Vitesse de l'expansion.

[Nicophil]

Bonjour,

Je suppose que Luminet reste quand même très critique des modèles d'inflation primordiale ?
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[Andrei2010]

Je suppose que Luminet reste quand même très critique des modèles d'inflation primordiale ?

"Très critique", c'est très exagéré Disons plutôt qu'il formule des réserves

Pour lecture, son interview évoquant l'inflation dans le modèle d'univers ayant la forme d'un dodécaèdre de Poincaré (le fameux "Modèle PDS")

Une dernière question. Quid de l’inflation avec un modèle PDS ? Elle ne s’impose plus, et même, est-elle compatible avec ce genre de modèle de petit univers ?

Jean-Pierre Luminet : C’est une vaste question. Tout d’abord, il n’est pas vrai que le PDS permet de se passer de l’inflation pour expliquer l’homogénéité de l’Univers. Pour cela, il faudrait que celui-ci soit vraiment plus petit que ce que nous disent d’autres observations. Le point qui me semble le plus important, pour ce qui concerne la théorie de l’inflation, est qu’elle produise naturellement le bon spectre de fluctuations primordiales, et ce pour expliquer la formation des galaxies et leur rassemblement en amas pour donner les structures à grande échelle que nous observons. Toutefois, il ne faudrait pas croire que cela soit la seule possibilité. Il existe des alternatives à l’inflation qui produisent, elles aussi, un bon spectre de fluctuations.

Si l’inflation a bien eu lieu, elle ne peut pas avoir été trop importante dans le cadre d’un modèle PDS plus petit que l’horizon. En termes techniques, l’e-folding, la puissance de l’exponentielle donnant la valeur de l’étirement de l’espace lors de la phase inflationnaire, devrait être de l’ordre de 60 environ. Ce résultat est en fait assez général pour des Univers clos.

Il se trouve qu’Andrei Linde a étudié des modèles clos et à topologie multiplement connexe. Il a montré que moyennant quelques ajustements fins, ceux-ci étaient parfaitement compatibles avec l’inflation. Il a étudié en particulier des modèles clos dont la courbure est nulle, voire négative, mais avec une topologie non triviale. Sa conclusion est que ce genre de modèle pourrait être la règle plutôt que l’exception dans le cadre de la cosmologie quantique. La théorie de l’inflation est extraordinairement flexible, peut-être trop d’ailleurs...)

L'intégralité de l'interview est disponible là : http://www.futura-sciences.com/magaz...rs-fini-14589/

[papy-alain]

Cet interview date de 2008, bien avant les observations de Planck. J'ignore s'il est toujours du même avis aujourd'hui.
Après, j'ai lu plusieurs interviews de différents physiciens qui sont très prudents concernant la partie du modèle qui décrit la période de l'inflation cosmique. Il y aurait encore beaucoup d'incertitudes à ce sujet et le modèle est encore en attente d'améliorations.

[Lansberg]

En juin 2016, JP Luminet parlait toujours de son modèle même si les signatures attendues n'apparaissent pas dans les données du satellite Planck (ni dans celles de WMAP d'ailleurs. Du moins pas franchement).
La valeur de la courbure de l'univers étant comprise entre -0,0029 et +0,008 (avec 95% de confiance), rien n'est exclu pour l'instant.

[dextroy]

Bonjour tout le monde,

Je tiens à préciser que ce forum d’astrophysique est formidable : je n’ai la plupart du temps pas besoin de poser des questions, car les discussions qu’y s’y tiennent y répondent toutes, et en outre dépassent de loin ce que je pouvais imaginer.
Les intervenants sont donc très pédagogues, et très bien renseignés, un grand merci à eux. (et admiration de ma part…)
Je préfère toujours laisser le dernier mot à celui qui sait, afin de laisser sa réponse comme conclusion. C’est la raison pour laquelle je remercie d’avance dès à présent.
Cependant, une petite interrogation me tracasse depuis peu :

Richard Taillet l’explique, on est amené à décrire l’univers mathématiquement comme une surface (vidéo)
https://www.youtube.com/watch?v=2NUUoOKfcGg
Car tenter de se représenter mentalement un espace en 4 dimensions est si difficile que l’on préfère se le représenter mentalement en 2 dimensions, comme la surface d’une table (un plan).
La courbure de l’espace-temps (c’est à dire la manière dont cette table est bombée), serait quasiment plate.
Peut-être un peu sphérique, ou au contraire peut-être bombée dans l’autre sens.
C’est ce “au contraire” qui me pose problème.
Car il me semble que si l’on considère la surface d’une sphère, elle est la même à l’extérieur, qu’à l’intérieur.
Je ne comprends donc pas la différence entre un univers dont la courbure serait positive (surface externe de la sphère) et un univers dont la courbure serait négative (surface interne de la sphère).

Or, j’ai imaginé que l’on dessinait un grand triangle sur la surface de la sphère. Et comme la sphère est … sphérique, la somme des angles de ce triangle est supérieure à 180 degrés.
Ce triangle pourrait représenter une région dans l’univers visible par exemple.
Imaginons que cette sphère soit transparente et qu’on ait dessiné le triangle dessus au marker : Que ce soit à l’extérieur ou à l’intérieur de la sphère, c’est bien le même triangle, avec la somme de ses angles supérieure à 180 degrés.

Maintenant, il me semble qu’à y réfléchir davantage, j’aurais trouvé la réponse à mon interrogation :
… après tout, la courbure est peut-être nulle, c’est-à-dire que l’univers serait “plat”. (et éventuellement infini, mais bon, ce n’est pas mon propos).
Ainsi, je dessine mon triangle non pas sur une sphère (qui serait déjà le résultat de la courbure de cet espace), mais sur un plan bel et bien plat. (avant application d’une éventuelle courbure).
Et ensuite seulement j’applique une courbure.
Alors effectivement 2 cas de figure sont possibles :
- Soit la courbure s’est faite de façon positive : le triangle se trouve sur la surface extérieure de la sphère, et alors la somme de ses angles sera supérieure à 180 degrés.
- Soit la courbure s’est faite de façon négative : le triangle se trouve sur la surface intérieure de la sphère, et alors la somme de ses angles sera inférieure à 180 degrés.
Alors, j’ai donc l’explication concernant la différence entre courbure positive et courbure négative, du moins, du point de vue de la représentation mentale.

Voilà, merci d’avance pour votre patience…

[Gilgamesh]

Bonjour tout le monde,

Je tiens à préciser que ce forum d’astrophysique est formidable : je n’ai la plupart du temps pas besoin de poser des questions, car les discussions qu’y s’y tiennent y répondent toutes, et en outre dépassent de loin ce que je pouvais imaginer.
Les intervenants sont donc très pédagogues, et très bien renseignés, un grand merci à eux. (et admiration de ma part…)
Je préfère toujours laisser le dernier mot à celui qui sait, afin de laisser sa réponse comme conclusion. C’est la raison pour laquelle je remercie d’avance dès à présent.
Cependant, une petite interrogation me tracasse depuis peu :

Richard Taillet l’explique, on est amené à décrire l’univers mathématiquement comme une surface (vidéo)
https://www.youtube.com/watch?v=2NUUoOKfcGg
Car tenter de se représenter mentalement un espace en 4 dimensions est si difficile que l’on préfère se le représenter mentalement en 2 dimensions, comme la surface d’une table (un plan).
La courbure de l’espace-temps (c’est à dire la manière dont cette table est bombée), serait quasiment plate.
Peut-être un peu sphérique, ou au contraire peut-être bombée dans l’autre sens.
C’est ce “au contraire” qui me pose problème.
Car il me semble que si l’on considère la surface d’une sphère, elle est la même à l’extérieur, qu’à l’intérieur.
Je ne comprends donc pas la différence entre un univers dont la courbure serait positive (surface externe de la sphère) et un univers dont la courbure serait négative (surface interne de la sphère).

Or, j’ai imaginé que l’on dessinait un grand triangle sur la surface de la sphère. Et comme la sphère est … sphérique, la somme des angles de ce triangle est supérieure à 180 degrés.
Ce triangle pourrait représenter une région dans l’univers visible par exemple.
Imaginons que cette sphère soit transparente et qu’on ait dessiné le triangle dessus au marker : Que ce soit à l’extérieur ou à l’intérieur de la sphère, c’est bien le même triangle, avec la somme de ses angles supérieure à 180 degrés.

Maintenant, il me semble qu’à y réfléchir davantage, j’aurais trouvé la réponse à mon interrogation :
… après tout, la courbure est peut-être nulle, c’est-à-dire que l’univers serait “plat”. (et éventuellement infini, mais bon, ce n’est pas mon propos).
Ainsi, je dessine mon triangle non pas sur une sphère (qui serait déjà le résultat de la courbure de cet espace), mais sur un plan bel et bien plat. (avant application d’une éventuelle courbure).
Et ensuite seulement j’applique une courbure.
Alors effectivement 2 cas de figure sont possibles :
- Soit la courbure s’est faite de façon positive : le triangle se trouve sur la surface extérieure de la sphère, et alors la somme de ses angles sera supérieure à 180 degrés.
- Soit la courbure s’est faite de façon négative : le triangle se trouve sur la surface intérieure de la sphère, et alors la somme de ses angles sera inférieure à 180 degrés.
Alors, j’ai donc l’explication concernant la différence entre courbure positive et courbure négative, du moins, du point de vue de la représentation mentale.

Voilà, merci d’avance pour votre patience…

Le point qui te manque, c'est comment on gère cette notion de surface orientable.

Un petit repost sur cette notion de courbure:

Commençons en 1D : pour caractériser la courbure d'une... courbe, par exemple un virage sur une autoroute (en rouge ci dessous), on fait appel à la notion de rayon de courbure R. En chaque point on définit le rayon du cercle tangent à la courbe (appelé cercle osculateur).

cercle osculateur2.png

source


La courbure X c'est tout simplement l'inverse du rayon de courbure:

X=1/R

Plus le rayon R est petit, plus la courbure X est grande.

Si R est nul, la courbure n'est pas définie, on a un point anguleux. Inversement, une droite bien rectiligne se définit par un rayon de courbure infini et X est nulle, comme on s'en doutait. Que le virage aille à droite ou a gauche est indifférent et R est toujours positif. In fine, X est donc seulement positive ou nulle en 1D.

En 2D maintenant. Sur une nappe on se représente en chaque point le plan tangent à la nappe. Et, pointant orthogonalement à ce plan, en tout point, un vecteur normal h. En suivant un chemin fermé quelconque parcourant la nappe si h revient en son point initial identique à lui même, la nappe est dite orientable (ça a un sens de définir une direction et son opposée). S'il revient inversé, c-a-d pointant dans la direction opposée à celle de départ, cas du ruban de Möbius, la nappe est dite non orientable.

Faisons maintenant passer un plan selon h, cad un plan cette fois ci normal à la nappe, c'est à dire qui la coupe à angle droit. Son intersection avec la nappe définit un arc (une section) le long duquel, en chaque point on peut définir une courbure dans le sens de précédemment (1D). Mais comme c'est en 2D qu'on travaille, en chaque point de cet arc, on peut regarder ce qui se passe si on tranche la nappe perpendiculairement, et mesurer le rayon de courbure et la courbure tout pareille : on a donc deux courbures possibles.

Ajoutons à cela, si la surface est orientable, que le rayon de courbure peut se situer d'un côté ou de l'autre de la nappe. Aussi le rayon de courbure et la courbure, son inverse, ont un signe, positif ou négatif : X est donc négative, positive ou nulle en 2D.

Bien. Considérant la nappe en un point donné, on va essayer de la trancher de manière à ce que le rayon de coubure soit le plus petit possible et la courbure correspondante maximale. Tchac, on tranche on mesure et on obtient R1 le rayon et X1 = 1/R1 son inverse, la courbure principale.

Première chose remarquable, il se trouve que le rayon de courbure R2 obtenue en tranchant perpendiculairement en ce point est, lui, maximal, et la courbure X2 correspondante, minimale.

Avec 2 nombres comme X1 et X2 on peut s'amuser.

En les combinant, on va définir deux types de courbures.

H, la courbure moyenne est la moyenne de X1 et X2
H=(X1+X2)/2

et K, la courbure de Gauss, leur produit.
K=X1.X2


Voyons ce que cela donne dans un cas concret. Disons un cylindre, une sphère de rayon r (x²+y²+z²=r²) et une selle (x²-y²=2z).

Commençons par le cylindre. La courbure principale est la section du cylindre, un cercle de rayon r. Perpendiculairement à cette section, j'ai la génératrice du cylindre qui est une droite.

J'ai donc X1 = 1/r et X2 = 0.
Ce qui me donne
H = 1/2r
K = 0

Pour la sphère, j'ai X1 = X2 = 1/r
H = 1/r
K = 1/r²

Pour la selle on va calculer la courbure à l'origine (x=y=0). Le rayon des deux cercles osculateurs O1 et O2 dans la figure ci-dessous est 1 mais ils sont disposé des deux côtés de la nappe, et les deux signes de courbure sont donc opposé X1=1 et X2=-1 (ou l'inverse, ça n'a pas d'importance).
H = 0
K = -1

courbure negative.jpg

On mesure ainsi que la courbure moyenne d'une sphère est deux fois plus forte que celle d'un cylindre. Ça correspond bien à l'intuition (puisque la sphère est courbée selon deux direction contre une seule dans le cas du cylindre).

Plus surprenant on mesure que la courbure de Gauss est nulle dans le cas du cylindre. Or, la signification profonde d'une courbure de Gauss nulle, c'est la propriété de la nappe à accepter des projections sans déformation d'angle depuis un plan. Si la courbure de Gauss n'est pas nulle, on ne peut pas passer du cas euclidien (le plan) à la nappe sans déformer les angles ou les surfaces. On peut ainsi couvrir un cylindre avec une feuille de papier sans faire de pli. Mais on ne peut emballer une orange sans froisser le papier.

La selle maintenant. Elle nous réserve une surprise inverse de celle du cylindre : c'est sa courbure moyenne qui est nulle, tandis que sa courbure de Gauss est non nulle et négative. Intuitivement, on saisit que c'est la courbure de Gauss qui nous renseigne le mieux sur l'état de la surface. Elle est bien courbe, pas de doute !

La courbure de Gauss est dite intrinsèque : elle influe sur la géométrie que l'on peut tracer sur la nappe. C'est fondamental en ce sens que si on imagine des petits êtres en 2D qui se déplacent sur la nappe, sans pouvoir se voir de l'extérieur de la nappe, cad en 3D, il peuvent néanmoins en mesurer la courbure rien qu'en traçant des triangles dans leur deux dimensions et en mesurant les angles. Dans un autre ordre d'idée, si on imagine un bonhomme 2D qui traîne derrière lui deux longues perches, et qu'à un endroit la courbure devient plus forte, l'angle des deux perches va changer par exemple elle vont se rapprocher ; pour le bonhomme, c'est exactement comme si elles avaient subit une force. Si un Einstein 2D se pose sur le problème, il en conclura que la force qui rapproche les perches, qu'un Newton 2D a appelé "gravitation", c'est la courbure. La courbure de Gauss change les propriétés intrinsèques de l'espace, et donc les lois de la physique qui y règnent.

Si K =0 on a quelque chose d'euclidien. Un cylindre est donc euclidien bien que apparemment courbé. Un bonhomme 2D qui traîne des perches derrière lui ne les verra jamais changer d'angle dans ses mains dans quelque sens qu'il se promène sur le cylindre.

Si K > 0, cela signifie que les 2 rayon de courbures, R1 minimal et R2 maximal en chaque point, sont du même côté de la nappe (ils sont soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs, selon le sens arbitraire selon lequel on a orienté la nappe). C'est le cas de la sphère.

Si K < 0 cela signifie que en un point une des ligne de courbure est positive et l'autre perpendiculairement est négative. C'est le cas de la selle de cheval.


Ensuite, on généralise en trois dimensions. Cette fois ci, nous ne pouvons mentalement plonger l'hypersurface dans une 4e dimension mentale et le cerveau achoppe à se représenter l'espace 3D courbé. Mais c'est une simple généralisation du cas 2D.