime que j'avais posté il y a queqlue temps du chien et de la puce (http://forums.futura-sciences.com/sh...t=chien+engime)
Alors je pense que oui, on arrive en haut, au bout de combien de temps, j'en sais rien
a+
ben

[yat]

Je ne suis aps d'accord avec toi yat. Je pense que ca rejoint l'engime que j'avais posté il y a queqlue temps du chien et de la puce (http://forums.futura-sciences.com/sh...t=chien+engime)
Alors je pense que oui, on arrive en haut, au bout de combien de temps, j'en sais rien
a+
ben

Oui, j'ai bien précisé que ça ressemblait à cette énigme (merci d'avoir retrouvé le lien).
Mais ce n'est pas la même, celle-ci est bien plus simple. Si tu n'es pas d'accord avec ma réponse, tu dois bien pouvoir trouver l'erreur dans mon raisonnement, non ? Mais pour moi le simple fait de comprendre qu'à chaque marche franchie, il en restera deux fois plus qu'avant -1 suffit à se rendre compte qu'on arrivera jamais au bout.

[invite51605009]

Oui, j'ai bien précisé que ça ressemblait à cette énigme (merci d'avoir retrouvé le lien).
Mais ce n'est pas la même, celle-ci est bien plus simple. Si tu n'es pas d'accord avec ma réponse, tu dois bien pouvoir trouver l'erreur dans mon raisonnement, non ? Mais pour moi le simple fait de comprendre qu'à chaque marche franchie, il en restera deux fois plus qu'avant -1 suffit à se rendre compte qu'on arrivera jamais au bout.

Oups désolé déja j'avais pas lu tes deux premières lignes (ou tu parlais de la laisse, j'avais lu le reste par contre).
Je ne vois pas d'erreur dans ton raisonnement à première vue (d'ailleurs ta réponse semble la plus logique je l'admet), mais dans le même temps en quoi est-ce réellement différent du problème de la puce.

A chaque fois qu'on avance, l'escalier s'allonge. Mais il ne peut pas y avoir de "marche limite" (que l'on ne pourra pas dépasser) puisque à chaque fois on peut monter encore un peu.
Au final, il n'y a pas de marche limite, donc on peut arriver au bout.
Moi je vois ca comme ca...
Non ? Es-tu d'accord qu'il ne peut y avoir de "marche limite" ?
Je pense qu'il faut bien prendre en compte cette phrase

l'augmentation de taille de l'escalier étant homogène : si vous êtes au tiers de l'escalier avant ll'augmentation, vous restez au tiers après l'augmentation, l'escalier ayant gangé des marches devant et derrière vous, proportionnellement au nombre de marches qui s'y trouvaient déjà...

Donc ca ressemble bien à la laisse...Dasn ton raisonnement ne considères tu pas que à chaque fois il y 2 marches qui aparaissent devant ?

a+
ben

[invite88ef51f0]

Si tu numérote les marches depuis le bas, le numéro de ta marche est strictement croissant, mais le numéro de la dernière marche tend vers l'infini et plus vite...

[invite51605009]

Si tu numérote les marches depuis le bas, le numéro de ta marche est strictement croissant, mais le numéro de la dernière marche tend vers l'infini et plus vite...

Justement, je n'en suis aps si sûr !

l'augmentation de taille de l'escalier étant homogène : si vous êtes au tiers de l'escalier avant ll'augmentation, vous restez au tiers après l'augmentation, l'escalier ayant gangé des marches devant et derrière vous, proportionnellement au nombre de marches qui s'y trouvaient déjà...

Plus tu avances, moins de marches apparaissent devant...

[yat]

Plus tu avances, moins de marches apparaissent devant...

Ah non, ce n'est pas vrai.

[invite51605009]

Pourquoi ...?
(je veux bien te croire, mais développe un peu.... )

[yat]

mais dans le même temps en quoi est-ce réellement différent du problème de la puce.

Dans le problème de la puce l'étirement de la laisse était linéaire. Ici il est exponentiel. Le nombre de marches qu'il reste à monter sera toujours de plus en plus grand, quelle que soit sa valeur de départ.

A chaque fois qu'on avance, l'escalier s'allonge. Mais il ne peut pas y avoir de "marche limite" (que l'on ne pourra pas dépasser) puisque à chaque fois on peut monter encore un peu.
Au final, il n'y a pas de marche limite, donc on peut arriver au bout.
Moi je vois ca comme ca...
Non ? Es-tu d'accord qu'il ne peut y avoir de "marche limite" ?
Je pense qu'il faut bien prendre en compte cette phrase

En fait, c'est un peu difficile de voir le problème comme ça, parce que comme le nombre de marche change, on ne sais pas vraiment ou viennent s'insérer les marches ajoutées. Si tu considères qu'on les ajoute à la fin, alors ok chaque marche pourra nécessairement être atteinte au bout d'un moment, mais le temps qu'on l'atteigne il y en aura des nouvelles derrière.

Donc ca ressemble bien à la laisse...Dasn ton raisonnement ne considères tu pas que à chaque fois il y 2 marches qui aparaissent devant ?

Ah ben non... sinon ça serait déjà plus proche de l'autre problème (sauf qu'on n'atteindrait toujours pas le bou, puisqu'à chaque pas il restera toujours une marche de plus qu'au pas précédent), mais ici le nombre de marche qu'il reste à franchir double à chaque pas. Ca n'a pas grand chose à voir.

[invite51605009]

Attends y a-t-il une "marche limite" alors ?
Si la réponse est non, c'est bien qu'on arrive au bout à un moment !
a+
ben

[invite51605009]

Parce que si tu as 2 marches devant toi, quand tu en franchis une il en apparaitra 2, donc il en reste trois devant toi, du coup il va en apparaitre trois et il t'en restera 5 devant toi, et ainsi de suite. On ajoute à chaque fois plus de marches.

Euh non ...
Si tu 2marches devant toi, tu montes sur la première (tu es à la moitié), puis le nombre de marche double : une devant une derriere .
Donc 2 marches devant, 2 marches derriere.
et ainsi de suite...

Bref, je pense que je vais attendre deep_turtle...

[yat]

Euh non ...
Si tu 2marches devant toi, tu montes sur la première (tu es à la moitié), puis le nombre de marche double : une devant une derriere .
Donc 2 marches devant, 2 marches derriere.
et ainsi de suite...

Bah, ça ça dépend si tu dis que la multiplication se fait avant ou après que tu aies franchi ta marche. Moi je disais supérieur à 1 parce que je compte la multiplication avant. Sinon il faut dire supérieur à 2...

Donc tu as trois marches, tu en franchis une, et il t'en reste 4. Tu en franchis une il t'en reste 6... tu en franchis encore une il t'en reste 10. Tu vois, on en ajoute à chaque fois plus.

[yat]

Attends y a-t-il une "marche limite" alors ?
Si la réponse est non, c'est bien qu'on arrive au bout à un moment !
a+
ben

Non, il n'y a pas de marche limite, mais le but n'est pas d'atteindre la dixième ou la Nième, mais la dernière. A chaque pas, la dernière se trouve deux fois plus loin. C'est comme si tu essayais de rattrapper la fonction cube avec la fonction carrée. La fonction carrée atteindra toujours toute valeur fixée au départ, mais au delà de 1, elle ne rejoindra jamais la valeur de la fonction cube.

[invite7ce6aa19]

Je ne comprend pas le lien entre le problème posé, la vitesse de la lumière, l'expansion de l'Univers.

Pour moi la vitesse de la lumière se déplace toujours à la vitesse de la lumière et il en est ainsi pour toutes les particules de masse nulle.
C'est en quelque sorte structurel à la relativité (restreinte ou générale). La lumière est un invariant fondamental de la physique.

L'expansion de l'univers est du à l'évolution de la métrique espace-temps. Même si l'évolution de l'univers était très tordu, la lumière se déplace toujours selon les géodésiques à la vitesse de la lumière.

mariposa

[invite8c514936]

Je ne comprend pas le lien entre le problème posé, la vitesse de la lumière, l'expansion de l'Univers.

ce n'est en effet pas très explicite dans le message original, je voulais y revenir plus tard, mais poser la question sans la faire intervenir pour ne pas que deux choses différentes soient discutées en même temps. Ceci dit voici ce que j'avais en tête :

Le nombre de marches montées peut correspondre au temps qui s'est écoulé (la vitesse de la lumière étant constante, on peut s'en servir d'horloge).

Le haut et le bas de l'escalier peuvent correspondre à deux objets ayant des positions comobiles fixes disons notre amas de galaxies et un autre amas.

Le nombre de marches total peut représenter la distance physique entre ces objets (distance comobile multipliée par un facteur d'échelle). Ici l'expansion est exponentielle, ce qui selon les modèles actuels sera bientôt le cas de notre Univers...

La question peut alors se traduire par "la lumière émise par un des objets atteindra-t-elle l'autre un jour ?".

[invite38f62917]

C'est beau les mathématiques...
Personnellement, j'ai fait un dessin de 10 marches, une croix sur la première marche pour le premier pas et j'ai ajouté 9 marches à mon escalier, puis une croix sur la deuxième marche et j'ai ajouté 17 marches à mon escalier... Et en fait au bout de la troisième marche, j'avais plus de place sur ma feuille, j'en ai donc conclu que je n'y arriverais pas et j'ai voulu descendre de l'escalier...
Je me suis retournée et au lieu d'y avoir deux marches derrière moi (enfin devant maintenant), il y en avait 5. Je suis descendue d'une marche et là 4 autres marches sont apparues.

Du coup, je suis coincée sur mon escalier, j'ose plus bouger...

[invite8c514936]

Ton message m'a bien fait rire, je t'imagine toute penaude au milieu de ton escalier géant en te demandant pourquoi diable tu as commencé à mettre le pied dessus...

Bon, pour ne pas me faire supprimer mon message par ces intégristes de modérateurs, je vais dire un mot de cosmologie : ta remarque montre en effet qu'on peut perdre le contact causal avec un autre point... On vient d'un point mais on ne porra jamais y retourner... Pendant une phase d'expansion exponentielle, la taille de l'horizon est canstante mais la distance entre les objets augment exponentiellement. Du coup, chaque objet se met à sortir de l'horizon des autres.

Ceci est assez important dans la compréhension qu'on a maintenant de la croissance des grandes structures dans notre Univers.

[invite6f044255]

Je ressuscite ce fil pour une question qui m'est venue:

si on suit la logique de ce qu'on a dit, il doit y avoir des observateurs qui voient la lumiere arriver vers eux a une vitesse differente (inferieure) de c. Puisque certains rayons n'arriveront jamais jusqu'a eux, il est impossible qu'ils voient la lumiere se deplacer a la vitesse de la lumiere vers eux, non?

[invite8c514936]

En fait, personne ne "voit" la lumière se déplacer. La lumière se déplace à une vitesse constante et quand un rayon de lumière relie une source et un astronome, l'astronome voit la source.

C'est délicat de parler de la vitesse de la lumière en un point donné pour quelqu'un qui se trouve ailleurs, dans un univers en expansion.

[invite6f044255]

C'est vrai que ma formulation etait hasardeuse... ("voir" la lumiere se deplacer)

Pourtant, es-tu d'accord pour dire que si un rayon lumineux part d'une etoile E en direction d'une planete P, mais qu'a cause de l'expansion ce rayon ne rejoigne jamais P, alors on ne peut pas dire que dans le referentiel de P, cette lumiere se deplace a c!!

C'est délicat de parler de la vitesse de la lumière en un point donné pour quelqu'un qui se trouve ailleurs, dans un univers en expansion.

C'est peut-etre ce que tu essayais de m'expliquer par cette phrase, mais je n'arrive pas a la comprendre completement je crois...

[invite6f044255]

Bon, apres reflexion et lecture, je me reponds a moi-meme (comble du narcissisme!!). Je reponds, car sait-on jamais, ca pourrait interesser quelqu'un....et parce que je n'aime pas laisser des questions en suspens.
En effet, a cause de l'expansion de l'univers -le fait que c'est la nature meme de l'espace-temps qui est modifiee- 2 objets peuvent avoir un mouvement relatif de vitesse superieure a c et ceci sans contredire la relativite.

[invite51605009]

Bon, apres reflexion et lecture, je me reponds a moi-meme (comble du narcissisme!!). Je reponds, car sait-on jamais, ca pourrait interesser quelqu'un....et parce que je n'aime pas laisser des questions en suspens.
En effet, a cause de l'expansion de l'univers -le fait que c'est la nature meme de l'espace-temps qui est modifiee- 2 objets peuvent avoir un mouvement relatif de vitesse superieure a c et ceci sans contredire la relativite.

Oui Oui ...
http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=23145 #6
http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=28535

D'ailleurs ca n'est pas exatement une vitesse physique, et je crois aussi qu'on parle plus de taux d'expansion (la constante de Hubble n'est pas homogène à une vitesse c'est genre km/s par Mégaprsec donc c'est de la forme 1/T).

Benjamin

[invite6f044255]

ARRRRF, je ne m'etais pas mis a jour sur l'oeuvre ( ) de deep-turtle!!
Bon, bah, toutes mes confuses....

Merci Bioben.