Coordonnées de Kruskal-Szekeres

[Amanuensis]

Sur ce sujet il y a un truc qui m'intrigue. Dans les textes (et on le voit sur ce fil ; c'est aussi le cas du MTW) les chutes libres radiales sont données avec un paramètres Rmax, défini comme la valeur de r où la vitesse est nulle.

Or il se peut très bien qu'il n'y ait pas de telle valeur de r, quand l'énergie e est suffisamment grande. Les formules données ne couvrent pas ces cas.

Je ne vois pas de raison physique ou mathématique à cette restriction, j'imagine que c'est juste parce que cela donne une formule sympa avec ce Rmax...
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[Mailou75]

(...)un paramètres Rmax, défini comme la valeur de r où la vitesse est nulle.
Or il se peut très bien qu'il n'y ait pas de telle valeur de r, quand l'énergie e est suffisamment grande. Les formules données ne couvrent pas ces cas

Pas sur de comprendre le fond de la question mais j'interprette... d'abord Ordage propose de donner (peut etre) une formule de chute (r) depuis Rmax pour laquelle la vitesse initiale n'est pas nulle (et dirigée vers le trou noir). Ensuite pour une exploitation complete il faudrait aussi la formule qui donne t(r) pour cette meme vitesse initiale.

MAIS... si une telle formule existe (celle de pour commencer) alors on devrait trouver que, quelle que soit la valeur de la vitesse initiale, la vitesse en Rs ne pourra exceder c. Prenons par exemple un départ de Rmax avec une vitesse initiale V>Vlib, la vitesse en Rs sera c (quand meme). On ne pourra alors pas renverser la fonction, cad que si le voyageur rebondit sur Rs avec une elasticité parfaite il partira a c et n'atteindra Rmax qu'à Vlib (<V). Comment justifier la perte de vitesse entre deux passages a une meme altitude ? Le bornage à c au rebond efface t il les traces des conditions initiales ?

Merci

[Mailou75]

Autre suggestion la formule est classique donc :
1- on va trouver une vitesse supperieure a c en Rs et on fermera les yeux
2- elle n'est pas applicable et on a tout faux de A à Z
Dans les deux cas y'aura un souci... snif

[Amanuensis]

la vitesse en Rs sera c (quand meme).

Il s'agit de la vitesse coordonnées en coord. de Schwarzschild, la trajectoire ne peut pas atteindre Rs dans ces coordonnées.

On ne pourra alors pas renverser la fonction, cad que si le voyageur rebondit sur Rs avec une elasticité parfaite il partira a c et n'atteindra Rmax qu'à Vlib (<V). Comment justifier la perte de vitesse entre deux passages a une meme altitude ? Le bornage à c au rebond efface t il les traces des conditions initiales ?

Remplacer cela par un rebond en Rmin, Rmin>Rs, aussi près de Rs qu'on voudra, mais strictement supérieur. Alors la question a un sens. (Et non, le rebond n'effacera pas les conditions initiales, le mouvement se poursuivra vers r infini, sans que la vitesse tende vers 0, la limite de la vitesse dépendra des conditions initiales.)

[Remarque très générale: on ferait mieux en se limitant non pas même à la région extérieure usuellement présentée, mais seulement à une région telle que r>Rmin>2GM/c² (où 4pi Rmin² est l'aire propre d'une sphère centrale) ; on a alors un espace-temps qui ne présente pas de bizarreries majeures, qu'on peut accepter comme "réaliste". Il est identique pour toute distribution de masse, en effondrement ou pas, symétrique, sans rotation et de masse totale M, à l'intérieur de la sphère; et le vide en dehors de la sphère. Moins spectaculaire qu'un "trou noir", mais on reste en terrain non miné.]

[ordage]

Sur ce sujet il y a un truc qui m'intrigue. Dans les textes (et on le voit sur ce fil ; c'est aussi le cas du MTW) les chutes libres radiales sont données avec un paramètres Rmax, défini comme la valeur de r où la vitesse est nulle.

Or il se peut très bien qu'il n'y ait pas de telle valeur de r, quand l'énergie e est suffisamment grande. Les formules données ne couvrent pas ces cas.

Je ne vois pas de raison physique ou mathématique à cette restriction, j'imagine que c'est juste parce que cela donne une formule sympa avec ce Rmax...

Salut

Effectivement, une équation avec Rmax n'est pas très adaptée, car dans le cas classique où on lance depuis la Terre une sonde avec une vitesse supérieure à la vitesse de libération, on voit bien que à l'infini la vitesse n'est pas nulle (pas de Rmax). Martel et Poisson ont donné une démonstration élégante du problème (ArXiv.gr-qc/0001069v4 18 Oct 2000) en considérant un paramètre d'énergie p d'une particule de test de masse unitaire valant 1 pour une masse sans vitesse à l'infini mais qui peut avoir une valeur différente de 1.
Par ailleurs la solution généralisée avec les conditions initiales citées précédemment traite ce problème car selon la valeur du boost en R0 à t0 (et sa direction) on doit traiter tous les cas. Le boost (orienté) peut être exprimé en vitesse de coordonnées où en paramètre d'énergie, les deux étant reliés.
Cordialement

[Mailou75]

Salut et merci,

on ferait mieux en se limitant non pas même à la région extérieure usuellement présentée, mais seulement à une région telle que r>Rmin>2GM/c² (où 4pi Rmin² est l'aire propre d'une sphère centrale) ; on a alors un espace-temps qui ne présente pas de bizarreries majeures, qu'on peut accepter comme "réaliste".

Trop tard on a dépassé Rs plus moyen de faire demi tour !
Tu dis toi même que KS sert à visualiser le passage, et le fil porte là dessus.

..............

Martel et Poisson ont donné une démonstration élégante du problème (ArXiv.gr-qc/0001069v4 18 Oct 2000) en considérant un paramètre d'énergie p d'une particule de test de masse unitaire valant 1 pour une masse sans vitesse à l'infini mais qui peut avoir une valeur différente de 1.

https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0001069 ? Un lien en anglais bourré de formules ca suscite forcement des questions...
1- La formule prévue devait contenir Ro et Vo, ici on a que oo et Vo, ca permettra d'en retrouver quelques unes mais ça reste incomplet (ex pas de solution pour un départ de Ro<oo à ~c)
2- L'équation 2.5 ressemble étrangement à celle de t(r), pourquoi est il dit que ce sont les coordonnées de Painlevé ?
3- L'équation 3.4 doit être celle qui nous intéresse et semble être de la même veine que la 2.5 (du Schw)...
4- La formule donne t elle directement les courbes T cst de la fig 1 en coordonnées de KS ? J'ai du mal à le croire... et quoi qu'il arrive, une seule formule de saurait donner une trajectoire ET sa graduation en temps propre
5- Enfin et pour moi le plus important, l'additivité des vitesses relativistes est elle prise en compte ? Cad que pour p=1 il y a une vitesse qui est acquise au cours de la chute et qui s'additionne à 0. Mais la même logique ne peut être respectée pour p<1 et j'ai la fâcheuse impression de ne pas voir apparaître de "somme"
6- La question du rebond sur Rs demeure ...
7- Qui à eu l'idée de se jeter dans un trou noir plutôt que s'y laisser tomber, c'était pas assez compliqué ? snif

Par ailleurs la solution généralisée avec les conditions initiales citées précédemment traite ce problème car selon la valeur du boost en R0 à t0 (et sa direction) on doit traiter tous les cas. Le boost (orienté) peut être exprimé en vitesse de coordonnées où en paramètre d'énergie, les deux étant reliés.
Cordialement

Euh pour les dimensions supplémentaires on va attendre un peu... à moins que tu n'aies une formule utilisable ?

Merci

Mailou

[Zefram Cochrane]

MAIS... si une telle formule existe (celle de pour commencer) alors on devrait trouver que, quelle que soit la valeur de la vitesse initiale, la vitesse en Rs ne pourra exceder c. Prenons par exemple un départ de Rmax avec une vitesse initiale V>Vlib, la vitesse en Rs sera c (quand meme). On ne pourra alors pas renverser la fonction, cad que si le voyageur rebondit sur Rs avec une elasticité parfaite il partira a c et n'atteindra Rmax qu'à Vlib (<V). Comment justifier la perte de vitesse entre deux passages a une meme altitude ? Le bornage à c au rebond efface t il les traces des conditions initiales ?

Merci

Salut, ce qu'on appelle Vlib en Rg est me semble t'il distance coordonnée / durée propre c'est une célérité et non pas une vitesse coordonnée. En tant que célérité, Vlib peut dépasser c sans que cela pose un problème.

[ordage]

..............


https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0001069 ? Un lien en anglais bourré de formules ca suscite forcement des questions...

1- La formule prévue devait contenir Ro et Vo, ici on a que oo et Vo, ca permettra d'en retrouver quelques unes mais ça reste incomplet (ex pas de solution pour un départ de Ro<oo à ~c)
2- L'équation 2.5 ressemble étrangement à celle de t(r), pourquoi est il dit que ce sont les coordonnées de Painlevé ?
3- L'équation 3.4 doit être celle qui nous intéresse et semble être de la même veine que la 2.5 (du Schw)...
4- La formule donne t elle directement les courbes T cst de la fig 1 en coordonnées de KS ? J'ai du mal à le croire... et quoi qu'il arrive, une seule formule de saurait donner une trajectoire ET sa graduation en temps propre
5- Enfin et pour moi le plus important, l'additivité des vitesses relativistes est elle prise en compte ? Cad que pour p=1 il y a une vitesse qui est acquise au cours de la chute et qui s'additionne à 0. Mais la même logique ne peut être respectée pour p<1 et j'ai la fâcheuse impression de ne pas voir apparaître de "somme"
6- La question du rebond sur Rs demeure ...
7- Qui à eu l'idée de se jeter dans un trou noir plutôt que s'y laisser tomber, c'était pas assez compliqué ? snif


Euh pour les dimensions supplémentaires on va attendre un peu... à moins que tu n'aies une formule utilisable ?

Merci

Mailou

Salut
Une réponse un peu globale:
1- C'est exact, cet article ne donne pas la formule avec R0, t0 et v0. Cela a été établi ailleurs.

2-7- Les coordonnées de Schwarzschild (t, r, theta, phi) et Painlevé (T,r, theta phi) sont de la même famille (coordonnées sphériques spatiales) , mais T et t sont différents.
L'intérêt de la forme de Painlevé est qu'elle n'est pas singulière sur l'horizon d'une part (c'est lié au terme non quadratique) et que pour une géodésique radiale entrante complète (jusqu'à l'infini) le temps propre qui est le paramètre affine de la courbe géodésique est égal à la coordonnée T.
Ce qui veut dire que pour observateur dans une fusée moteur éteint "en chute libre depuis l'infini" son temps propre est la coordonnée T.
Remarquons qu'à un certaine distance R0 de la singularité centrale, à un temps qu'on appellera T0, cet observateur a une certaine vitesse de coordonnées V0.
Donc tu peux considérer le problème équivalent en partant R0, T0 avec cette vitesse initiale V0.
Tu obtiendras le même résultat.
Mais rien n'interdit que cet observateur allume le moteur de sa fusée un court instant. Après extinction, cela a ajouté un "boost" à son mouvement géodésique (dans un sens ou un autre).
A noter que le mouvement résultant est toujours géodésique, que son temps propre reste proportionnel à la coordonnée temps, mais n'y est plus égal.
C'est cela qui est pris en compte (entre autres dans cet article).
Pour ce est de formule générale il faut que je trouve comment la copier dans le message.
Cordialement

[Mailou75]

Salut et merci,

Oui comme dit plus haut on peut en retrouver quelques uns mais la formule restera incomplète.
Apparement Mizony en 2011 a donné la version complète avec Ro (non pas oo) et Vo non nul.

Pour revenir sur Martel/Poisson, il y a un truc que je ne comprends pas. Les trajectoires des objets en chute libre parti de l'infini restent inchangées, quelle que soit leur vitesse de départ et seul leur temps propre le long d'une même trajectoire est affecté ? (voir courbes du lien que j'ai mis qui seront les nouvelles "graduations" des lignes d'univers) Est-ce cela qu'il faut comprendre ?

Merci

Mailou

[Amanuensis]

le paramètre affine de la courbe géodésique est égal à la coordonnée T.

Ce avec la propriété assez étonnante que T, en tant de coordonnée, n'est pas temporelle. Autrement dit \partial_T n'est pas partout de genre temps, alors que, bien évidemment, la quadrivitesse de la géodésique est partout de genre temps.

A noter que le mouvement résultant est toujours géodésique, que son temps propre reste proportionnel à la coordonnée temps, mais n'y est plus égal.

??? Il me semble que T n'est temps propre (un temps propre est défini à une fonction affine près, donc "proportionnel" ne change pas le statut) que pour les chutes libres dont la vitesse tend vers 0 à l'infini, non?

[Amanuensis]

Trop tard on a dépassé Rs plus moyen de faire demi tour !
Tu dis toi même que KS sert à visualiser le passage, et le fil porte là dessus.

Réponse à côté du point. Le point est qu'on ne peut PAS parler de VITESSE en coordonnées de Schwarzschild quand r=Rs. Cela n'est absolument pas contradictoire avec l'existence de géodésiques passant par un événement tel que r=Rs en coordonnées de Painlevé.

Encore une fois, parler de vitesse n'a de sens que de manière relative, par exemple par rapport à certains systèmes de coordonnées.

En coordonnées de Painlevé, on ne peut pas non plus parler de vitesse pour r plus petit ou égal à Rs (il me semble...).

Par contre on peut en coordonnées de KS.

[ordage]

1-Ce avec la propriété assez étonnante que T, en tant de coordonnée, n'est pas temporelle. Autrement dit \partial_T n'est pas partout de genre temps, alors que, bien évidemment, la quadrivitesse de la géodésique est partout de genre temps.



2-??? Il me semble que T n'est temps propre (un temps propre est défini à une fonction affine près, donc "proportionnel" ne change pas le statut) que pour les chutes libres dont la vitesse tend vers 0 à l'infini, non?

Salut

1- Effectivement, pour r < rs les 4 coordonnées sont de type espace. Mais comme il il a un terme non quadratique en dr.dT, il existe des géodésiques de type temps pour r < rs.
2- Si on a un paramètre affine l, a.l +b est aussi un paramètre affine, mais il y a une condition de normalisation, pour rendre compatible la forme des équations géodésiques résultant d'une méthode de transport parallèle du vecteur tangent et d'une autre méthode d'extremum du chemin, qui définit le temps propre tau, qui n'est, bien entendu qu'un paramétrage particulier.
Mais de façon générale on peut dire que s'il y a un boost, le facteur de proportionnalité entre T et tau est différent du cas où il n'y en a pas.

De Mailou 75.
Pour revenir sur Martel/Poisson, il y a un truc que je ne comprends pas. Les trajectoires des objets en chute libre parti de l'infini restent inchangées, quelle que soit leur vitesse de départ et seul leur temps propre le long d'une même trajectoire est affecté ? (voir courbes du lien que j'ai mis qui seront les nouvelles "graduations" des lignes d'univers) Est-ce cela qu'il faut comprendre ?

Sur un diagramme T, r les courbes avec boost et sans boost sont différentes.

En général dans ce type de diagramme, comme on a une "demi-droite" pour r, pour comparer différentes courbes, on prend la même valeur T0 à r=0, comme origine commune à toutes les courbes (arrivée simultanée au même endroit) et on remonte le temps pour étudier les différentes courbes T(r) : la comparaison est plus immédiate.

Cordialement

[Amanuensis]

Après quelques recherches dans la littérature, je ne trouve rien qui indique que les chutes libre autres que celle de vitesse nulle à l'infini aient un temps propre proportionnel à la coordonnée t en GP.

Le calcul n'est pas si simple (en gros donner dr/dt en fonction de t, facile, et ensuite déterminer si c'est une chute libre, moins facile, mais ce n'est qu'un gros calcul une fois qu'on a les Christofell). Pas le temps à consacrer à ça pour le moment.

[Mailou75]

Salut,

Pour ce est de formule générale il faut que je trouve comment la copier dans le message.

Tu auras plus vite fait de te fendre d'une ligne de latex... c'est celle de Mizony ? Je n'ai que la "métrique" rien d'exploitable pour moi.

En général dans ce type de diagramme, comme on a une "demi-droite" pour r, pour comparer différentes courbes, on prend la même valeur T0 à r=0, comme origine commune à toutes les courbes (arrivée simultanée au même endroit) et on remonte le temps pour étudier les différentes courbes T(r) : la comparaison est plus immédiate.

Les courbes du lien ont un intervalle régulier entre elles à l'arrivée et la première série de courbes (fig 1) est juste. Si la trajectoire est différente et que les courbes de la fig 2 ne donnent que la "ponctuation" du temps propre, je persiste... je n'ai rien pour tracer la trajectoire du coup !

.....

Après quelques recherches dans la littérature, je ne trouve rien qui indique que les chutes libre autres que celle de vitesse nulle à l'infini aient un temps propre proportionnel à la coordonnée t en GP.

La coordonnée temporelle en Painlevé c'est .

.....

j'ai utilisé l'ancienne avec Rmax=1.000.000Rs (suffisant pour les besoins mais si quelqu'un la connaît ce serait plus satisfaisant) :

La bonne formule chez Painlevé pour une chute depuis l'infini à vitesse initiale nulle c'est (Merci Didier941751 ) :



Voir la parenté avec l'expression de t(r) dont elle n'est que le premier membre.
Inutile de retracer la courbe, l'approximation 1.000.000Rs était suffisante (ca déconne au 7e chiffre après la virgule, tant pis...)

[ordage]

La bonne formule chez Painlevé pour une chute depuis l'infini à vitesse initiale nulle c'est (Merci Didier941751 ) :

Salut

Il ne t'aura pas échappé que cette équation est la même que celle de la mécanique Newtonienne!
Cordialement

[Mailou75]

Non bien sur, ça a été dit et répété. Ce qui m'étonne c'est la difficulté à trouver l'info...
Si on compte qu'il faut deux semaines pour obtenir une formule qui a 300 ans, un rapide cacul m'invite a ne pas attendre une formule qui date de 2011...

[ordage]

Non bien sur, ça a été dit et répété. Ce qui m'étonne c'est la difficulté à trouver l'info...
Si on compte qu'il faut deux semaines pour obtenir une formule qui a 300 ans, un rapide cacul m'invite a ne pas attendre une formule qui date de 2011...

Salut
Sans rentrer dans les détails (par exemple, Mizony et Martel-Poisson ne font pas l'extension de la forme de Painlevé de la même manière, ce qui ne change pas le résultat mais donne des relations différentes entre les coordonnées), j'ai mis quelques éléments qui peuvent aider (Pour le latex, je vais regarder, j'ai juste bricolé une formule existante):

La forme donnée par Mizony en coordonnées de Painlevé s'écrit:

,

dS² est la métrique spatiale 2D à symétrie sphérique.

On voit que pour retrouver "Painlevé de base", on fait r0 = infini et v0 =0

Pour un boost à l'infini, r0=infini, v0 non nul.

Montrons qu'on obtient l'équation géodésique radiale, (où dS² =0), en annulant:



Ce qui donne la vitesse de coordonnées géodésique dr/dt = - ,

En intégrant, on obtient l'équation r(t) ou, en inversant t(r) .

Sur la courbe définie ainsi, on voit que

Le temps propre est égal à la coordonnée temps, c'est bien l'équation géodésique radiale.

Cordialement

[Amanuensis]

Plutôt sans intérêt.

Les coordonnées sont choisies pour avoir le résultat attendu (ce ne sont pas les mêmes coordonnées selon les valeurs v0 et r0). Prendre un mouvement, prendre son temps propre comme coordonnée et construire une forme métrique qui va avec est toujours possible.

Et alors?

[Mailou75]

Salut pas vue passer celle là..

Salut, ce qu'on appelle Vlib en Rg est me semble t'il distance coordonnée / durée propre c'est une célérité et non pas une vitesse coordonnée. En tant que célérité, Vlib peut dépasser c sans que cela pose un problème.

Non V=c.tanh(η) à moins que tu nous en dises plus sur ton η et tes unités ? Mais je ne suis pas sur de vouloir.. (ou un message sans formules). Et c'est quoi une "celerité" ?

[Mailou75]

Pour le sujet Ro Vo : si les trajectoires de Painlevé sont classiques alors il doit etre "facile" d'ecrire une formule où on jette un caillou vers le sol, c'est (r). Je ne sais pas le faire mais je n'ai pas la pretention de le savoir. Ensuite affecter tout au long de cette trajectoire une modification de temps, combinaison de RR () et RG (z+1) pour trouver t(r) ca doit pas etre la mort non plus (ca se fait meme "a la main")... donc en clair, après deux pages de vent je propose de mettre le sujet en stand-by.

Merci pour votre comprehension

[Mailou75]

La réponse de Mizony est elle même un sujet de polémique puisque Alain R dit qu'il est "scientifiquement inexistant". Je ne suis pas contre le fait de chercher une réponse, je souhaite juste éviter qu'on ne s'écarte trop du thème initial du fil, KS. Merci

[Zefram Cochrane]

Salut pas vue passer celle là..

Non V=c.tanh(η) à moins que tu nous en dises plus sur ton η et tes unités ? Mais je ne suis pas sur de vouloir.. (ou un message sans formules). Et c'est quoi une "celerité" ?

Vitesse ou vitesse coordonnée c'est une distance coordonnée divisée par une durée coordonnée ( mesurée par deux horloges distantes) = dr/dt.
célérité c'est une distance coordonnée divisée par une durée propre (mesurée par une seule horloge celle du chuteur) = dr/dtau

[Mailou75]

Vitesse ou vitesse coordonnée c'est une distance coordonnée divisée par une durée coordonnée ( mesurée par deux horloges distantes) = dr/dt.
célérité c'est une distance coordonnée divisée par une durée propre (mesurée par une seule horloge celle du chuteur) = dr/dtau

Arf, je vois... disons que c'est une autre vitesse coordonnée dans un autre repère alors, et on ne va pas donner un nom à "vitesse" dans chaque repère sinon on ne s'en sort pas

Mais le problème que ça soulève c'est que ce que l'on nomme "vitesse locale" comme tangente à la trajectoire chez Painlevé (Bleue) depuis un bon moment ne serait pas l'exacte mesure du voyageur puisque la coordonnée (r) elle même subit une déformation pour lui.. plus ça va moins c'est clair

Prenons celui qui saute depuis l'infini, à tout moment il a une vitesse de chute Vlib qui fait que l'espace immobile autour de lui est "compressé" d'un facteur 1/. Mais on sait aussi que la courbe 1/ est exactement la même que la courbe du potentiel z+1. Pour tout observateur statique en (r) le temps et l'espace sont étirés d'un facteur z+1. Donc celui qui tombe depuis l'infini, au moment où il croise l'observateur en (r), voit l'espace autour de lui "compressé" d'un facteur 1/ et "dilaté" d'un facteur z+1, ces deux facteurs étant égaux la déformation de l'espace est nulle (r)=r et donc la vitesse que tu cites est bien une vitesse "mesurée". V'la la démonstration... de toute façon il faut bien que ce soit juste sinon tout est faux, et pas que sur ce fil !

La démonstration pour un observateur en chute depuis Ro est moins évidente (sans parler de celui qui va a plus que Vlib..) mais la question de savoir si la vitesse devient "coordonnée" dans leur repère car (r) n'est pas la distance vue (z+1 diffère de 1/) est intéressante. Peut être l'explication au fait que "tout le monde" traverse l'horizon à c y compris celui qui est parti Ro petit. Dans le cas de la trajectoire de chute depuis 1,9Rs, celui ci traverse Rs avec une vitesse < c, ou pas !?

Mailou

[Amanuensis]

"si la vitesse devient "coordonnée" "

On passe dans le nawak, là...

[Mailou75]

J'avoue, j'ai pas trouvé les guillemets majuscule ^^
Pour le paragraphe qui précède (Vlib) je suis dans le vrai ou à l'ouest ?
Merci d'avance

[Zefram Cochrane]

Arf, je vois... disons que c'est une autre vitesse coordonnée dans un autre repère alors, et on ne va pas donner un nom à "vitesse" dans chaque repère sinon on ne s'en sort pas

Salut, juste pour dire qu'une propriété importante entre la "vitesse" et la "célérité" est que la vitesse est limité par c, pas la célérité.

[mach3]

Il semblerait peut-être que certains concepts n'aurait toujours pas été acquis, malgré un rabâchage sur des pages et des pages de dizaines voire centaines de fils...

-Toute vitesse est une vitesse coordonnée, c'est la variation des coordonnées spatiales par rapport à la coordonnée temporelle. Les éventuelles bornes dépendent du système de coordonnée.
-En tout évènement, on peut définir des systèmes de coordonnées particuliers, dits de Lorentz, dans lesquels la vitesse coordonnée d'un objet dont la ligne d'univers croise l'évènement est bornée par c (en fait la relativité restreinte s'applique dans le voisinage de l'évènement considéré).
-Pour un observateur effectuant une mesure de vitesse, par exemple par radar Doppler, d'un objet se déplaçant dans son voisinage, la vitesse mesurée coïncidera en bonne approximation (d'autant meilleure que la courbure et faible et le voisinage proche) avec la vitesse coordonnée de l'objet dans un système de coordonnées de Lorentz où, au moins pendant la durée de la mesure, l'observateur occupe des coordonnées spatiales constantes et où les durées propres entre deux évènements de l'observateur coïncident avec la différence de coordonnée temps entre ces deux évènements.

C'était un petit rappel, au cas où, parce que moi aussi, je vois une tendance au nawak depuis quelques messages...

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Il semblerait peut-être que certains concepts n'aurait toujours pas été acquis, malgré un rabâchage sur des pages et des pages de dizaines voire centaines de fils...

-Toute vitesse est une vitesse coordonnée, c'est la variation des coordonnées spatiales par rapport à la coordonnée temporelle. Les éventuelles bornes dépendent du système de coordonnée.

Merci pour ce rappel T

n'est pas borné par c

[Mailou75]

C'était un petit rappel, au cas où, parce que moi aussi, je vois une tendance au nawak depuis quelques messages...

Oui.... merci de vous en tenir au sujet : KRUSKAL

[Mailou75]

Kruskal version Trigo

Pour tout système de coordonnées hyperbolique on trouve son système trigonométrique équivalent (voir Minkovski et Rindler version Trigo). Dans le cas présent ça revient a "déplier" Kruskal avec pour conséquence de faire disparaître les zones III et IV. Cette "carte" (au sens Amanuensissien) est intéressante dans le sens ou elle traduit, je trouve, le fait que la vitesse de la lumière devienne nulle sur l'horizon. On dirait que le photon retombe comme une pierre... mais ne pas s'y méprendre il n'y a pas de gravité "vers le bas", l'image est tout à fait fausse. Peut être est-ce deux photons en sens inverse ?

Concrètement la transformation consiste à prendre la coordonnée T (Kruskal) d'un évènement et la conserver en trigo. Pour la coordonnée d'espace on ne retient que les premiers membres de X soit Xr, l'intersection de l'hyperbole et de l'axe X, Xr=X(0) :

EXTERIEUR




A l'intérieur on continue de prendre la valeur de Xr mais on se sert cette fois des coordonnées t (Schw) pour repérer les évènements, avec pour condition que les coordonnées soient la symétrie de l'extérieur, comme chez KS en fait. L'axe de temps est donc partagé entre T (Kruskal) à droite et T' (Trigo) à droite, à définir... pas encore cherché.

On retrouve nos observateurs stationnaires (Rouge, Vert et Bleu) et leurs Redshift/Blueshift (Effet Einstein) respectifs (comme décrits au message #2 de ce fil). Cette fois j'ai mis les bonnes fractions de temps, le long de la linge diagonale pointillée 1=Rs/c pour bleu par exemple.

Le petit perso avec son cône de lumière passé/avenir montre qu'à t=0, l'espace est localement Euclidien. La courbe jaune pleine représente le rayon lumineux qui arrive sur la singularité à t=0. A l'intérieur du cercle, la courbe est la même que le cône passé trigo de la RR !?

Les pointillés gris au delà de la singularité posent la question de la symétrie... où s'arrête-t-elle ? Et celui tout en bas de la provenance du rayon incident à t=-oo ? (cad de l'effacement des zones III et IV).

Merci d'avance pour vos réponses
Mailou