Coordonnées de Kruskal-Szekeres

[Mailou75]

Coordonnées d'Eddington-Finkelstein et coordonnées de Lemaître

Continuons notre petit tour d'horizon(s)...

Deux nouveaux systèmes avec Painlevé en rappel car, par rapport à Painlevé, Finkelstien modifie le temps et Lemaître modifie l'espace. Inutile de décrire les évènements représentés, ce sont toujours les mêmes avec les mêmes codes couleurs que précédemment pour faciliter la comparaison.

Chez Finkelstein

La coordonnée d'espace est r, celui de Schwarzschild.
La coordonnée de temps est donnée par la courbe de référence (en noir, espace synchronisé de l'observateur éloigné à t=0)



à laquelle on va ajouter la valeur du temps t de Schwarzschild, la coordonnée t' de Finkelstein est alors :

Rappel Schwarzschild :

Géodésique lumière sortante



Chute libre

La géodésique entrante est une droite à 45°. Particularité numérique : à r=2Rs on a t'o=0, la courbe d'espace t=0 intérieure est la symétrie parfaite de l'extérieur jusqu'à 2Rs. On voit que la représentation est très proche de celle de Painlevé.

..........

Chez Lemaître

Cette fois c'est la coordonnée d'espace qui va changer, elle sera donnée par X' (prime pour le différencier du X de Kruskal)



La particularité c'est que la coordonnée est reportée à 45°, à la différence d'un repère orthonormé.
La valeur r devient une "variable" qui va nous donner X' et (celui de Painlevé)
Particularité numérique : à r=2.25 Rs on a X'=2.25 Rs

Rappel Painlevé :

Géodésique lumière entrante



Géodésique lumière sortante



Courbe t=0



avec chute libre Painlevé

et le t(r) chute libre de Schwarzschild cité plus haut

Le système est apparemment celui du voyageur en chute libre inertiel : vertical, rectiligne et régulier.
La prouesse à mon sens est que les observateurs à r constant ET les voyageurs en chute libre (depuis l'infini d'espace) ont tous des trajectoires rectilignes avec une ponctuation du temps propre régulière !

En espérant que ça vous plaise
-----

[Mailou75]

Et on peut enchainer avec la comparaison des cônes de lumière. Mêmes évènements et même code couleur que précédemment.

J'ai juste redressé Lemaître de 45° pour une meilleure comparaison et que ça pique moins les yeux... Ce qui est intéressant chez Lemaître c'est que l'axe de temps traduit bien le fait que la trajectoire d'un observateur dans l'espace temps EST son axe de temps.
Un autre point remarquable est que les cônes de lumières sont symétriques localement le long de la trajectoire.

Merci d'avance pour vos remarques

Mailou

[Amanuensis]

Ce qui est intéressant chez Lemaître c'est que l'axe de temps traduit bien le fait que la trajectoire d'un observateur dans l'espace temps EST son axe de temps.

??? C'est toujours le cas. Dans n'importe quel système de coordonnées de type 1+3 (une coordonnée temporelle, trois spatiales), la trajectoire d'un observateur immobile dans l'espace-temps est son axe de temps.

Les particularités des coordonnées de Lemaître sont d'une part que le référentiel qu'elles définissent est de chute libre, et d'autre part que la datation (la coordonnée temporelle) est un temps propre pour les immobiles. Je ne vois pas en quoi l'une ou l'autre pourrait se présenter en termes "d'axe du temps".

[Amanuensis]

[
Chez Finkelstein

La coordonnée d'espace est r, celui de Schwarzschild.

Pas "d'espace". Une des difficultés "physiques" (pas mathématiques) des EF est que la coordonnées r est de genre variable sur le domaine de définition.

(En Schw, r est de genre fixe sur chacun des deux (ou plus) domaines de définition, en KS les coordonnées sont de genre fixe sur tout l'espace-temps.)

Comme indiqué dans mon long texte introduit dans une autre discussion, je pense qu'une des grosses sources d'incompréhension des diverses coordonnées vient des genres des coordonnées. De là viennent aussi pas mal de trucs confusants, comme dire que la singularité est "au centre" (pas facile quand on a les deux comme en KS!), ou présenter l'horizon en r=R_s, ou (sujet du long texte) "coller" les deux domaines de définition des coordonnes de Schw, erreur reproduite ici.

[Amanuensis]

Par ailleurs, je précise que je n'interviens pas trop sur les coordonnées EF, PG ou Lemaître, il me reste encore trop de questions sans bonne réponse sur ces coordonnées.

Pour Schw et KS, que je crois maîtriser, je n'ai pas de problèmes avec les diagrammes en KS, mais (répétition) je ne trouve pas les diagrammes en Schw très satisfaisants, même s'ils sont dans la droite ligne de ce qu'on trouve un peu partout.

Plus généralement, je pense que dans l'état des choses, faute de bonne présentation des coordonnées Schw, EF, KS ou Lemaître, seuls les diagrammes en KS permettent une bonne "compréhension" de la solution étendue maximalement (l'espace-temps avec quatre régions).

(Et les coordonnées de Schw sont les plus simples à manipuler si on se restreint à la région I.)

[Amanuensis]

Une remarque de plus, relative aux difficultés venant des EF, PG et Lem.

Il y a manque assez crucial dans la littérature de la distinction nécessaire pour chacun entre deux systèmes, qu'on pourrait noter EF+, EF-, PG+, PG-, Lem+ et Lem-.

Car la situation est différentes du cas des deux autres:

En Schw; quatre domaines d'application disjoints, chacun descriptible avec un système de coordonnées amenant à la même formule de métrique (mais pouvant être mieux présentées avec des coordonnées adaptées à chaque domaine, amenant des formules de métrique différentes) :

En KS: un seul domaine d'application, une formule de métrique unique, donc ;

EF et PG: Deux domaines de définition non disjoints, avec des formules de métrique différentes (mais qu'on pourrait "unifier")

Lem : Deux domaines de définition non disjoints, avec une formule de métrique commune

Pour moi il n'y a pas seulement 5 systèmes, mais bien plus: Schw-I,Schw-II, Schw-III, Schw-IV, EF+, EF-, PG+, PG-, Lem+, Lem-, KS. (Et encore, cela ne prend pas la région III en compte pour EF, PG et Lem.)

Je ne pense pas qu'on puisse dessiner proprement les différentes cartes sans faire ces distinctions.

Et une fois de plus, les coordonnées posant le moins de problèmes sont les KS.

[Mailou75]

Salut,

??? C'est toujours le cas. Dans n'importe quel système de coordonnées de type 1+3 (une coordonnée temporelle, trois spatiales), la trajectoire d'un observateur immobile dans l'espace-temps est son axe de temps.

Oui bien sur et ca reste vrai indépendamment du système de coordonnées et des trajectoires. Ta trajectoire en 4D est toujours ton axe de temps! Je disais juste que c'était flagrant chez Lemaitre car, comme tu le dis, c'est LE référentiel de tous ceux qui chutent depuis l'infini, dans lequel ils "avancent" en restant immobiles.

Pas "d'espace". Une des difficultés "physiques" (pas mathématiques) des EF est que la coordonnées r est de genre variable sur le domaine de définition. (...) je ne trouve pas les diagrammes en Schw très satisfaisants, même s'ils sont dans la droite ligne de ce qu'on trouve un peu partout.

La réponse se trouve dans ta citation, ce qui est fait jusqu'ici a la forme de tout ce qu'on trouve dans la littérature et qui correspond aux équations. C'est une première étape indispensable. Après on pourra faire des hypothèses sur les "inversions" et savoir si elles sont relatives ou absolues, et sur les "rotations" de KS si tu arrives à me dire comment tu veux que ça tourne, mais on en est pas là... Tu voudrais que je te sorte d'emblée les versions "modifiées" ? Je digère à peine celles là

Il n'y a que les trajectoires qui ont des genres pas les coordonnées ! Mais je veux bien que tu me décrives ce que tu imagines pour tes inversions absolues, voir si je me repends?

seuls les diagrammes en KS permettent une bonne "compréhension" de la solution étendue maximalement (l'espace-temps avec quatre régions).

Il va falloir que tu sortes ton mouchoir un jour, III et IV n'existent sans doute pas
(Voir fig du message 142... ce n'est pas ma piste prioritaire en tout cas)

Merci

Mailou

[Mailou75]

A la demande d'Amanuensis : version décomposée des géodésiques nulles

[Mailou75]

J'aimerais poser deux questions :

La première m'étonne depuis quelques temps. Si on prend par exemple Painlevé et Schwarzschild, on voit que la droite/courbe t=0 (cad l'espace synchronisé de l'observateur éloigné à t=0) arrive à la même coordonnée verticale, normal jusqu'ici puisque c'est la référence choisie. Ce qui est plus étonnant c'est que pour t=Rs/c, la droite se décale d'une "unité" (a-dimensionné Rs/c=1) vers le haut chez Schwarzschild et AUSSI d'une unité chez Painlevé. Pourtant sur un axe on lit t et sur l'autre . Représenter ceci revient à admettre que d'une certaine façon t= ?!

La seconde vient du dernier schéma et ne m'avait pas choqué avant. Si on regarde les géodésiques lumière entrantes vertes et bleues dans le GRID, elles se croisent a plusieurs reprises. Prenons un croisement au hasard, que signifie-il ? Il n'y a qu'une dimension d'espace, ça veut dire que deux photons qui se trouvent au même endroit au même moment (évènement) et vont à la même vitesse dans la même direction... empruntent deux trajectoires différentes ?!

Merci

Mailou

[Amanuensis]

Merci pour les dessins, super. Et manifestement un de mes buts est atteint: que cela amène des questions!

La seconde vient du dernier schéma et ne m'avait pas choqué avant. Si on regarde les géodésiques lumière entrantes vertes et bleues dans le GRID, elles se croisent a plusieurs reprises. Prenons un croisement au hasard, que signifie-il ? Il n'y a qu'une dimension d'espace, ça veut dire que deux photons qui se trouvent au même endroit au même moment (évènement) et vont à la même vitesse dans la même direction... empruntent deux trajectoires différentes ?!

L'une vient de la région I l'autre de la région III. Les deux lignes viennent de lieux différents. Et elles ne vont pas à la même vitesse. En région II, en coordonnées de Schw traditionnelles (ce que j'essaye de "corriger" dans mon pdf donné en lien dans mon fil à avec deux messages), la vitesse est dt/dr (et non dr/dt). Les deux vitesses sont différentes, l'une est positive l'autre négative, les lignes vont l'une vers l'autre, se croisent et atteignent la singularité en des lieux distincts (la singularité n'est pas un lieu, mais un futur).

Tout cela est très clair une fois qu'on a abandonné un certain nombre d'idées reçues, d'une part, et qu'on cherche à répondre à ce genre de question avec les coordonnées de KS. Le diagramme KS aurait-il réprésenté aussi la région III qu'il aurait été parfaitement clair que les lignes vertes viennent de la région III.

[Amanuensis]

La première m'étonne depuis quelques temps. Si on prend par exemple Painlevé et Schwarzschild, on voit que la droite/courbe t=0 (cad l'espace synchronisé de l'observateur éloigné à t=0) arrive à la même coordonnée verticale, normal jusqu'ici puisque c'est la référence choisie. Ce qui est plus étonnant c'est que pour t=Rs/c, la droite se décale d'une "unité" (a-dimensionné Rs/c=1) vers le haut chez Schwarzschild et AUSSI d'une unité chez Painlevé. Pourtant sur un axe on lit t et sur l'autre . Représenter ceci revient à admettre que d'une certaine façon t= ?!

La coordonnée "verticale" d'arrivée sur la singularité en Schw n'est pas une coordonnée temporelle mais une coordonnée spatiale.

Pour ça que dans mon mail j'avais proposé que le diagramme de Schw soit séparé en deux et la partie région II tournée de 90°, selon le principe, et pour les raisons, décrites dans mon pdf "Représentations...".

Là encore on voit en KS que les points d'arrivée sont séparés spatialement et non temporellement (une ligne droite les joignant est penché à moins de 45° sur la ligne "horizontale"). En KS la mesure de la séparation est donc une distance.

En Painlevé, c'est plus compliqué (à cause de la coordonnée de genre nul), faut que j'étudie.

---

Ceci dit, la question est fort pertinente, et illustre certains problèmes d'interprétation à partir des diagrammes, en particulier pour celui avec les coordonnées de Schw, de loin le plus "dangereux" de tous, sur un échelle où KS est à l'autre bout.

Petit à petit je vais peut-être arriver à ce qu'un "bon" système de coordonnées est sans singularité de coordonnées, sans changement de genre, et couvrant les quatre régions. Et dans ce qui est présenté un seul a ces propriétés (KS) , et un en a aucune (Schw).

[Mailou75]

Salut, de rien

Les deux lignes viennent de lieux différents. Et elles ne vont pas à la même vitesse. (...) Les deux vitesses sont différentes, l'une est positive l'autre négative (...)

On parle d'un point, d'un évènement et localement la vitesse de la lumière est invariante.
En 1D il n'y a qu'une direction et ils vont dans le même sens.
Réponse incomplète, même joueur rejoue !

(la singularité n'est pas un lieu, mais un futur).
(...)
La coordonnée "verticale" d'arrivée sur la singularité en Schw n'est pas une coordonnée temporelle mais une coordonnée spatiale.

C'est ce qu'il va falloir comprendre

[Amanuensis]

On parle d'un point, d'un évènement et localement la vitesse de la lumière est invariante.

Invariante en module, pas vectoriellement. D'un même événement peuvent partir des rayons lumineux dans plusieurs directions : même en 1D il y a deux directions différentes.

En 1D il n'y a qu'une direction et ils vont dans le même sens

Une seule droite, oui, mais deux sens. Les mouvements vont en sens inverses l'un de l'autre.

Dans la région I c'est évident: l'un monte l'autre descend.

Le principe est général, en 1D+1D il y a toujours exactement deux rayons nuls en un événement, les deux "bords" du cône futur ou ceux du cône passé, pareil.

[Mailou75]

Tu as raison, je fais un pas en avant et deux en arriere... je me cite message 148 :

Il faut bien avoir en tête qu'il n'y a qu'une dimension d'espace, le photon arrive de la gauche (trait épais) ou de la droite (trait fin).

Le post portait sur les cones de lumière et ca m'avait paru naturel mais ça ne l'est pas tant que ça... il faut retenir que les IN-IN (bleues) arrivent toutes de la droite et que les IN-OUT (vertes et rouges) arrivent toutes de la gauche. Au passage de l'horizon, ce qui arrive de la gauche c'est l'horizon lui même. Pas si facile a visualiser...

[Amanuensis]

Au passage de l'horizon, ce qui arrive de la gauche c'est l'horizon lui même.

Oui, mais cela vient d'où quand on remonte le temps?

(Réponse : du *centre (* pour dire que c'est au sens que je propose), puis de l'horizon passé (entre III et IV) et d'une limite assez particulière qu'est la limite commune entre l'horizon et la singularité passée (limite X-T constante quand X et T tendent ensemble vers moins l'infini en coordonnées de KS).

[Mailou75]

Salut,

Si on veut avancer, je pense qu'il va falloir définir quels sont les évènements qui sont synchronisés pour l'observateur en chute libre, et donc ce qu'il traduit comme son espace (euclidien). Les cones seuls donnent ce qui est vu mais pas comment c'est vu. L'évolution de cet espace nous amènera peut être a comprendre l'inversion des genres.

[Mailou75]

Coordonnées EF+

Cher monsieur Wiki,

Selon mon ami Amanuensis, il semblerait que vous écriviez des conneries ou... que vous dessiniez des conneries. C'est au choix mais apparemment les formules que vous donnez ne correspondent pas aux illustrations. Pour ma part, je comprends à peine le mot "métrique", je suis donc mal placé pour juger, mais j'ai une entière confiance dans la capacité d'Amanuensis à lire dans les équations. Merci de bien vouloir corriger, si vous êtes d'accord, la page correspondant aux coordonnées d'Eddington-Finkelstein. Pour vos lecteurs.

..........

Comme évoqué dans le courrier ci dessus, la représentation des géodésiques entrantes à 45° serait plus une convention de lecture que la transcription réelle des équations de EF. Selon Amanuensis, le rayon entrant est horizontal. Cela revient simplement, en repartant des coordonnées de EF déjà données à transformer la coordonnée verticale t' en t'' tel que :



On nommera ici EF+ ce système correspondant à un Eddington "redressé". Le EF qu'on trouve partout est redonné dans le schéma joint. Pour en savoir un peu plus sur ce EF+ et ses extensions possibles dans III et IV, vous pouvez consulter cette page http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5905029. Et si Amanuensis veut vous en toucher deux mots pour clarifier le sujet sur ce fil, il est le bienvenu.

Mailou

[Mailou75]

Ah, un point intéressant que j'ai oublié de mentionner. La "forme de l'espace" cad de la courbe noire t=0 est exactement la courbe des rayons lumineux chez Schwarzschild. Evidement c'est le truc dont on se rend compte une fois qu'on a fini... mais c'est en fait évident puisque la forme des rayons lumineux est rendue plate chez EF+ donc ce qui était plat chez Schw doit prendre une forme "réciproque". L'écart vertical entre t=0 et le passage de la géodésique pour une même coordonnée r doit être une constante pour les deux représentations.

[Amanuensis]

EF+ n'est pas adapté, c'est déjà utilisé ici et là pour distinguer EF+ appliqué aux régions I et II (coordonnées souvent notées (v, r, ...)) et EF- appliqué aux régions IV et I (coordonnées (u, r, ...)). (L'expression des coordonnes EF+ ou EF- en coordonnées de Schwarzschild ne différent que par un signe, mais cela fait toute la différence!)

[Amanuensis]

Sinon, pour le Wiki, la différence entre le texte et le dessin est expliquée dans l'article même. Pas vraiment une erreur, donc. Juste le suivi d'une tradition trompeuse pour qui ne connaît pas au préalable et ne lit pas en détail les petites lignes, comme sur une police d'assurance...

[Mailou75]

D'ac, j'enverrai un courrier d'excuses à M.Wiki

[Mailou75]

Coordonnées de Penrose-Carter

A la base je voulais intituler ce fil "De Kruskal à Penrose" mais je n'étais pas sur d'y arriver... finalement en se donnant un peu de mal

Le coordonnées de Penrose font partie des diagrammes compacts qui compressent l'espace entre Rs et l'infini pour voir au delà des autres systèmes... Les valeurs U et V sont obtenues à partir des r et t de Schwarzschild pour tout évènement de cette façon :

On fixe deux variables A(r,t) et B(r,t)

et

EXTERIEUR





INTERIEUR





NB : r et t sont des valeurs adimensionnées

..........

Voici un premier graph qui montre, en parallèle de KS, le découpage des r et t constants. On voit que le temps (gris, unité Rs/c) croit de façon régulière alors que les coordonnées d'espace (couleurs, unité Rs) s'écartent aux abords de l'horizon. C'est un zoom sur l'horizon comme KS, dans les deux cas au delà de 3Rs ça devient compliqué... A l'intérieur et à l'extérieur les courbes du temps sont identiques. Les rayons lumineux vont à 45°. Je n'ai pas représenté les r en dessous de 0.5Rs, pour simplifier. Voilà vous savez tout !

Bonne lecture

[Mailou75]

Pour poursuivre, comparaison des chutes libres chez Penrose et KS. On retrouve nos petits voyageurs qui tombent depuis l'infini et qui comptent de 0 à 1,1Rs/c entre ~1,4Rs et la singularité. Mais j'ai mis exactement 1,4Rs cette fois, la flemme de faire la courbe, je ne vous cache pas qu'il y a déjà quelques heures de jeu !

[Mailou75]

Et la version pour comparaison avec tous les autres systèmes, ici KS. Pour ceux qui ont un peu suivi le fil inutile de répéter les évènements qui y sont représentés, je ne vous fais pas un dessin !

[Mailou75]

Coordonnées d'Amanuensis

Comme son nom l'indique, ce système nous est proposé par notre ami Amanuensis, merci pour son autorisation d'exploitation

Il s'agit à nouveau de coordonnées compactes qui permettent de voir à l'infini... Cette fois, pour obtenir U' et V' on va compresser les coordonnées r et t de Schwarzschild suivant tanh (à l'exception de r entre 0 et Rs). On aurait pu prendre tan (pas h) ou autre, un choix qui dépend de ce qu'on veut voir...

En illustration la version comparative. On voit que toutes les trajectoires, y compris lumière, traversent l'horizon par des points en (Rs;+/-oo).Pour en savoir plus sur l'utilisation de ces coordonnées, voir : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5905029, rotation de la zone II, inversion de r et t etc... Et si l'auteur veut s'exprimer ici il est le bienvenu

[Mailou75]

Tout ceci mérite bien une petite synthèse... Pour rappel il s'agit des géodésiques lumière arrivant ou "partant" de la singularité à t=0 et à t=Rs/c d'écart, passé et futur. J'en ai profité pour mettre EF+ : les deux premières figures en haut à gauche montent clairement l'inversion entre espace chez Schw et lumière chez EF+.

Voilou c'est fini ! pour la partie officielle du moins... pour poursuivre il faudrait pouvoir décrire ce que voient les observateurs, pas seulement en terme d'évènements mais en terme de "distance visuelle". De quelle façon est projeté le contenu du cône passé pour fabriquer une image ? Que signifie "voir tous les évènements contenus sur l'horizon" au passage de celui, puisqu'il devient alors le cône passé ? Qu'est ce que ça veut dire "inversion de r et t" ? Bref la route est encore longue...

En tout cas j'ai bien bossé, j'espère que ça vous plait et comme ca faisait longtemps..!!!

Merci d'avance pour votre aide, je vais en avoir grand besoin pour aller plus loin

Mailouuu