Quel est ce paradoxe ?

[papy-alain]

Bonjour à tous.

En imaginant une situation particulière en RR, je tombe sur un curieux résultat:

Deux observateurs (A et B) sont immobiles l'un par rapport à l'autre et distants de 6 millions de km, soit 20 secondes-lumière.
Un vaisseau se déplace à vitesse constante de 0,8 c par rapport aux observateurs et sa route passe par A puis par B (le trajet est linéaire).
Par convention, les horloges sont à 0 quand le vaisseau passe en A.
Pour les observateurs, le temps de trajet de A à B est de 25 secondes.
Pour le pilote du vaisseau, ce temps est de 15 secondes.
10 secondes après le passage du vaisseau (6 secondes pour le pilote du vaisseau), l'observateur A envoie un bref signal lumineux en direction de B (et donc en direction du vaisseau qui s'éloigne).
Le pilote reçoit donc ce signal AVANT de passer en B.
B voit passer le vaisseau quand son horloge indique 25 secondes et reçoit le signal lumineux quand son horloge indique 30 secondes (20 secondes de temps de trajet + les 10 secondes de retard au départ). Le signal est donc reçu en B APRES le passage du vaisseau, alors que pour le pilote, il a été dépassé par le signal AVANT de passer en B.
Comment est ce possible ?
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[ansset]

bonjour,

Le pilote reçoit donc ce signal AVANT de passer en B.

en première lecture, je ne comprend pas pourquoi.
peux tu expliciter, j'ai l'impression qu'il y a un mélange des "temps" dans ton exercice de pensée.

[papy-alain]

bonjour,

en première lecture, je ne comprend pas pourquoi.
peux tu expliciter, j'ai l'impression qu'il y a un mélange des "temps" dans ton exercice de pensée.

Pour le pilote du vaisseau, le signal est envoyé 6 secondes après son passage. Il n'est pas encore à mi-chemin de son trajet A-B qui dure 15 secondes. Le signal lui parvient donc avant qu'il ne passe en B. Si tu utilises la contraction des longueurs au lieu de la dilatation du temps, ça donne le même résultat.

[Gilgamesh]

10 secondes après le passage du vaisseau (6 secondes pour le pilote du vaisseau).

Non, tu oublies de compter le temps de parcours du signal depuis A jusqu'au vaisseau.
Ça se passera t0+30 secondes selon le voyageur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[papy-alain]

Non, tu oublies de compter le temps de parcours du signal depuis A jusqu'au vaisseau.
Ça se passera t0+30 secondes selon le voyageur.

??? Il ne faut pas 30 secondes pour qu'un signal lumineux couvre la distance parcourue par le vaisseau en 6 secondes.

[Gilgamesh]

??? Il ne faut pas 30 secondes pour qu'un signal lumineux couvre la distance parcourue par le vaisseau en 6 secondes.

Le signal l'atteindra après qu'il ait croisé B.

Il faut juste faire une équation du mouvement du genre :

0,8ct = c(t-10)

pour avoir la distance au bout de laquelle le signal rattrape le vaisseau.

[papy-alain]

Si tu es dans le vaisseau et que tu vois A s'éloigner de toi à 0,8 c et que 6 secondes plus tard il t'envoies un signal, tu vas le recevoir 4,8 secondes plus tard, soit à t0 + 10,8 s.
A ce moment , tu n'as pas encore atteint B

[Gilgamesh]

tu vas le recevoir 4,8 secondes plus tard, soit à t0 + 10,8 s.

Non. Ça c'est le moment où le signal émis va atteindre la position que tu occupais lorsqu'il te l'a envoyé. Mais toi tu n'es pas resté à l'attendre, tu as avancé entre temps.

[papy-alain]

Non. Ça c'est le moment où le signal émis va atteindre la position que tu occupais lorsqu'il te l'a envoyé. Mais toi tu n'es pas resté à l'attendre, tu as avancé entre temps.

Non. Par rapport au signal, je n'avance pas, puisque c est invariant et donc il me rattrape à la vitesse de 300.000 km/s. Il met donc bien 4,8 s pour me rattraper. C'est toute la différence entre le point de vue des observateurs et le point de vue du pilote.

[mach3]

Reprenons en caractérisant bien les différents évènements et leurs intervalles :

Deux observateurs (A et B) sont immobiles l'un par rapport à l'autre et distants de 6 millions de km, soit 20 secondes-lumière.
Un vaisseau se déplace à vitesse constante de 0,8 c par rapport aux observateurs et sa route passe par A puis par B (le trajet est linéaire).
Par convention, les horloges sont à 0 quand le vaisseau passe en A.
Pour les observateurs, le temps de trajet de A à B est de 25 secondes.
Pour le pilote du vaisseau, ce temps est de 15 secondes.

Posons (en coordonnées t,x du référentiel où A et B sont immobiles, exprimées en secondes et secondes-lumière):

A₀ (0,0) pour le croisement entre A et le vaisseau ainsi que la mise à 0 de l'horloge de A
B₀ (0,20) pour la mise à 0 de l'horloge de B
B_V (25,20) pour le croisement entre B et le vaisseau

10 secondes après le passage du vaisseau (6 secondes pour le pilote du vaisseau), l'observateur A envoie un bref signal lumineux en direction de B (et donc en direction du vaisseau qui s'éloigne).

A_L (10,0) pour l'émission du signal lumineux par A
B_L (30,20) pour la réception du signal par B
V_L (t;0,8t) pour la réception du signal par le vaisseau

intervalle entre A_L et V_L (genre nul) :

d'où t=50

V_L (50,40)

Le pilote reçoit donc ce signal AVANT de passer en B.

eh non... bien après être passé devant B

m@ch3

[Gilgamesh]

Non. Par rapport au signal, je n'avance pas, puisque c est invariant

L'invariance de c ne met pas tout le monde à l'arrêt, ça n'a rien à voir.

Je pense que mach3 a bien tout synthétisé dans les règle.

[papy-alain]

Je ne comprends pas.
Reprenons les choses dans l'ordre.
Sommes nous d'accords pour dire que quand le signal part de A, l'horloge du vaisseau indique 6 secondes ?

[mach3]

Sommes nous d'accords pour dire que quand le signal part de A, l'horloge du vaisseau indique 6 secondes ?

dans quel référentiel?

m@ch3

[papy-alain]

dans quel référentiel?

m@ch3

Celui du vaisseau.

[mach3]

Non, dans le référentiel du vaisseau, l'horloge (en supposant qu'elle est mise à zéro quand elle passe A, ce que vous ne précisez pas!) ne marque pas 6 secondes quand A envoie son signal.
Ca c'est dans le référentiel où A et B sont immobile : quand t=10, alors le vaisseau est en (10,8) et à ces coordonnées, l'horloge du vaisseau indique 6 secondes (10²-8²=6²).

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour à tous.

En imaginant une situation particulière en RR, je tombe sur un curieux résultat:

Deux observateurs (A et B) sont immobiles l'un par rapport à l'autre et distants de 6 millions de km, soit 20 secondes-lumière.
Un vaisseau se déplace à vitesse constante de 0,8 c par rapport aux observateurs et sa route passe par A puis par B (le trajet est linéaire).
Par convention, les horloges sont à 0 quand le vaisseau passe en A.
Pour les observateurs, le temps de trajet de A à B est de 25 secondes.
Pour le pilote du vaisseau, ce temps est de 15 secondes.
10 secondes après le passage du vaisseau (6 secondes pour le pilote du vaisseau), l'observateur A envoie un bref signal lumineux en direction de B (et donc en direction du vaisseau qui s'éloigne).
Le pilote reçoit donc ce signal AVANT de passer en B.
B voit passer le vaisseau quand son horloge indique 25 secondes et reçoit le signal lumineux quand son horloge indique 30 secondes (20 secondes de temps de trajet + les 10 secondes de retard au départ). Le signal est donc reçu en B APRES le passage du vaisseau, alors que pour le pilote, il a été dépassé par le signal AVANT de passer en B.
Comment est ce possible ?

Je n'ai pas cherché l'erreur du raisonnement :
B verra le signal de A à T = 10+20 = 30s
O dans le vaisseau voit vieillir A trois fois moins vite que lui, verra donc A vieilli de 10s à T' = 3* 10s = 30s.
notes qu'il voit B à l'âge Tb = 25 + (30-15)/3 = 30s

Ca fait beaucoups de 30s mais c'est une coïncidence.

[mach3]

Si vous voulez savoir à quel moment, dans le référentiel du vaisseau, A envoie son signal, il faut faire ainsi:

L'évènement "A envoie son signal" (A_L) est en (t';-0,8t') (A voyage vers les x négatifs). On sait qu'en cet évènement, l'horloge de A marque 10 secondes, c'est à dire que t'²-(-0,8t')²=10², donc t'=16,67s. Dans le référentiel du vaisseau, l'évènement A_L est donc en (16,67;-13.33). Vu dans son référentiel, le vaisseau a donc déjà passé B quand A envoie le signal, et le recevra donc bien après avoir passé B.

m@ch3

[papy-alain]

Vu dans son référentiel, le vaisseau a donc déjà passé B quand A envoie le signal.

J'étais déjà un peu perdu dans le raisonnement, mais là je suis complètement largué.
Dites moi si je me trompe, mais quand le vaisseau est en B, ça veut bien dire que B voit passer le vaisseau. Si le signal n'est pas encore parti, cela signifie que pour B le vaisseau a mis moins de 10 secondes pour franchir 6 millions de km. Exact ?

[papy-alain]

J'étais déjà un peu perdu dans le raisonnement, mais là je suis complètement largué.
Dites moi si je me trompe, mais quand le vaisseau est en B, ça veut bien dire que B voit passer le vaisseau. Si le signal n'est pas encore parti, cela signifie que pour B le vaisseau a mis moins de 10 secondes pour franchir 6 millions de km. Exact ?

Je dis n'importe quoi. Oublions ce message.

[papy-alain]

Si vous voulez savoir à quel moment, dans le référentiel du vaisseau, A envoie son signal, il faut faire ainsi:

L'évènement "A envoie son signal" (A_L) est en (t';-0,8t') (A voyage vers les x négatifs). On sait qu'en cet évènement, l'horloge de A marque 10 secondes, c'est à dire que t'²-(-0,8t')²=10², donc t'=16,67s. Dans le référentiel du vaisseau, l'évènement A_L est donc en (16,67;-13.33). Vu dans son référentiel, le vaisseau a donc déjà passé B quand A envoie le signal, et le recevra donc bien après avoir passé B.

m@ch3

Quand le vaisseau passe en B, l'horloge de B indique 25 secondes.
Donc, l'horloge du vaisseau indique à ce moment 15 secondes. Non ?

[Lansberg]

Bonjour,

Oui !
Mais le signal lumineux envoyé par A à t=10s (de son horloge) sera reçu par le vaisseau à t'=30s (horloge du vaisseau). Ce dernier aura passé le point B à t'=15s.
Au moment où le vaisseau recevra le signal lumineux, l'horloge de A indiquera t=50s.
La succession des événements est donc :

Pour A : t=0s - passage du vaisseau ; t=10 s - émission du signal lumineux ; t = 25 s - passage du vaisseau en B ; t = 30 s - réception du signal en B ; t = 50 s - réception du signal par le vaisseau (distance parcourue par le vaisseau pour A = 40 s.l).

Pour le vaisseau : t'=0 s - passage devant A ; t' = 6 s - le signal lumineux part de A ; t' = 15 s - passage devant B (12 s.l parcourue pour le vaisseau) ; t' = 30 s - réception du signal lumineux (24 s.l parcourue pour le vaisseau).

[Amanuensis]

Si vous voulez savoir à quel moment, dans le référentiel du vaisseau, A envoie son signal, il faut faire ainsi:

Et plus généralement, pour les événements locaux à au vaisseau, l'horloge du vaisseau (si mise à 0 au passage de A) indique 0,6t avec t tel que défini en #10. Simplement parce que les événements locaux au vaisseau sont sur la ligne (t, 0,8t), et l'intervalle entre A0 et (t, 0,8t) a une durée propre (= mesurée par l'horloge du vaisseau dans le cas considéré) de 0,6t

L'ordre des événements concernant localement le vaisseau (ordre au sens de l'horloge du vaisseau) est le même que l'ordre selon la coordonnée t, ce que Mach3 a utilisé à la fin du raisonnement dans le message #10.

Autrement dit, inutile (et compliqué) d'invoquer un référentiel du vaisseau, pour s'occuper de son horloge suffit d'appliquer le facteur 0,6 sur t (parce que tous les événements dont on cherche l'ordre sont locaux au vaisseau), les événements étant identifiés dans le système de coordonnées ("le référentiel") défini par le message #10.

[papy-alain]

Voilà qui est beaucoup plus clair, un grand merci à tous les intervenants.
Il reste cependant une zone d'ombre dans mon esprit :
Pour le vaisseau, le signal est émis à t' = 6 s.
Dés cet instant, le signal se rapproche du vaisseau à la vitesse de c.
Pourquoi faut il 24 s au signal pour couvrir la distance parcourue par le vaisseau en 6 s ? (dans le référentiel du vaisseau)

[Amanuensis]

Il reste cependant une zone d'ombre dans mon esprit :
Pour le vaisseau, le signal est émis à t' = 6 s.

Il y problème potentiel dès qu'on parle de l'instant pour le vaisseau d'un événement qui ne lui est pas local. C'est pour cela que j'ai dans mon intervention précisé plusieurs fois ces conditions de localité.

Beaucoup de "paradoxes" en RR viennent de parler de l'instant d'un événement distant pour un observateur non immobile dans le système de coordonnées (référentiel) de travail.

Cela a été mentionné régulièrement: utiliser un seul référentiel de travail, calculer des intervalles, parler des horloges de non-immobiles en termes d'intervalle, permet d'aller rapidement et correctement aux conclusions. C'est ce qu'a fait Mach3 dans le message #10.

[Zefram Cochrane]

Salut,

Le signal est émis en A à T=10s .

D'après les TL une horloge tractée par le vaisseau et passant par A au moment de l'émission a pour coordonnées :
T' = 50/3
X' = -40/3

Le signal se propageant à C dans le ref du vaisseau arrivera au niveau du vaisseau de coordonnée X' = 0 à T' = 50/3 + 40/3 = 90/3 = 30s.

L'erreur dans l'énnoncé est de dire que le signal à été émis à T'=6s: il faut 40/3s à la lumière pour aller du point A au vaisseau dans le référentiel du vaisseau.
C'est la distinction à faire entre durée propre mesurée par une seule horloge et durée coordonnée mesurée par des horloges synchronisées mais distantes dans le référentiel.

[mach3]

@amanuensis : je réfléchis même à une approche du problème (et d'autres) sans coordonnées. On va dire que mes lectures actuelles ont une certaine influence... J'ai quelques menues difficultés dont on reparlera, à moins que j'en vienne à bout.

m@ch3

[papy-alain]

Je pense qu'il subsiste une certaine confusion dans ce problème.
J'ai bien noté la remarque d'Amanuensis qui souligne la difficulté d'établir une relation de simultanéité des évènements dans deux référentiels distincts et cette remarque est pleinement justifiée car elle soulève des problèmes complexes.
Cependant, le résumé des évènements tels que définis par Lansberg me semble clair : un calcul simple montre que le signal a bien été émis à t' = 6 s , la relation étant facile à établir entre t = 10 s et t' = 6 s, tel que mentionné par ailleurs dans l'énoncé.
Si l'on considère le référentiel du vaisseau, il ne faut pas perdre de vue que dans tout référentiel inertiel, l'observateur est toujours immobile par rapport à lui-même.
Dans le référentiel A-B, le signal "court" après le vaisseau.
Dans le référentiel du vaisseau, il faut considérer celui-ci comme étant immobile par rapport au signal qui est émis depuis A même si le vaisseau se déplace par rapport à A.

[Amanuensis]

il faut considérer celui-ci comme étant immobile par rapport au signal qui est émis depuis A

Pas très clair. Que signifie "immobile par rapport à un signal"?

[Amanuensis]

@amanuensis : je réfléchis même à une approche du problème (et d'autres) sans coordonnées.

Comment on dit, déjà, pour la "vieille" géométrie? Un bon dessin vaut mieux qu'un long discours?

[Zefram Cochrane]

J'en ai un:




Les horloges Bleues indique Tb = t = 10s
l'horloge verte Tv indique Tv=6s
l'horloge verte t indique t= 50/3s


distance entre Vert et Bleu dans le référentiel de BLEU : 8s.l
distance entre Vert et Bleu dans le référentiel de VERT : 40/3s.l