Energir potentielle de pesanteur...

[invitecd3bbc2d]

Tout d'abord, salut à tous...
En fait, je suis en train de réaliser un TPE sur les trous noirs (qui devrait être fini depuis deux semaines d'ailleurs) et j'ai un petit soucis à propos de ce que l'on appelle la vitesse de libération.
Quand on faisait un bilan d'énergie en classe de première, on l'écrivait :
Ec(x) + Epp(x) = Ec(y) + Epp(y)
et on avait Epp = mgz
Or, en première g est un constante car on ne travaille qu'au voisinage de la Terre, on en fait donc une approximation.
g(astre) = GM(astre)/d^2
Et dans tous les développements permettant d'arriver à la vitesse de libération, j'ai Ec(lib) + Epp(0) = 0.5mv^2 - mGM(astre)/d
Je ne comprends pas comment expliquer ce signe moins...
Si vous pouvez m'aider merci de le faire (je passe le 12 février lol).
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[Rincevent]

salut,

ton signe moins est tout a fait normal et vient du fait que l'energie potentielle gravitationnelle est negative. Tu as un signe + quand tu travailles avec la pesanteur car tu fais une approximation sur cette premiere energie. Pour t'expliquer ca proprement, il faut faire appel a la notion de developpement limite qui ne doit pas etre a ton programme.

voici quand meme l'idee:

le "vrai" potentiel est

Ep = - G M / r

si tu ecris que r = R + d ou d est la distance par rapport au sol (qui lui correspond a r = R), tu peux ecrire

Ep = - G M / [ R ( 1 + d/R) ] = - (G M / R) * 1 / (1 + d/R)

Or, on peut montrer que (1 + x) ^ (-1) est a peu pres egal a 1 - x si x est tres petit devant 1: l'inverse de 1 + 0.0001 est environ 0.9999.

C'est-a-dire que tu peux ecrire l'energie potentielle sous la forme

Ep quasiment egale a - G M / R + G M d / R^ 2

ou tu retrouves bien ton expression de g.

Mais plutot que de faire ca, je te conseille de faire l'exercice propre et precis avec la veritable expression de l'energie potentielle gravitationnelle (c'est un exercice qui n'est pas si dur que ca). Le voici:


pour obtenir la vitesse de liberation, tu regardes la vitesse minimale que doit avoir une masse ponctuelle m lancee depuis la surface de l'objet astrophysique de rayon R et de masse M.

puisqu'a l'infini l'energie potentielle gravitationnelle (hors de question de travailler avec l'approximation de g constant si tu parles d'un astre dont tu vas t'eloigner) est nulle, la condition que tu obtiens est que la vitesse est exactement celle permettant d'obtenir une energie totale (conservee) nulle. En effet, l'energie minimale pour atteindre l'infini est celle qui correspond au cas ou tu y arrives avec exactement une vitesse nulle: donc ni energie potentielle ni energie cinetique.

E = 0 = - G M m /R + 0.5 m v^2

(ou v est la vitesse de liberation que tu cherches) te donne donc

v = racine_carree(2 G M/ R)

tu remarques au passage que cette valeur est independante de m.

et si maintenant tu supposes que v est egale a c (cas du "trou noir Newtonien"), tu obtiens la relation

R = 2 G M / c^ 2

qui est le rayon de Schwarzschild d'un objet de masse M.

[invitecd3bbc2d]

Et bien merci grandement pour cette brillante explication
C'était la seule chose qui clochait dans mon développement.
Merci encore.