Coordonnées de genre temps ou lumière en relativité générale

[Dida10]

Bonjour,

Je ne sais pas si je suis sur le bon forum...
Je ne comprends pas pourquoi certaines coordonnées sont décrétées de genre temps ou lumière alors que le g[a][a] associé n'est pas positif ou nul partout (pour fixer les idées je travaille en signature (+,-,-,-)).

Exemple 1
Pour les coordonnées d'Eddington-Finkelstein avancées, on est amené à introduire une nouvelle coordonnée p=ct+r+r[s]ln(abs(r/r[s]-1)). p est décrétée du genre lumière (e.g. in Hobson et Al), alors que :
ds[2]=(1-r[s]/r)dp[2]-.... et que 1-r[s]/r n'est pas identiquement nul...

Exemple2
Toujours dans le même cadre, on définit une coordonnée ct'=p-r, décrétée du genre temps, alors que :
ds[2]=c[2](1-r[s]/r)dt'[2]-.... et que c[2](1-r[s]/r) n'est positif que pour r>r[s]

Merci de m'expliquer ces bizarreries ou de m'indiquer un forum plus approprié.
-----

[Gilgamesh]

Tu es sur le bon forum mais ta question est pour le moins pointue, perso je ne saurais pas repondre. Si personne n'a la reponse ici, on pourra eventuellement deporter le sujet en Physique.

[Amanuensis]

(...)

Caveat: Je ne suis pas totalement certain de ce qui suit, corroboration requise...

C'est dû au terme croisé. Ou en d'autres termes à ce que les coordonnées ne sont pas orthogonales ; car alors il n'est plus correct de dire que le signe de donne le genre de la coordonnée x.

Sauf erreur, il me semble que c'est le signe de qui donne le genre. Dans le cas orthogonal on a , même signe, on peut confondre. Mais dans le cas non orthogonal, ce n'est pas aussi simple.

Dans le cas des coordonnées de Finkelstein, la matrice de la forme métrique est, pour les deux premières coordonnées, . On peut vérifier que la matrice duale est alors , d'où on va déduire que la première coordonnée est de genre nul et la deuxième coordonnée de genre non nul.

[Amanuensis]

Quant au changement de signe...

J'ai rencontré plusieurs fois l'erreur consistant à présenter une coordonnée comme de tel genre alors qu'elle a un genre variable, dépendant de l'événement.

Dans le cas des coordonnées de Finkelstein, la coordonnée r est la même qu'en coordonnées de Schwarzschild (1), elle est donc de genre variable, de genre espace dans la région I, de genre temps dans la région II et de genre nul sur l'horizon.

(1) Le genre d'une coordonnée est le genre de son gradient, et ne dépend pas des autres coordonnées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

Bonjour,

Je ne sais pas si je suis sur le bon forum...
Je ne comprends pas pourquoi certaines coordonnées sont décrétées de genre temps ou lumière alors que le g[a][a] associé n'est pas positif ou nul partout (pour fixer les idées je travaille en signature (+,-,-,-)).

Exemple 1
Pour les coordonnées d'Eddington-Finkelstein avancées, on est amené à introduire une nouvelle coordonnée p=ct+r+r[s]ln(abs(r/r[s]-1)). p est décrétée du genre lumière (e.g. in Hobson et Al), alors que :
ds[2]=(1-r[s]/r)dp[2]-.... et que 1-r[s]/r n'est pas identiquement nul...

Exemple2
Toujours dans le même cadre, on définit une coordonnée ct'=p-r, décrétée du genre temps, alors que :
ds[2]=c[2](1-r[s]/r)dt'[2]-.... et que c[2](1-r[s]/r) n'est positif que pour r>r[s]

Merci de m'expliquer ces bizarreries ou de m'indiquer un forum plus approprié.

Salut

Le genre d'une coordonnée en relativité générale se définit, en chaque point de la coordonnée, par le produit scalaire relativiste du vecteur tangent à la coordonnée en ce point par lui même.
Si ce produit salaire est de type temps, la coordonne est de type temps, etc...Souvent ce genre n'est pas fixe pour une coordonnée, il dépend de la valeur des coordonnées du point, mais il peut aussi ne pas en dépendre.
Par exemple, pour la forme de Edington-Finkelstein ds² = -(1-2GM/r)dv² + (dv.dr+dr.dv) +r²(dS²), la coordonnée r est de type nul partout car son vecteur tangent V(r) de coordonnées "contravariantes" V^µ= {0,1,0,0} et "covariantes" V_µ= {X,0,X,X) a un produit scalaire V^µ.V_µ = 0 (nul). Ici, X, désigne des composantes de coordonnées "covariantes" dont la valeur n'a pas d'importance .
Sur un diagramme, de Minkowski cela se traduit par le fait que le rayon lumière entrant est a coordonnée v = cste (ne dépend pas de r).
Cordialement

[Amanuensis]

Pas mal de contradictions avec ce que j'ai écrit.

Je suis surpris par la définition du genre d'une coordonnée.

Je croyais avoir compris qu'une coordonnée était un champ scalaire, ce qui n'est pas adapté à une notion de "vecteur tangent à une coordonnée", mais permet de parler de sa dérivée (par la dérivée covariante), son "gradient" (entre guillemets car je réfère ici à la forme linéaire), et donc du genre de cette dérivée (en un événement donné). Comme il s'agit de la dérivée covariante, le gradient et son genre sont indépendants des autres coordonnées, et donc une même coordonnée apparaissant dans deux systèmes de coordonnées (r en coordonnées de Schwarzschild et en coordonnées de Finkelstein, par exemple), a un genre propre à la coordonnée, au champ scalaire qu'est cette coordonnée, indépendamment du système de coordonnées que l'on étudie.

Évidemment, la réponse au primoposteur dépend de la définition de "genre d'une coordonnée"...

[Amanuensis]

PS: Je note aussi que ce qui est décrit dans le message #1 pour les coordonnées de Finkelstein, c'est la coordonnée v qui est indiquée de genre nul (ce qui est cohérent avec ce que j'ai écrit) et non la coordonnée r.

Mais je ne discuterai pas plus, connaissant l'inutilité de cela dans une situation du genre de la présente. Si problème il y a, c'est celui du primo-posteur, et ce n'est certainement pas le mien.

[Mailou75]

Bonsoir,

Quel est l'apport des coordonnees d'Eddington-Finkelstein par rapport à celles de Painlevé ? Elles sont très proches a la difference que la geodesique entrante est droite et à 45° au lieu d'etre legerement courbe.
Elles ne semblent pas associées a un observateur donné comme le sont celle se Schwarzschild ou Painlevé, que nous apporte ce systeme de coordonnées ?

Merci

[ordage]

Pas mal de contradictions avec ce que j'ai écrit.

Je suis surpris par la définition du genre d'une coordonnée.

Je croyais avoir compris qu'une coordonnée était un champ scalaire, ce qui n'est pas adapté à une notion de "vecteur tangent à une coordonnée", mais permet de parler de sa dérivée (par la dérivée covariante), son "gradient" (entre guillemets car je réfère ici à la forme linéaire), et donc du genre de cette dérivée (en un événement donné). Comme il s'agit de la dérivée covariante, le gradient et son genre sont indépendants des autres coordonnées, et donc une même coordonnée apparaissant dans deux systèmes de coordonnées (r en coordonnées de Schwarzschild et en coordonnées de Finkelstein, par exemple), a un genre propre à la coordonnée, au champ scalaire qu'est cette coordonnée, indépendamment du système de coordonnées que l'on étudie.

Évidemment, la réponse au primoposteur dépend de la définition de "genre d'une coordonnée"...

Salut
Certes les coordonnées sont un champ scalaire sur sur la variété. On peut effectivement prendre localement le gradient de ce champ scalaire sur la variété et par ce biais tracer par continuité des courbes sur la variété qu'on appelle aussi "coordonnées"(qu'on devrait peut-être appeler lignes de coordonnées pour éviter toute confusion). En fait c'est une courbe sur la variété, comme bien d'autres sauf qu'elle est particulière dans la mesure où si a est son paramètre affine, sa définition paramétrique ne dépend que de cette coordonnée. Ces "lignes de coordonnées" sont souvent utilisées quand on fait des figures pour illustrer une situation. On peut prendre la tangente à cette courbe qui est un vecteur dans l'espace tangent dont on peut calculer, par le produit scalaire utilisant la métrique, un genre (temps, nul, espace) qu'on attribue localement à la ligne de coordonnées, en raccourci à la "coordonnée". Il y a sans doute, d'autres méthodes, celle là a l'avantage, à mon sens, d'être simple et pratique, en particulier lorsque les coordonnées sont assez complexes.

nota: Dans l'exemple que j'ai donné, avec la forme habituelle de Finkelstein, c'est bien la coordonnée r qui est nulle en tout point de la variété.

Pour répondre à Mailto75, dans la forme de Painlevé il n'y a pas de coordonnée nulle partout, mais le calcul, qu'on pourrait faire avec la méthode indiquée, montrerait que la coordonnée temps change de genre en passant sur l'horizon où elle s'annule et devient de type espace sous l'horizon, où on a alors 4 coordonnées de type espace, ce qui n'empêche pas qu'il existe des lignes d'univers, (dont des géodésiques), de type temps sous l'horizon, qui sont déterminées par la métrique qui inclut un terme non quadratique en dr.dt. C'était d'ailleurs l'idée originale de Painlevé, en 1921, car ce terme en dr.dt, dans ce type de coordonnées, est caractéristique d'une "orientation" de l'espace-temps qui explique pourquoi on peut traverser l'horizon dans un sens et pas dans l'autre.

Cordialement

[Amanuensis]

Le message #25 revient à "conforter" l'idée a priori de Dida10 que le "genre d'une coordonnée" est donné par le signe de g_{xx}, et donc à conforter son incompréhension.

Par ailleurs, je continue à trouver la définition étrange, dans la mesure où le genre d'une coordonnée dépend alors des autres coordonnées, et que la coordonnée r dans les coordonnées de Finkelstein (1), qui est la même coordonnée que r dans les coordonnées de Schwarzschild, se voit avoir des genres différents selon le cas.

Maintenant, si les "spécialistes" choisissent une définition du "genre d'une coordonnée" aussi bizarre, je comprends parfaitement l'incompréhension du primo-postant, et me ferais un devoir de ne pas utiliser cette définition du "genre d'une coordonnée".

Maintenant, l'inutilité d'une discussion étant confirmée, je quitte la participation active à ce fil dans l'état.

(1) Que je comprends être celles de la géométrique de Schwarzschild telle que la métrique se présente par exemple comme . Je précise ; peut-être parle-t-on d'un système de coordonnées autre?

[Mailou75]

Salut et merci,

Pour répondre à Mailto75, dans la forme de Painlevé il n'y a pas de coordonnée nulle partout, mais le calcul, qu'on pourrait faire avec la méthode indiquée, montrerait que la coordonnée temps change de genre en passant sur l'horizon où elle s'annule et devient de type espace sous l'horizon, où on a alors 4 coordonnées de type espace, ce qui n'empêche pas qu'il existe des lignes d'univers, (dont des géodésiques), de type temps sous l'horizon, qui sont déterminées par la métrique qui inclut un terme non quadratique en dr.dt. C'était d'ailleurs l'idée originale de Painlevé, en 1921, car ce terme en dr.dt, dans ce type de coordonnées, est caractéristique d'une "orientation" de l'espace-temps qui explique pourquoi on peut traverser l'horizon dans un sens et pas dans l'autre.

4 coordonnées d'espace ?? je croyais que r et t s'inversaient. J'avoue ne pas avoir encore mis le nez dedans, me conformant jusqu'ici aux representations admises mais je pensais bien "permuter" les genres comme on me l'a soufflé. Quel serait alors le sens d'une "trajectoire" qui parcours de l'espace en fonction... d'espace ?
As tu un exemple de ceci, un diagramme avec que des coordonnees d'espace en dessous de Rs ? J'ai l'impression que cette partie de la RG est plutot esotherique...

Merci

Mailou

[ordage]

A-Par ailleurs, je continue à trouver la définition étrange, dans la mesure où le genre d'une coordonnée dépend alors des autres coordonnées, et que la coordonnée r dans les coordonnées de Finkelstein (1), qui est la même coordonnée que r dans les coordonnées de Schwarzschild, se voit avoir des genres différents selon le cas.



B-Maintenant, l'inutilité d'une discussion étant confirmée, je quitte la participation active à ce fil dans l'état.

C-(1) Que je comprends être celles de la géométrique de Schwarzschild telle que la métrique se présente par exemple comme . Je précise ; peut-être parle-t-on d'un système de coordonnées autre?

Salut
A- C'est la même coordonnée, mais une coordonnée n'ayant aucun caractère physique, il n'y aucune raison de lui attribuer un caractère espace ou nul intrinsèque. Effectivement le type dépend de la forme de métrique, avec les coordonnées associées, qui détermine entre-autres le cône de lumière local qui lui même va déterminer le type (espace- à l'extérieur du cône, nul- sur le cône ou temps-à l'intérieur du cône), localement, des lignes d'univers (géodésiques ou non). Ceci s'applique donc à la courbe de coordonnée locale dont le type est déterminé par sa position par rapport au cône de lumière (extérieur, sur ou intérieur). Le calcul proposé ne fait que mettre en œuvre cette propriété. Mais il y a peut-être d'autres méthodes.

Est-ce plus clair, énoncé ainsi?

Dans sa forme, Finkelstein s'est intéressé aux géodésiques radiales des photons (à la différence de Painlevé qui est son équivalent, mais pour les géodésiques radiales de matière). La démarche de Finkelstein qui préfigure celle de Kruskal n'est pas anodine car les géodésiques nulles présentent un intérêt particulier qui permet de classifier les espaces-temps (directions nulles principales).

B- Je suppose que tu parles pour toi.

C- OK pour Finkelstein, on peut écrire 2 dr.dv car, ici, dr et dv commutent mais ce n'est pas toujours le cas et la forme rigoureuse est dv.dr + dr.dv.

Cordialement

[ordage]

Salut et merci,



A-je croyais que r et t s'inversaient.
B-J'ai l'impression que cette partie de la RG est plutot esotherique...

Merci

Mailou

Salut
A- C'est dans la forme Schwarzschild que t et r changent de type (simultanément mais avec singularité sur l'horizon) en traversant l'horizon. Dans la forme de Painlevé , il n'y a que la coordonnée t qui change de type en passant de type temps à l'extérieur au type espace à l'intérieur, via un type nul (non singulier) sur l'horizon.
B- La relativité générale c'est beaucoup de mathématiques. Certaines parties sont accessibles d'autres plus délicates. Mais pour les cônes de lumière qui définissent le type je pense que c'est accessible, il faut juste préciser le critère.

Cordialement

[Mailou75]

Salut et merci,

Salut
A- C'est dans la forme Schwarzschild que t et r changent de type (simultanément mais avec singularité sur l'horizon) en traversant l'horizon. Dans la forme de Painlevé , il n'y a que la coordonnée t qui change de type en passant de type temps à l'extérieur au type espace à l'intérieur, via un type nul (non singulier) sur l'horizon.

Intéressant, je ne sais pas où cela nous mène si on compare les résultats obtenus dans chaque système..?

Quelque chose n'est pas clair quand tu parles du changement de type des coordonnées : On a pas l'impression que tu parles de coordonnées (r,t) mais des géodésiques lumière qui passent en effet par le stade "horizon" où le cône passé EST l'horizon. Ceci équivaut effectivement à dire que du point de vue de l'observateur éloigné cette trajectoire n'est plus temporelle (verticale chez Schw par exemple) mais nulle (l'horizon est un rayon lumineux). La nuance que j'essaye de faire c'est qu'il y a une différence à dire que le type est "binaire ou nul" (r, 0 ou t) et dire que suivant la position d'un observateur, la forme du cône lumineux est variable et passe par un stade particulier sur l'horizon.
Les évènements appartenant à Rs qui sont décrits comme l'histoire de l'horizon au cours du temps sont vus simultanément par celui qui franchit l'horizon. C'est assez compliqué à se représenter mentalement, ce qui pour nous est l'histoire d'un point peut être lu instantanément, celui qui chute voit au moment où il franchit l'horizon TOUS les objets qui ont franchi l'horizon depuis l'infini passé, au moment où ils l'ont franchi.

B- La relativité générale c'est beaucoup de mathématiques. Certaines parties sont accessibles d'autres plus délicates. Mais pour les cônes de lumière qui définissent le type je pense que c'est accessible, il faut juste préciser le critère.

Oui les cônes c'est pas sorcier mais en déduire quels sont les éléments qui sont considérés comme synchronisés (espace "euclidien" associé au cône passé et la ligne d'univers) pour parler de ce qu'est l'"espace" d'un voyageur, c'est une autre paire de manches. On voit souvent des petits cônes avec des bases parallèles à l'espace r de Schw mais j'ai peur que ce ne soit une représentation fausse !? (perso je suis resté évasif sur le sujet jusqu'ici)

Merci

Mailou

[Amanuensis]

On avait "genre", maintenant on a "type", c'est de plus en plus confus.

-----------

Après examen et discussion hors forum qui m'ont enlevé mes derniers doutes, j'en reste à des définitions claires et nettes:

1) Le genre d'un vecteur (ou d'une 1-forme) est donné par le signe de sa norme carrée ;

2) Le genre d'une coordonnée x se définit comme le genre de dx (qui est une forme, le "gradient" du champ scalaire x);

3) Par conséquent le genre de dx est le coefficient de g^{xx}.


Application: la coordonnée v de Finkelstein est de genre partout nul, et la coordonnée r a le même genre que la coordonnée r de Schwarzschild dans l'intersection des domaines de définition, et de genre nul sur l'horizon.

(Et l'incompréhension indiquée dans le message #1 vient de la confusion entre g^{xx} et g_{xx}, confusion venant vraisemblablement du fait que pour un système de coordonnées orthogonal (ce que n'est pas les coordonnées de Finkelstein) les deux coefficients ont le même signe.)

[Amanuensis]

Addendum:

Développons le cas des coordonnées de Finkelstein, dans lesquelles la métrique de la géométrie de Schwarzschild s'écrit .

La métrique duale est alors, réduite aux deux premières coordonnées, .

Comme , p est de genre nul, et comme , r a exactement le même genre (variable, en particulier spatial dans la région I) qu'en coordonnées de Schwarzschild, en cohérence avec les références citées dans le message #1.

Cela devrait répondre correctement au message #1.

[Amanuensis]

4 coordonnées d'espace ??

Je pense que ce n'est pas possible quand la métrique n'est pas euclidienne (donc pour un espace-temps). Si correct, cela doit pouvoir se démontrer.

Pour les coordonnées de Painlevé, la forme métrique étant , la métrique duale (réduite aux deux premières coordonnées) est , (le déterminant est égal à -1). La coordonnée t est de genre temps partout. La coordonnée r est spatiale en région I (r>2M) et temporelle en région II (r<2M) (comme en coordonnées de Schwarzschild, encore une fois c'est la même coordonnée).

En région II on a donc deux coordonnées temporelles (t et r) et deux spatiales (les deux angulaires).

[Mailou75]

On avait "genre", maintenant on a "type", c'est de plus en plus confus.

On est aussi passé du genre d'une trajectoire au "genre" d'une coordonnée ! Autrement dit qu'un genre est defini pour un observateur (celui de Schw) et ça, ça m'ennuie un peu plus. J'ai plutot l'impression que le genre n'a rien d'absolu : Pour l'obs a l'infini la trajectoire de l'horizon est bien de genre temps, pour celui qui chute elle est de genre lumière. C'est un poil different de ce que vous annoncez mais c'est ce que decrivent les coordonnées. Je me trompe ?

[Amanuensis]

le genre n'a rien d'absolu

Le genre d'un vecteur ou d'une forme (i.e., si sa norme carrée est nulle, de signe majoritaire ou de signe minoritaire) est absolu.

Avec la définition que j'indique, le genre d'une coordonnée est absolu (quand on voit la coordonnée comme un champ scalaire). (Note: cela permet de confondre "coordonnée de genre temps" et "datation".)

[ordage]

A- On avait "genre", maintenant on a "type", c'est de plus en plus confus.

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B- Le genre d'un vecteur (ou d'une 1-forme) est donné par le signe de sa norme carrée ;

C- Le genre d'une coordonnée x se définit comme le genre de dx (qui est une forme, le "gradient" du champ scalaire x);

Salut
A- Afin d'éviter les querelles byzantines, quelle différence fais-tu entre "genre" et" type".
B- C 'est effectivement ce que je disais.
C- Le désaccord est lié à une différence de définition du "genre" d'une coordonnée .
Par exemple: Spacetime and geometry (S. Carroll) p. 224 à propos de coordonnées "nulles"dans une version intermédiaire de la forme de Kruskal à partir de celle de Finkelstein:

"Les deux coordonnées v et u sont nulles, dans le sens où leurs dérivées partielles sont des vecteurs nuls."

Par coordonnées il faut entendre "courbes de coordonnées, qui sont des courbes bien définies" ainsi que leurs dérivées partielles qui définissent les vecteurs tangents.

Ce critère présente l'avantage de positionner localement la courbe de la coordonnée dans le cône de lumière local, constitué de vecteurs nuls, qui définit les régions locales de genre temps, nul et espace et permet donc d'attribuer, par des critères géométriques et topologiques, un genre.
On sait positionner un vecteur par rapport à d'autres dans l'espace vectoriel tangent.

Je n'ai jamais vu d'utilisation du critère "genre nul défini par le gradient" et son utilité, mais rien n'empêche de la faire, j'en conviens. Peut-être as-tu des références?

Cordialement

[Mailou75]

Bonsoir,

Si j'essaye de résumer ce que je comprends...

L'observateur de Schwarzchild à l'inifini (en coordonnées de Schw) est en espace ~plat, son temps est vertical et les rayons lumineux sont à 45°.
Le trou noir est unique et entouré de vide, sans autre référence, le centre du trou noir (singularité) est statique, c'est le centre r=0 des coordonnées. L'horizon se trouve à r=Rs et l'observateur à r=oo.

Pour cet observateur, qui n'a pas conscience de la courbure des rayons lumineux à l'approche de Rs, TOUT se déplace verticalement le long de l'axe de temps : les verticales r=0 et r=Rs sont les trajectoires de la singularité et de l'horizon, pour lui ce n'est qu'une boule qui se reproduit à l'identique au même endroit au cours du temps, au même titre que n'importe quel astre immobile (en théorie classique par exemple).

Mais il se trouve qu'à r=Rs les rayons lumineux sont verticaux (pour une projection adaptée à l'observateur à l'infini, celle de Schw). Ceci ne change pas pour autant le genre qu'il attribue à l'horizon, celui ci a bien un r=Rs fixe et une variable t égale à la sienne. La trajectoire de l'horizon est pour lui de genre temps et plus précisément du même temps t que lui. Il en est de même pour la singularité.

Donc je ne suis pas vraiment d'accord pour dire qu'en Rs le genre de la coordonnée devient nul. La trajectoire des rayons lumineux en Rs est simplement verticale, ce qui en fait un déplacement parallèle à la ligne d'univers de l'observateur à l'infini et donc un horizon. C'est justement parce que le genre de la trajectoire ne change pas dans la projection du cone passé de l'observateur que celle de la lumière en Rs devient de genre temps (celui de l'obs LE t) et que par conséquent les trajectoires ne se croiseront jamais !

Pour un observateur qui se trouverait en Rs, le rayon est parfaitement vu, il n'est donc pas de genre temps pour lui, mais de genre lumière. Certes ce qui est vu est tout à fait particulier (l'histoire de l'horizon jusqu'à t=-oo). Du point de vue de l'observateur à l'infini c'est même un fait impossible, et pourtant...

Pour résumer, je ne suis pas d'accord pour dire qu'il existe un genre absolu. Le genre doit être défini pour chaque point d'une carte.

Il y a sans doute une erreur dans ce raisonnement mais où se trouve-t-il ?

Merci

Mailou

[Amanuensis]

Pour résumer, je ne suis pas d'accord pour dire qu'il existe un genre absolu.

Le genre de quoi? D'un quadrivecteur?

Il y a sans doute une erreur dans ce raisonnement mais où se trouve-t-il ?

Semble être toute une série de confusions, difficile à analyser à cause des ambiguïtés de terminologie.

[mach3]

Ceci ne change pas pour autant le genre qu'il attribue à l'horizon, celui ci a bien un r=Rs fixe et une variable t égale à la sienne.

Déjà, l'horizon est de genre nul. Point. Non discutable. Et le genre d'un quadrivecteur est une propriété invariante, parce que la norme au carré d'un quadrivecteur est invariante, parce qu'il y a localement invariance de Lorentz, partout. Par extension (suivant les définitions qui ont été discutés), le genre d'une coordonnée en un événement donné (qui est le genre d'un certain quadrivecteur calculé en cet événement) est invariant. Que vous ayez du mal à le comprendre, soit, mais votre façon de formuler vos questions fait penser que vous remettez en cause, ce qui n'est pas une attitude correcte.

Pas le temps d'en dire plus, j'ai le loulou à déposer à l'école.

m@ch3

[Amanuensis]

Déjà, l'horizon est de genre nul.

Précisons qu'on parle dans ce cas du genre d'une hypersurface. Ce qui demande définition, car ce n'est pas directement celle du genre d'un quadrivecteur, d'une forme ou d'une coordonnée.

------

Notons qu'il y a une relation possible entre le genre d'une hypersurface le genre d'une coordonnée, en réalisant qu'un ensemble défini par une coordonnée donnée constante est une hypersurface (qui est indépendante du jeu de coordonnées auquel la coordonnée appartient). La cohérence est obtenue si on définit les "genres" de manière à ce que le genre d'une coordonnée en un événement soit donnée univoquement par le genre de l'hypersurface définie par cette coordonnée constante égale à sa valeur en l'événement. (Et alors dire que la coordonnée r de Finkelstein (ou la coordonnée r de Painlevé, pareil) est de genre nul en r=R_s est la même chose que dire que l'horizon est de genre nul, puisque l'horizon est l'hypersurface r=Rs.)

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Caveat pour la définition du genre d'une hypersurface: il paraît raisonnable de définir le genre d'une hypersurface telle que la métrique induite soit euclidienne (comme une surface de simultanéité) de manière telle que le genre de l'hypersurface soit "spatial". Alors que le genre d'une coordonnée t définissant une hypersurface de simultanéité est (devrait être, raisonnablement) temporel.

[Amanuensis]

PS: J'ai ma petite idée sur la définition rigoureuse du genre d'une hypersurface, mais je préfèrerais que quelqu'un d'autre en propose une ou, mieux, donne une référence indiquant clairement une telle définition (je n'en ai pas trouvé pour le moment).

[mach3]

Précisons qu'on parle dans ce cas du genre d'une hypersurface. Ce qui demande définition, car ce n'est pas directement celle du genre d'un quadrivecteur, d'une forme ou d'une coordonnée.

oui, dire que l'horizon est de genre nul, c'était parler un peu vite. Par contre la partie visible dans les représentations courantes 1D+1D en radial (que ce soit une verticale dans les coordonnées r,t de Schwarzschild, ou une diagonale à 45° dans les coordonnées X,T de Kruskal), est bien de genre nul, et strictement. L'intervalle entre deux évènements de l'horizon possédant les même coordonnées angulaires (theta, phi) est nul, ils sont connectés par une géodésique de genre nul, c'est à dire que les quadrivecteurs tangents à cette géodésique sont tous de genre nul. Et ça c'est invariant.
Par contre si les coordonnées angulaires des deux évènements de l'horizon sont différentes, on a pas le genre nul (et j'intuite que c'est genre espace exclusivement, en gros un évènement sur l'horizon ne peut causer un autre évènement sur l'horizon que via une géodésique de genre nul, comme un signal lumineux). Donc c'est aller trop loin que de dire que l'horizon est de genre nul en tant qu'hypersurface, pour autant que le genre d'une hypersurface signifie vraiment quelque chose.

m@ch3

[Matmat]

PS: J'ai ma petite idée sur la définition rigoureuse du genre d'une hypersurface, mais je préfèrerais que quelqu'un d'autre en propose une ou, mieux, donne une référence indiquant clairement une telle définition (je n'en ai pas trouvé pour le moment).

http://ion.uwinnipeg.ca/~vincent/450...ersurfaces.htm

[Amanuensis]

OK, cela semble en ligne avec ce que je pensais. (Je partais plutôt sur la signature de la métrique induite, mais avec la normale c'est plus clair.)

Le texte parle du genre d'une hypersurface, mais principalement du genre d'une coordonnée, qui est bien définie comme le genre d'une hypersurface iso-coordonnée, et bien définie comme donné par le signe de g^xx, coefficient du "tenseur métrique contravariant", ce que j'appelle l'application duale (la forme métrique pour le cotangent).

---

Très satisfaisant pour moi, cela conforte tout ce que j'ai écrit sur ce fil.

[Amanuensis]

PS: Avec la définition donnée, le genre de l'hypersurface r=R_s (l'horizon) en coordonnées de Finkelstein ou en coordonnées de Painlevé (1) est bien le genre de la coordonnée r pour les événements de l'horizon et est bien de genre nul et c'est bien une propriété "absolue".

(1) Cela n'est pas applicable aux coordonnées de Schwarzschild, je laisse comprendre pourquoi...

[ordage]

http://ion.uwinnipeg.ca/~vincent/450...ersurfaces.htm

Salut
Pour illustrer ta référence (en français), de façon générale:
Sur une variété à n dimensions (n degrés de libertés) on définit une hypersurface à n-1 dimensions (n-1 degrés de libertés) en imposant une contrainte, par exemple qu'une fonction f(x0, x1, ...xn) des n coordonnées, associées aux n dimensions, soit constante, soit f(x0, x1, ..,xn) =constante.
On définit le 4-vecteur



qui est par construction orthogonal à l'hypersurface (dans le sens où il est orthogonal à tous les vecteurs de l'hypersurface).
Si N est de genre temps, l'hypersurface est de genre espace et réciproquement. S'il est nul, l'hypersurface est nulle ce qui implique que l'hypersurface nulle ne contient que des vecteurs nuls.

Cordialement