la vitesse des planètes autour du Soleil

[andretou]

Bonjour à tous
Sauf erreur de ma part, l'altitude d'un satellite est fonction de sa vitesse : plus la vitesse d'un satellite est élevée, plus son altitude est haute... Ainsi, pour ajuster l'orbite d'un satellite, on joue sur sa vitesse.
De même, l'éloignement de la Lune est provoqué par l'augmentation de son énergie cinétique (elle-même provoquée par la diminution de la vitesse de rotation de la Terre du fait des marées).
Or, apparemment, c'est le contraire qui se passe avec les planètes du système solaire. Plus la planète est proche du Soleil, plus elle tourne vite :
- Mercure 47,83 km/s
- Vénus 34,95 km/s
- Terre 29,87 km/s
- Mars 23,86 km/s
- Jupiter 13,07 km/s
- Saturne 9,68 km/s
etc...

Pourriez-vous SVP m'éclaircir sur ce point ?
Merci d'avance pour vos commentaires
André
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[vanos]

Sauf erreur de ma part, l'altitude d'un satellite est fonction de sa vitesse : plus la vitesse d'un satellite est élevée, plus son altitude est haute.

Bonjour,

Il y a erreur de ta part, et une grosse, plus un satellite est haut moins il va vite.
Il en est de même autour du Soleil et pour toutes les orbites de l'Univers.

Amicalement.

[Dynamix]

Salut

De même, l'éloignement de la Lune est provoqué par l'augmentation de son énergie cinétique

C' est son énergie potentielle qui augmente .
L' énergie cinétique diminue , mais dans une moindre mesure .

[andretou]

Mais pour faire remonter en altitude la station spatiale internationale, on augmente bien sa vitesse (donc son énergie cinétique), non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Mais pour faire remonter en altitude la station spatiale internationale, on augmente bien sa vitesse (donc son énergie cinétique), non ?

Oui, c'est le paradoxe des objets en orbites : en leur apportant de l'énergie cinétique (dans le même sens que leur mouvement) on diminue leur vitesse (mais comme indiqué par Dynamix, on augmente leur énergie potentielle de gravité, c'est là qu'est le loup).

De même, quand tu joues les Sisyphe à pousser un caillou pour lui faire remonter une pente, l'énergie cinétique que tu fournis sert essentiellement à augmenter son altitude.

[andretou]

Ok, merci à tous.
Mais juste pour être bien clair dans ma tête, est-ce qu'il serait possible de m'aider à résoudre ce problème : supposons un satellite qui orbite à l'altitude h à la vitesse v. Si on lui applique la vitesse v'>v, il passera sur une orbite h'>h.
Mais quelle sera alors sa vitesse ?

[Dynamix]

supposons un satellite qui orbite à l'altitude h à la vitesse v. Si on lui applique la vitesse v'>v, il passera sur une orbite h'>h.
Mais quelle sera alors sa vitesse ?

Si h et v était constant avant l' impulsion (brève) , h' et v' ne le seront pas .
Si l' impulsion est répartie dans le temps , la trajectoire est une spirale .
Pour voir le lien entre vitesse , altitude et énergies en orbite circulaire (le plus simple) , il faut poser l' équation .

[Papives]

Bonjour à tous,

Voici les équations utiles pour quantifier cette discussion et lever le paradoxe :
M masse du corps central , m masse du satellite , K constante de la gravitation , r distance du satellite au centre, v vitesse du satellite, W son énergie totale

1- D'abord l'orbite de départ supposée circulaire :
v0 = (KM/r)^1/2 la vitesse diminue avec le rayon de l'orbite
période de révolution T = 2π(r^3/KM)^1/2
W0 = - KMm/2r (elle est négative, l'énergie potentielle négative -KMm/r l'emportant sur l'énergie cinétique 1/2 mv² = KMm/2r)

2- Ensuite on donne une petite impulsion au satellite de force f pendant une durée dt
apport d'énergie Delta W = fvdt
nouvelle énergie W = W0 + Delta W = - KMm/2a a étant le demi grand axe de l'ellipse qui remplace l'orbite circulaire
en effet l'orbite circulaire devient une orbite elliptique sous l'effet de la poussée, le corps central restant un nœud de l'ellipse
et on se trouve au périastre de cette ellipse
on voit que l'énergie totale augmente car W > W0
si Delta W est petit on trouve a = r( 1 + Delta W / abs W0) ou bien (a-r)/r = Delta W / abs W0
abs W0 étant la valeur absolue de W0
on remarque que l'augmentation relative de "rayon" est égale à celle d'énergie totale
la vitesse v devient alors v=[KM(2/r-1/a)]^1/2
si on développe on trouve finalement v² = v0² (1 + Delta W / abs W0)
le vitesse v augmente donc bien (le paradoxe est levé)
cette augmentation relative de v² est égale à celle de l'énergie totale car (v² - v0²) / v0² = Delta W / abs W0

3- Si on poursuit l'impulsion on augmente Delta W jusqu'à ce que (a) tende vers l'infini, on a alors la libération du satellite
cela se produit pour Delta W = abs W0 soit W = 0
on trouve alors v = (2KM/r)^1/2 c'est la vitesse de libération du satellite, libération d'abord parabolique puis hyperbolique si on poursuit la poussée

(nota : pour revenir à une nouvelle orbite circulaire il faut refaire une impulsion à l'apoastre de l'ellipse)

Bonne journée

[andretou]

Bonjour à tous,

Voici les équations utiles pour quantifier cette discussion et lever le paradoxe :
M masse du corps central , m masse du satellite , K constante de la gravitation , r distance du satellite au centre, v vitesse du satellite, W son énergie totale

1- D'abord l'orbite de départ supposée circulaire :
v0 = (KM/r)^1/2 la vitesse diminue avec le rayon de l'orbite

Bonjour Papives
Merci beaucoup pour ces explications !
Ainsi la vitesse d'un satellite ne dépend pas de sa masse, mais seulement de son altitude ?!
Serait-il possible de préciser comment vous obtenez l'équation donnant v0 ?
La vitesse de chaque planète se déduit donc de cette formule, en remplaçant M par la masse du Soleil, et r par le rayon de l'orbite ?
Bien à vous
André

[Papives]

Bonjour Andretou,

En effet la masse du corps en rotation circulaire uniforme sous l'effet d'une force de gravité n'a pas d'influence sur sa vitesse, seuls la masse du corps attirant et le rayon interviennent.
Pour calculer v0 on utilise le principe fondamental de la dynamique f = mϒ avec f force et gamma accélération.

Dans notre cas, f = KMm/r² avec f force d'attraction, K constante gravitationnelle, M masse du corps attirant, m masse du corps en rotation et r rayon.
Pour calculer ϒ (l'accélération) on part de la position de m dans un repère fixe orthonormé soit x = rcosθ et y = rsinθ.
Sa vitesse est donc par dérivation vx = -r.sinθ.dθ/dt et vy = r.cosθ.dθ/dt soit -ωrsinθ et ωrcosθ avec ω = dθ/dt (vitesse angulaire)
On notera que sa valeur est égale à v = ωr
Son accélération ϒ est donc par dérivation ϒx = -ωrcosθ.dθ/dt et ϒy = -ωr.sinθ.dθ/dt soit -ω²rcosθ et -ω²rsinθ
Cette dernière est donc un vecteur suivant mM et de valeur ω²r = v²/r

On écrit le principe fondamental de la dynamique KMm/r² = mω²r = mv²/r soit enfin v² = KM / r ou encore v = (KM / r)^1/2
La période de révolution T = 2πr / v = 2π(r^3/KM)^1/2

On peut appliquer la formule au cas de la Terre autour du Soleil
M = 1,9891.10^30 Kg K = 6,670.10^-11 USI r = 149597870000 m ce qui donne T = 365,31 jours
On peut bien sur l'utiliser pour les satellites autour de la Terre.

Voilà, bonne journée
(je reste disponible pour toute question)

[mach3]

Ainsi la vitesse d'un satellite ne dépend pas de sa masse, mais seulement de son altitude ?!

oui, tant que la masse du satellite est négligeable devant celle de l'astre autour duquel il orbite : on peut ainsi faire l'approximation que l'astre central ne bouge pas et que le barycentre du système astre-satellite est au centre de l'astre.

Serait-il possible de préciser comment vous obtenez l'équation donnant v0 ?

Pour une orbite circulaire, la vitesse est telle que , avec a l'accélération et r la distance au centre du cercle parcouru (c'est seulement local -on parle de cercle tangent- et concerne une trajectoire perpendiculaire à l'accélération, mais comme la trajectoire est circulaire, c'est valable tout le temps ici). L'accélération étant donnée par la 2e loi de Newton : , avec F la somme des forces appliquées au satellite et m sa masse. Il n'y a dans notre cas qu'une seule force, la gravitation : et donc l'accélération est a=GM/r².
On a donc, en définitive , donc .

v est donc fixé par a, lui même fixé par r. Si la vitesse est plus élevée pour une même distance (donc même accélération), cela signifie que le r de est plus grand : ce n'est plus la distance au centre de l'astre, mais cela reste le rayon du cercle localement parcouru par le satellite : ce cercle est plus grand, son centre est donc plus loin que le centre de l'astre. Avec un simple dessin (deux cercles tangents, avec l'astre au centre du plus petit et le plus grand parcouru, au moins localement, par le satellite), on voit bien que la conséquence directe est que la distance du satellite au centre de l'astre se met à augmenter. Inversement si la vitesse est plus petite.
La solution de ce cas de figure n'est pas facile à trouver, mais il s'agit d'une ellipse, avec l'astre à l'un des foyers. Au periastre (point de l'ellipse le plus proche de l'astre), la vitesse orbitale est plus élevée que pour un satellite sur une orbite circulaire située à la même distance, alors qu'à l'apoastre (point le plus éloigné), c'est le contraire.
Concrètement, la manière la plus simple et économique (mais pas la plus rapide) pour passer d'une orbite circulaire à une autre, plus grande, consiste à faire une première poussée pour augmenter la vitesse et passer à une orbite elliptique, dite de transfert, dont le périastre est à une distance égale au rayon de l'orbite de départ et l'apoastre à une distance égale au rayon de l'orbite d'arrivée. Une fois arrivé à l'apoastre de cette orbite de transfert, on effectue une seconde poussée, afin d'atteindre une vitesse telle que , pour circulariser l'orbite.
Sur ce point vous pouvez regarder : https://fr.wikipedia.org/wiki/Orbite_de_transfert
Mais si vous lisez l'anglais, celle-ci est meilleure : https://en.wikipedia.org/wiki/Hohmann_transfer_orbit

m@ch3

PS : croisement