La lumière occupe-t-elle de l'espace ? A-t-elle un volume ?

[yves95210]

@yves95210

Pour ton message 77 il faudrait que je me plonge un peu dans les equations mais j’ai un mauvais pressentiment... ca m’a tout l’air de flirter avec la densité critique et je refuse ce calcul à la base, a fortiori tout ce qui en decoule.

Le modele EdS est dans mon programme, je dois l’etudier car il est le «toy» epuré du modele actuel et j’ai un penchant pour les théories propres... quant à la courbe H(t) elle pourrait m’interesser (et la suite avec t futur aussi pour un foromeur), encore une fois comme base de ce que dit la theorie aujourd’hui. Il est tres difficile de faire le tri entre ce qui est mesuré et ce qui est dejà le fruit de la theorie, a quoi peut on vraiment se fier ?

Salut, et bonne année !

La densité critique est une conséquence immédiate de la RG via la métrique FLRW et l'équation de Friedmann, qui en sont la solution générale pour un espace-temps spatialement homogène et isotrope.
Tout ce que ça dit, c'est qu'il y a un lien entre l'expansion et la courbure de l'espace-temps (bref, sa géométrie et sa dynamique) et son contenu. Comme ce contenu est homogène, on peut l'exprimer sous forme de paramètres de densité, dont la valeur est identique dans tout l'espace à un instant t donné.

L'équation complète, formulée à l'aide des paramètres de densité sans dimension est ;

M pour la matière non relativiste (i.e. dont la vitesse propre des particules est très inférieure à c), R pour la matière relativiste (rayonnement), Lambda pour la constante cosmologique, K pour la courbure.

Cela peut paraître un peu trop simple, mais il ne s'agit bien que d'une reformulation, puisque l'équation complète est :

avec k=0 pour des sections spatiales (à t constant) de géométrie euclidienne ("plates" dans le vocabulaire courant), k=1 pour une géométrie sphérique, k=-1 pour une géométrie hyperbolique.
Pour passer aux Omega, sans dimension, on ne fait que diviser les différents termes de cette équation par H². Bref, les deux formulations sont strictement identiques.
A l'époque actuelle on peut négliger , j'ai déjà expliqué pourquoi. Il reste


C'est seulement parce qu'on observe que l'espace est plat (ou quasiment), que la notion de densité critique devient... critique : en effet, dans ce cas le paramètre de courbure est nul (ou négligeable) et, par construction, la somme des autres paramètre doit rester égale à 1, ce qui impose :


Retraduit en termes de densités volumique d'énergie, cela revient à écrire

et à appeler densité critique la valeur du membre de droite de l'équation. "Critique" dans le sens où la somme des densités d'énergie de tous les types de contenus de l'univers doit être égale à cette valeur pour que l'espace soit plat. Mais il ne s'agit jamais que d'une valeur obtenue à partir des mesures de la constante G d'une part et du paramètre de Hubble d'autre part.
Pour revenir à la case départ, ce n'est encore que l'équation de Friedmann, limitée au cas particulier d'un espace-temps de sections spatiales plates. Et c'est bien parce qu'on observe cette "platitude" avec une incertitude de mesure de l'ordre de 0,5% qu'on se limite à ce cas particulier. Je ne sais d'ailleurs pas si le fait d'introduire un paramètre de "densité de courbure" inférieur à 0,5% modifierait fondamentalement le modèle ; il faudrait faire le calcul pour voir à quel point l'impact de cette courbure resterait négligeable (je suppose que ça a déjà été fait).

Remarque : c'est une des raisons pour lesquelles on a besoin de Lambda. Même en tenant compte de l'hypothétique matière noire (quoi que ce soit) dans la densité d'énergie de la matière, il manque encore 70% de la densité d'énergie nécessaire pour atteindre la densité totale expliquant qu'on observe un espace plat. Sinon on pourrait se contenter du modèle d'Einstein-de Sitter, dans lequel l'équation de Friedmann se simplifie encore plus, puisqu'elle se réduit alors à


PS : je vois que tu as posté un nouveau message. Si nécessaire j'y répondrai plus tard.
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[yves95210]

Parce qu’on arrive à la conclusion (ou qu’on a pris au depart l’axiome) que l’univers visible est un trou noir entouré de vide. Pas d’accord...

Non, là tu as tout faux. Au contraire, on suppose qu'un observateur situé "au bord" de notre univers observable au même instant t du temps cosmologique verrait lui aussi un univers observable identique au nôtre à grande échelle, bien que "son" univers observable ne soit pas visible pour nous (de toute façon, t = aujourd'hui et qu'il habite à un paquet de milliards d'années-lumière de chez nous, on n'est pas près de pouvoir comparer nos observations... Mais tu peux voir ça comme une expérience de pensée.)

Le modèle d'espace-temps plat se prolonge à l'identique (homogène et isotrope) dans toutes les directions, bien au-delà de la boule que constitue notre univers observable. Après, on peut penser qu'il ne représente l'univers réel que par approximation et qu'à très grande échelle (des milliers de fois le rayon de l'univers observable) l'univers présente une courbure significative. Mais tant qu'on ne sait pas mesurer l'impact de cette courbure sur des phénomènes observables à l'intérieur de notre petite boule d'univers, ça ne remet pas en cause le modèle.
Et tu peux mettre l'origine du système de coordonnées de la métrique FLRW n'importe où dans l'univers, par exemple sur la planète de l'observateur lointain ci-dessus, le résultat sera le même.

Si au contraire ton hypothèse était correcte, tu ne crois pas qu'on observerait des trucs bizarres près du "bord" de notre boule d'univers ??? Anisotropie assurée puisque tu aurais du vide d'un côté et toute la matière de l'autre. Ton analogie avec un trou noir ne tient pas la route, il n'y a pas d'horizon autre que pour nos observations (notre cône passé qui fait que des photons émis depuis une distance trop grande ne nous sont pas parvenus, et, si l'expansion ne ralentit pas, ne nous parviendront jamais. Mais il ne s'agit pas d'un horizon physique.)

[Mailou75]

Bonne année a toi aussi et aux autres cosmologistes en herbe

Merci pour ton explication sur les omegas, elle jette un peu de lumiere sur leur fonctionnement et leur rapport à la «densité critique». Pour tout te dire j’ai du mal a croire que la RG appliquée à l’univers soit la solution, pas plus qu’elle ne l’est sur les galaxies. Si effectivement la matiere etait repartie de maniere homogene alors ca ne ferait sans doute pas grande différence avec un vide. Saupoudrer un vide avec quelques grains de matiere aurait des effets locaux, ceux de la RG, mais peu a grande echelle. Je n’ai pas ete verifier (pas capable) l’equation qui prouve que l´univers est en expansion (ou contraction) mais je reste sceptique...

(...) on suppose qu'un observateur situé "au bord" de notre univers observable au même instant t du temps cosmologique verrait lui aussi un univers observable identique au nôtre à grande échelle, bien que "son" univers observable ne soit pas visible pour nous (...)

Il en verrait quand meme la «moitié» (compressée vers son horizon ou au premier plan, ca c’est le sujet qui m´interesse au message 79 ? sur la 3D la sphere CMB est la petite bille rouge centrée sur l’observateur, ce n’est pas un arriere plan ! enfin c’est ce que j’essaye de determiner...)

Si au contraire ton hypothèse était correcte, tu ne crois pas qu'on observerait des trucs bizarres près du "bord" de notre boule d'univers ??? Anisotropie assurée puisque tu aurais du vide d'un côté et toute la matière de l'autre. Ton analogie avec un trou noir ne tient pas la route (...)

Mais ce n’est pas mon analogie, simplement une reconstruction du calcul. Si je pars de Rh=Rs j’obtiens le meme resultat pour la densité critique, avec toutes les «impasses» citées dans le lien du message 90. Dans ce cas comment expliquer que j’obtiens de bons resultats avec des axiomes faux ? Par quel biais obtient on le meme resultat pour le juger juste ? Je ne cherche pas a monter que ma demonstration est la bonne mais plutot que le resultat est faux dans l’absolu.

Merci

[stefjm]

Appliquer une théorie locale, à base d'équations différentielles, à un tout m'a toujours paru bizarre.
On est forcément emmerdé avec les conditions aux limites et les conditions initiales.
C'est connu depuis Poincaré et il ne me semble pas que le soucis ait été élégamment résolu.
Je cite:

Or, comment peut-on passer des équations finies aux équations différentielles dont elles sont les intégrales ? il faut connaître plusieurs intégrales particulières différant les unes des autres par les valeurs attribuées aux constantes d’intégration, puis éliminer ces constantes par différentiation ; une seule de ces solutions est réalisée dans la nature, bien qu’il y en ait une infinité de possibles ; pour former les équations différentielles, il faudrait connaître non seulement celle qui est réalisée, mais toutes celles qui sont possibles.

Or, si nous n’avons qu’un seul système de lois s’appliquant à tout l’univers, l’observation ne nous donnera qu’une solution unique, celle qui est réalisée ;car l’univers n’est tiré qu’à un seul exemplaire ; et c’est là une première difficulté.

https://fr.wikisource.org/wiki/Page:...,_1920.djvu/62

[yves95210]

Pour tout te dire j’ai du mal a croire que la RG appliquée à l’univers soit la solution, pas plus qu’elle ne l’est sur les galaxies. Si effectivement la matiere etait repartie de maniere homogene alors ca ne ferait sans doute pas grande différence avec un vide. Saupoudrer un vide avec quelques grains de matiere aurait des effets locaux, ceux de la RG, mais peu a grande echelle. Je n’ai pas ete verifier (pas capable) l’equation qui prouve que l´univers est en expansion (ou contraction) mais je reste sceptique...

Voilà, tu en es encore à vouloir remettre en cause la RG
Mais bon, il se trouve que Friedmann et Lemaître ont pondu une solution de l'équation d'Einstein qui permettait de prédire l'expansion de l'univers avant que celle-ci soit observée par Hubble, à une époque où personne (surtout pas Einstein) ne pensait que l'univers pouvait ne pas être statique - donc on ne peut pas les suspecter d'avoir voulu à tout prix faire coller la théorie avec une observation inexpliquée. A priori, si cette solution était fausse mathématiquement, ça se saurait, depuis que des générations de cosmologistes l'ont étudiée (et, pour ce que ça vaut, j'ai refait les calculs moi-même, pas parce que j'avais un doute mais à titre d'exercice, et j'ai bien retrouvé l'équation de Friedmann).

Certes cette solution repose sur l'hypothèse un peu brutale que l'univers est parfaitement homogène, ou du moins que ses inhomogénéités n'ont pas d'impact sur la géométrie et la dynamique globales de l'espace-temps (c'est discutable, et discuté par certains chercheurs, j'en ai parlé dans ce forum). Mais, même en admettant qu'il ne s'agit que d'une approximation, elle ne marche pas trop mal.

Mais ce n’est pas mon analogie, simplement une reconstruction du calcul. Si je pars de Rh=Rs j’obtiens le meme resultat pour la densité critique, avec toutes les «impasses» citées dans le lien du message 90. Dans ce cas comment expliquer que j’obtiens de bons resultats avec des axiomes faux ? Par quel biais obtient on le meme resultat pour le juger juste ? Je ne cherche pas a monter que ma demonstration est la bonne mais plutot que le resultat est faux dans l’absolu.

Je n'étais pas allé lire ta démonstration... Mais je viens d'y jeter un coup d'œil. C'est une tautologie : tu pars de l'existence de H (donc de la conclusion) pour retrouver l'équation de Friedmann, et tu y arrives.
Ce qui te paraît peut-être douteux dans ton raisonnement c'est que tu ne tiens pas compte de ce qu'il y a à l'extérieur de R_H, qui comme tu le dis, ne correspond pas à une limite physique (en tout cas pas à une frontière au-delà de laquelle il n'y aurait que du vide), et que tu arrives malgré tout au bon résultat.
Mais rappelle-toi qu'en gravitation newtonienne aussi, si tu te places quelque part à l'intérieur d'un système à symétrie sphérique de rayon R_S, disons à une distance R < R_S du centre, tu ne subiras l'influence gravitationnelle que des masses situées à l'intérieur de la sphère de rayon R. Ben en RG dans un espace homogène et isotrope (donc à symétrie sphérique), c'est la même chose. Comme tu pars de la définition de R_H à partir de H, tu tiens compte implicitement de l'expansion et ce n'est pas étonnant que tu tombes (pas par hasard) sur le bon résultat...

[Mailou75]

Voilà, tu en es encore à vouloir remettre en cause la RG

Non du tout, je m'interroge juste sur sa validité pour les galaxies et le cosmos

Mais bon, il se trouve que Friedmann et Lemaître ont pondu une solution de l'équation d'Einstein qui permettait de prédire l'expansion de l'univers avant que celle-ci soit observée par Hubble, à une époque où personne (surtout pas Einstein) ne pensait que l'univers pouvait ne pas être statique - donc on ne peut pas les suspecter d'avoir voulu à tout prix faire coller la théorie avec une observation inexpliquée. A priori, si cette solution était fausse mathématiquement, ça se saurait, depuis que des générations de cosmologistes l'ont étudiée (et, pour ce que ça vaut, j'ai refait les calculs moi-même, pas parce que j'avais un doute mais à titre d'exercice, et j'ai bien retrouvé l'équation de Friedmann).

Bravo
Je te croirais bien sur parole mais je trouve le résultat trop simple, pas assez relativiste, 4D... dès lors qu'on a des paramètres on trouve cinématique "newtonienne" sans aucune surprise (ou presque ) en 3D+t (temps universel). Ca me chagrine. Et il y a un tas de prérequis dans la théorie que je ne digère pas trop, comme les photons qui reculent etc. Je ne vais pas m'étendre... je cherche dans le fond à comprendre clairement ce qu'il est nécessaire qu'une théorie vérifie et c'est très difficile à établir.

Je n'étais pas allé lire ta démonstration... Mais je viens d'y jeter un coup d'œil. C'est une tautologie : tu pars de l'existence de H (donc de la conclusion) pour retrouver l'équation de Friedmann, et tu y arrives.

Non H on s'en moque, c'est un paramètre pour découper l'espace et fixer une règle de proportionnalité distance/vitesse avec l'horizon à c, une constante qui n'apporte rien au calcul. Note qu'ici on se moque pas mal de la vitesse et de l'expansion on parle d'une densité critique instantanée. Ce qui est grave c'est de considérer une sphère de 13.7Gal de rayon pour le calcul, rien ne correspond physiquement à ça à part la sphère de hubble.

Ce qui te paraît peut-être douteux dans ton raisonnement c'est que tu ne tiens pas compte de ce qu'il y a à l'extérieur de R_H, qui comme tu le dis, ne correspond pas à une limite physique (en tout cas pas à une frontière au-delà de laquelle il n'y aurait que du vide), et que tu arrives malgré tout au bon résultat. Mais rappelle-toi qu'en gravitation newtonienne aussi, si tu te places quelque part à l'intérieur d'un système à symétrie sphérique de rayon Rs, disons à une distance R < Rs du centre, tu ne subiras l'influence gravitationnelle que des masses situées à l'intérieur de la sphère de rayon R. Ben en RG dans un espace homogène et isotrope (donc à symétrie sphérique), c'est la même chose. Comme tu pars de la définition de R_H à partir de H, tu tiens compte implicitement de l'expansion et ce n'est pas étonnant que tu tombes (pas par hasard) sur le bon résultat...

Je ne comprends pas, tu as l'air de trouver ça normal ? On est pourtant pas au centre d'un TN de 13.7Gal de rayon.. si ? Comment obtient on le résultat de la densité critique autrement que par ma méthode stp ? Je ne sais plus trop ce qu'il faut comprendre...

...

Sinon comme tu l'as compris je souhaiterais avoir des réponses aux questions posées dans le message 79, pas inutiles il me semble... mon interlocuteur m'ayant fait faux bond, pourrais je te demander si tu as un avis sur le sujet ?

Merci d'avance

Mailou

[yves95210]

Je te croirais bien sur parole mais je trouve le résultat trop simple, pas assez relativiste, 4D... dès lors qu'on a des paramètres on trouve cinématique "newtonienne" sans aucune surprise (ou presque ) en 3D+t (temps universel). Ca me chagrine. Et il y a un tas de prérequis dans la théorie que je ne digère pas trop, comme les photons qui reculent etc. Je ne vais pas m'étendre... je cherche dans le fond à comprendre clairement ce qu'il est nécessaire qu'une théorie vérifie et c'est très difficile à établir.

Heureusement qu'on retrouve une cinématique newtonienne dans les cas "non relativistes"! A quelques "détails" près la mécanique newtonienne avait pas mal fait ses preuves, non ? Mais elle ne prédit pas l'expansion... En matière de cosmologie, c'est le principal (le seul?) apport de la RG. Et si tu trouve ce résultat "pas assez relativiste" c'est que tu ne l'as pas compris : un espace qui se dilate (ou qui se contracte, ou qui se déforme) en fonction de son contenu c'est totalement hors-sujet en mécanique classique.

Et ce n'est pas surprenant qu'on arrive à un résultat simple compte-tenu de la symétrie parfaite du modèle choisi, grâce à l'hypothèse d'homogénéité et d'isotropie (et dans ce cas, c'est pareil pour Schwarzschild, la solution devrait te paraître trop simple....). Mais n'oublie pas que ce n'est qu'un modèle, ça ne prétend pas représenter l'univers tel qu'il est réellement, au-delà des mesures qu'on est capable de faire. En réalité le taux d'expansion varie localement, en fonction des inhomogénéités de densité. Le tout c'est de savoir si on peut se contenter de traiter ces variations comme de petites perturbations de la métrique FLRW, en considérant qu'elles se compensent en moyenne aux échelles auxquelles on mesure le taux d'expansion, ou s'il faut adopter un modèle plus compliqué. Et, quelque soit la réponse à cette question, si tu t'intéresses à ces "détails", tu trouveras certainement la solution moins simple - si ça peut te rassurer

Non H on s'en moque, c'est un paramètre pour découper l'espace et fixer une règle de proportionnalité distance/vitesse avec l'horizon à c, une constante qui n'apporte rien au calcul. Note qu'ici on se moque pas mal de la vitesse et de l'expansion on parle d'une densité critique instantanée. Ce qui est grave c'est de considérer une sphère de 13.7Gal de rayon pour le calcul, rien ne correspond physiquement à ça à part la sphère de hubble.

Ben justement non, ce n'est pas "juste un paramètre" pour découper l'espace ! En prenant R_H comme rayon de ta sphère, tu tiens compte implicitement de l'expansion, puisque ça te permet de découper un volume variable dans le temps, mais contenant toujours la même quantité de matière. C'est grâce à ça que tu arrives au bon résultat - par hasard puisque tu n'as pas compris pourquoi...

Je ne comprends pas, tu as l'air de trouver ça normal ? On est pourtant pas au centre d'un TN de 13.7Gal de rayon.. si ? Comment obtient on le résultat de la densité critique autrement que par ma méthode stp ? Je ne sais plus trop ce qu'il faut comprendre...

On l'obtient en résolvant l'équation d'Einstein dans un espace-temps parfaitement homogène et isotrope, à l'aide d'un système de coordonnées bien choisi pour rendre compte de la symétrie de la métrique, ce qui permet d'aboutir à l'équation de Friedmann. Jusque-là ce n'est que des maths (essaie de faire confiance à ceux qui ont fait et refait ces calculs !). C'est quand on s'intéresse à ses conséquences (les solutions de l'éq. de Friedmann) qu'on en revient à de la physique.
Et ta méthode, même si tu ne t'en est pas rendu compte, consiste à résoudre l'équation de Friedmann dans un espace-temps "de poussière" (i.e. sans pression) à sections spatiales "plates" (de courbure nulle).

Sinon comme tu l'as compris je souhaiterais avoir des réponses aux questions posées dans le message 79, pas inutiles il me semble... mon interlocuteur m'ayant fait faux bond, pourrais je te demander si tu as un avis sur le sujet ?

Je regarderai peut-être, si j'ai le temps, et te répondrai si j'en suis capable...

[Mailou75]

Salut,

Heureusement qu'on retrouve une cinématique newtonienne dans les cas "non relativistes"! A quelques "détails" près la mécanique newtonienne avait pas mal fait ses preuves, non ? Mais elle ne prédit pas l'expansion... En matière de cosmologie, c'est le principal (le seul?) apport de la RG. Et si tu trouve ce résultat "pas assez relativiste" c'est que tu ne l'as pas compris : un espace qui se dilate (ou qui se contracte, ou qui se déforme) en fonction de son contenu c'est totalement hors-sujet en mécanique classique.

Soit, la RG prédit une "expansion". Ensuite, comme la vitesse de récession n'est pas considérée comme une vitesse relative, on abandonne la relativité. On est loin de la 4D qui nous dit que les redshifts sont dus à des trajectoires "non parallèles", là tout le monde est parallèle et on suppose de nouvelles règles invérifiables sur les photons... bah, je ne suis pas là pour critiquer, comme déjà dit je cherche juste les impératifs d'une théorie.

En réalité le taux d'expansion varie localement, en fonction des inhomogénéités de densité. Le tout c'est de savoir si on peut se contenter de traiter ces variations comme de petites perturbations de la métrique FLRW, en considérant qu'elles se compensent en moyenne aux échelles auxquelles on mesure le taux d'expansion, ou s'il faut adopter un modèle plus compliqué. Et, quelque soit la réponse à cette question, si tu t'intéresses à ces "détails", tu trouveras certainement la solution moins simple - si ça peut te rassurer

Oui j'ai vu ça, c'est hors de ma portée

Ben justement non, ce n'est pas "juste un paramètre" pour découper l'espace ! En prenant R_H comme rayon de ta sphère, tu tiens compte implicitement de l'expansion, puisque ça te permet de découper un volume variable dans le temps, mais contenant toujours la même quantité de matière. C'est grâce à ça que tu arrives au bon résultat - par hasard puisque tu n'as pas compris pourquoi...
(...) Et ta méthode, même si tu ne t'en est pas rendu compte, consiste à résoudre l'équation de Friedmann dans un espace-temps "de poussière" (i.e. sans pression) à sections spatiales "plates" (de courbure nulle).

Je ne comprends pas, le calcul dit juste que pour une sphère de rayon Rh (13.7 Gal, donnée qui n'a aucun sens physique) et de "masse" M (univers visible ayant la densité d'énergie critique) on trouverait un trou noir. Le Ho peut a tout moment être remplacé par c/Rh, il ne sert à rien. Et je ne trouve pas normal de pouvoir appliquer la solution de Shwarzschild à un objet qui n'est pas entouré de vide. Si t'as un peu de temps pour m'expliquer pourquoi ca marche je ne suis pas contre...

Je regarderai peut-être, si j'ai le temps, et te répondrai si j'en suis capable...

Cool, tu dois en être capable ce n'est que la "cinématique Newtonnienne"

Merci

Mailou

[yves95210]

Salut,

Soit, la RG prédit une "expansion". Ensuite, comme la vitesse de récession n'est pas considérée comme une vitesse relative, on abandonne la relativité. On est loin de la 4D qui nous dit que les redshifts sont dus à des trajectoires "non parallèles", là tout le monde est parallèle et on suppose de nouvelles règles invérifiables sur les photons...

A propos des photons, je ne comprends pas ce que tu veux dire. Tu l'as peut-être expliqué ailleurs, mais comme je n'ai pas lu tous tes posts, faudrait que tu me redises ce que tu entends par là.
Quant à la vitesse de récession, bien sût qu'elle nécessite la relativité. Ce n'est qu'à un instant t que tu peux écrire v=RxH, mais H varie dans le temps (et donc durant le trajet des photons) en fonction d'une équation relativiste. En revanche (c'est peut-être la source de ton problème avec les photons), il est identique (et varie de la même façon) en tout point de l'espace au même instant t du système de coordonnées comobiles.

Je ne comprends pas, le calcul dit juste que pour une sphère de rayon Rh (13.7 Gal, donnée qui n'a aucun sens physique) et de "masse" M (univers visible ayant la densité d'énergie critique) on trouverait un trou noir. Le Ho peut a tout moment être remplacé par c/Rh, il ne sert à rien. Et je ne trouve pas normal de pouvoir appliquer la solution de Shwarzschild à un objet qui n'est pas entouré de vide. Si t'as un peu de temps pour m'expliquer pourquoi ca marche je ne suis pas contre...

Là aussi tu oublies que H₀ n'est qu'une photo à l'instant t₀ de la fonction H(t), et donc que ton R_H varie lui aussi dans le temps. Donc en fait ta sphère de rayon R_H n'a effectivement aucun sens physique, en tout cas pas celui que tu lui donnes : c'est une sphère dans une section spatiale à t constant de l'espace-temps 4D, dans un système de coordonnées bien particulier, associée à une métrique dont les coefficients dépendent du temps. En appliquant un raisonnement newtonien tu fais comme si l'interaction gravitationnelle était instantanée, donc ton raisonnement est faux.
Mais tu tombes sur le bon résultat, simplement parce que dans cette métrique les coordonnées sont comobiles, ce qui fait que le contenu (la masse) de ta sphère est constant : en fait R_H(t)=a(t)r_H avec r_H (coord comobile) constant. Le volume de la sphère est fonction de a³(t) donc sa densité évolue en a^-3(t), ce qui préserve la masse (volume fois densité). Tout ça est donc la conséquence de la définition de H comme résultat d'une équation relativiste.

A ce détail près l'analogie newtonienne fonctionne même dans un espace non vide, mais homogène et donc à symétrie sphérique. En effet dans ce cas le premier théorème de Newton te dit que tu peux découper n'importe quelle boule de rayon R autour d'un point quelconque, et que l'accélération gravitationnelle ressentie par une particule à la surface de cette boule ne dépend que la masse contenue dans celle-ci, et pas de celle des couches (sphériques) de rayon supérieur à R. Et ça (aux détails ci-dessus près), il n'y a pas de raison que ça soit différent en RG.

[Mailou75]

Salut et merci pour ta patience

A propos des photons, je ne comprends pas ce que tu veux dire. Tu l'as peut-être expliqué ailleurs, mais comme je n'ai pas lu tous tes posts, faudrait que tu me redises ce que tu entends par là.

Le Redshift cosmologique serait de nature différente de l'effet Doppler, le Redshift mesuré sur les galaxies est indépendant de leur vitesse instantanée. On suppose donc que la longueur d'onde des photons s'étire en même temps que l'espace vide. Ceci est un élément essentiel que l'on a jamais pu vérifier expérimentalement, on aurait même démontré l'absence d'Ether.

Si on suppose un graph d'espace-temps 1D+t représentant l'expansion, comme le temps cosmologique est identique pour tous les objets comobiles, on peut très bien tracer des trajectoires parallèles pour tous les objets en supposant que ce qui varie entre eux c'est juste la "métrique"...

Quant à la vitesse de récession, bien sût qu'elle nécessite la relativité. Ce n'est qu'à un instant t que tu peux écrire v=RxH, mais H varie dans le temps (et donc durant le trajet des photons) en fonction d'une équation relativiste. En revanche (c'est peut-être la source de ton problème avec les photons), il est identique (et varie de la même façon) en tout point de l'espace au même instant t du système de coordonnées comobiles.

Ce n'est pas comme ça que je le comprend. La relativité, via les mesures faites pour déterminer H et les omégas, détermine la vitesse d'expansion variable dans le temps d'un espace plan (un oméga nul) et infini. A partir de là on repasse en classique, on fait avancer des photons à c sur cet espace entre des objets comobiles, en faisant la supposition décrite plus haut pour le Redshift. Pour moi on est loin de relativité (effets Doppler RR et Einstein RG) qui nous dit que le Redshift est du au fait que des objets ont des trajectoires non "parallèles" dans l'espace-temps.

Là aussi tu oublies que H₀ n'est qu'une photo à l'instant t₀ de la fonction H(t), et donc que ton R_H varie lui aussi dans le temps.

Mais je ne m'intéresse qu'à cette photo en fait, que "voit" on aujourd'hui ? Le reste appartient à la théorie.

Donc en fait ta sphère de rayon R_H n'a effectivement aucun sens physique, en tout cas pas celui que tu lui donnes : c'est une sphère dans une section spatiale à t constant de l'espace-temps 4D, dans un système de coordonnées bien particulier, associée à une métrique dont les coefficients dépendent du temps. En appliquant un raisonnement newtonien tu fais comme si l'interaction gravitationnelle était instantanée, donc ton raisonnement est faux.

Si on veut qu'une sphère ait un sens il faudrait prendre une sphère de 46Gal de rayon (en distance comobile) qui engloberait toute la matière visible à un instant t. Pour moi il n'est pas question de gravitation en fait, l'espace s'étend à la même vitesse partout en même temps, ça c'est instantané. La section spatiale d'une telle sphère serait un disque en 2D et une droite en 1D. Le graph du message 79 donne la variation de cette droite, les trajectoires des objets sont les "parallèles", H est une homothétie irrégulière.

Mais tu tombes sur le bon résultat, simplement parce que dans cette métrique les coordonnées sont comobiles, ce qui fait que le contenu (la masse) de ta sphère est constant : en fait R_H(t)=a(t)r_H avec r_H (coord comobile) constant. Le volume de la sphère est fonction de a³(t) donc sa densité évolue en a^-3(t), ce qui préserve la masse (volume fois densité). Tout ça est donc la conséquence de la définition de H comme résultat d'une équation relativiste.

Si RH est la valeur de l'espace en mètres alors rH doit être la distance entre les trajectoires "parallèles" qui peut être vue comme une constante et donner des vraies parallèles comme décrit en début de réponse. Mais bon, il y a quelque chose dans ce calcul que je ne peux (ou veux) pas comprendre pour l'instant apparemment...

Questions d'ordre plus général : Est-ce une coïncidence actuelle que nous estimions la densité mesurée comme critique ? Traite -t-elle uniquement de la densité de matière ou d'énergie ? J'ai cru comprendre d'après un de tes calculs que ce serait plutôt la deuxième réponse. Enfin, considère-t-on que la densité d'énergie doit toujours être "critique" et la constante cosmo (énergie noire) compense la dilution de matière au cours du temps, sens de 0.3+0.7=1 tendant vers O_lambda=1 ? Désolé si mes questions sont d'un faible niveau, mais je rame dans ce puzzle géant

A ce détail près l'analogie newtonienne fonctionne même dans un espace non vide, mais homogène et donc à symétrie sphérique. En effet dans ce cas le premier théorème de Newton te dit que tu peux découper n'importe quelle boule de rayon R autour d'un point quelconque, et que l'accélération gravitationnelle ressentie par une particule à la surface de cette boule ne dépend que la masse contenue dans celle-ci, et pas de celle des couches (sphériques) de rayon supérieur à R. Et ça (aux détails ci-dessus près), il n'y a pas de raison que ça soit différent en RG.

C'est le principe que je ne comprends pas, si on suppose une boule matière homogène, qu'est ce que ça veut dire "découper une autre boule dedans ayant un centre différent"? On peut la découper virtuellement mais jamais elle ne sera le centre d'une orbite, on ne peux pas l'isoler de la grosse boule, cette dernière reste le centre des orbites.

Si on suppose (mais c'est déjà une supposition) que l'espace est infini et peut être considéré comme ayant une symétrie sphérique, de la même façon, isoler une boule (de 46Gal de rayon ou 13.7 peu importe) restera virtuel. C'est pour ça que je ne comprends pas pourquoi appliquer Schwarzschild fonctionne...

Bref, il semble que j'aie tout faux et avec ton histoire de "vitesse instantanée de la gravité" dans mon calcul, tu m'as égaré...

Merci d'avance

Mailou

[yves95210]

Salut,

Je ne vais répondre qu'à la fin de ton message, sinon ça risque d'être trop long. On verra pour le reste plus tard.
Je vais commencer par la dernière question avant de passer à la précédente, pour suivre un ordre plus logique : ça serait bien que tu comprennes les bases de la mécanique classique avant de t'attaquer à la RG.

C'est le principe que je ne comprends pas, si on suppose une boule matière homogène, qu'est ce que ça veut dire "découper une autre boule dedans ayant un centre différent"? On peut la découper virtuellement mais jamais elle ne sera le centre d'une orbite, on ne peux pas l'isoler de la grosse boule, cette dernière reste le centre des orbites.

En considérant l'espace comme infini et homogène partout, tu peux choisir le "centre" n'importe-où, donc par exemple là où se trouve l'observateur, et découper virtuellement une boule de rayon R aussi grand que tu veux. Mais oublie les orbites, il n'y a pas de centre au sens physique, pas de corps central autour duquel les particules devraient suivre des orbites : quand tu découpes cette boule c'est une vue de l'esprit, l'espace autour n'est pas vide. Le "centre" ci-dessus est juste l'origine d'un système de coordonnées, qu'on choisit sphérique parce que c'est bien pratique pour les calculs.

Si on suppose (mais c'est déjà une supposition) que l'espace est infini et peut être considéré comme ayant une symétrie sphérique, de la même façon, isoler une boule (de 46Gal de rayon ou 13.7 peu importe) restera virtuel. C'est pour ça que je ne comprends pas pourquoi appliquer Schwarzschild fonctionne...

Pas tout à fait par hasard, mais pour ça il faut avoir compris le premier théorème de Newton : "Un corps qui se trouve à l'intérieur d'une couche sphérique de matière ne ressent aucune force gravitationnelle nette de cette couche." (l'article wikipedia donne la démo) C'est une simple conséquence de la symétrie du système considéré.
Par définition, dans le système de coordonnées choisi ci-dessus, toutes les couches de matière de rayon quelconque autour de l'origine sont sphériques. Par conséquent, pour calculer l'accélération gravitationnelle subie par une particule située à une distance R de l'origine, on n'a pas besoin de tenir compte des couches sphériques de rayon supérieur à R, c'est-à-dire du reste de l'univers.

On n'a donc besoin que du second théorème de Newton : "La force gravitationnelle d'un corps qui se trouve à l'extérieur d'une couche sphérique fermée de matière est la même que ce qu'elle serait si toute la matière de la couche était rassemblée en son centre."

Ce n'est pas la peine de parler de Schwarzschild, si ce n'est pour rappeler que la RG conserve comme limite (pour les champs et vitesses faibles) la mécanique newtonienne. En plus ici l'analogie avec Schwarzschild est trompeuse, car l'analogie newtonienne ne fonctionne que parce qu'on choisit un système de coordonnées comobiles, qui fait que bien que le rayon "physique" évolue avec le temps (il est représenté par le facteur d'échelle 'a'), la coordonnée 'R' a toujours la même valeur.
L'autre conséquence du choix de coordonnées comobiles est que le fluide entraîné par l'expansion est "immobile" dans ce système, et donc que la masse M comprise à l'intérieur de la sphère de rayon R est constante. Du coup on n'a pas besoin de tenir compte du temps de propagation de l'interaction gravitationnelle; pour notre particule située en R, tout se passe comme si on était en mécanique newtonienne, avec un potentiel gravitationnel GM(R)/R.
Comme la densité de matière est uniforme, , et on peut passer à la suite :

Questions d'ordre plus général : Est-ce une coïncidence actuelle que nous estimions la densité mesurée comme critique ? Traite -t-elle uniquement de la densité de matière ou d'énergie ? J'ai cru comprendre d'après un de tes calculs que ce serait plutôt la deuxième réponse. Enfin, considère-t-on que la densité d'énergie doit toujours être "critique" et la constante cosmo (énergie noire) compense la dilution de matière au cours du temps, sens de 0.3+0.7=1 tendant vers O_lambda=1 ? Désolé si mes questions sont d'un faible niveau, mais je rame dans ce puzzle géant

Toutes les densités considérées sont des densités d'énergie, en vertu de l'équivalence masse - énergie. L'équation de Friedmann traduit en fait la conservation locale de l'énergie.
Tu peux le voir facilement dans le cas où il n'y a que de la matière et pas de courbure : si tu te places dans un système de coordonnées sphériques dans lequel les coordonnées représentent la distance spatiale instantanée, exprimée en mètres, la coordonnées radiale de la particule de masse m ci-dessus y est égale à et sa vitesse (radiale par définition)
.
En écrivant que la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est nulle, on trouve donc simplement

En utilisant l'expression de M(R) ci-dessus

Les R se simplifient, et en divisant par a², on obtient


Ce n'est ni plus ni moins que l'équation de Friedmann pour un univers de matière sans pression et de courbure spatiale nulle.
En posant on se retrouve avec un paramètre sans dimension, et dans ce cas particulier, .

Si tu comprends ce raisonnement, j'espère que tu accepteras sans démonstration le cas général où interviennent les autres paramètres de densités d'énergie et ce qu'on peut appeler la "densité d'énergie" due à la courbure. L'équation devient alors (en négligeant le rayonnement) :

avec
Pour qu'il n'y ait pas de courbure spatiale (), il faut donc que . C'est ça la densité critique (je te laisse calculer ).

Ensuite, le fait qu'on observe un univers "plat" est inexpliqué, si ce n'est par le mécanisme de l'inflation (mais ce n'est pas le sujet ici), et n'a pas besoin d'explication particulière en RG : s'il est plat initialement, il le reste...

(plus de temps pour continuer)

[yves95210]

... la suite

et d'abord la correction d'une coquille dans le message précédent : .
Le 'a' qui traînait en plus était dû à un souci avec le super éditeur TEX du forum, mais je préfère préciser car, dans le contexte, la présence de ce 'a' pourrait prêter à confusion.

avec
Pour qu'il n'y ait pas de courbure spatiale (), il faut donc que . C'est ça la densité critique.

Par définition,
donc et à l'époque actuelle en prenant H₀ = 70 km/s/Mpc.

D'autre part, , mais varie en fonction de du fait de la dilatation du volume d'un facteur , alors que est constante.
Donc, comme tu le disais, " la constante cosmo compense la dilution de matière au cours du temps, sens de 0.3+0.7=1 tendant vers Omega_lambda=1"

Ensuite, le fait qu'on observe un univers "plat" est inexpliqué, si ce n'est par le mécanisme de l'inflation (mais ce n'est pas le sujet ici), et n'a pas besoin d'explication particulière en RG : s'il est plat initialement, il le reste...

Je détaille quand-même un peu.
Le fait que les sections spatiales de l'espace-temps soient plates n'a pas besoin d'explication en RG : ça fait simplement partie des conditions aux limites à prendre en compte dans la résolution des équations différentielles, et qui doivent être déterminées à partir des observations. Bref c'est une donnée du problème et pas une conséquence de la solution. Tout ce que disent les équations, c'est que si un univers "naît" plat, il le restera. Et le fait que notre univers soit né plat semble confirmé par les observations du CMB.

Mais évidemment ce n'est pas tout à fait satisfaisant : sans autre ingrédient théorique, la RG, via la métrique FLRW et l'équation de Friedmann, fait naître l'espace-temps d'une singularité initiale, ce qui n'est certainement pas physique. Et, oui, faute d'une explication théorique satisfaisante, on peut considérer la platitude de l'univers comme une coïncidence étrange (mais bien pratique : au moins ça facilite un peu les calculs).
D'où le recours à l'inflation pour essayer de justifier cette platitude par une théorie physique. Mais là on sort du sujet et on entre dans la spéculation...

PS : j'essaierai de répondre à tes autres questions plus tard, si après ces explications ça te paraît encore nécessaire. Mais commence déjà par digérer mes deux messages d'aujourd'hui et par me dire si tu as tout compris.

[Mailou75]

Salut, merci pour tes réponses

En considérant l'espace comme infini et homogène partout, tu peux choisir le "centre" n'importe-où, donc par exemple là où se trouve l'observateur, et découper virtuellement une boule de rayon R aussi grand que tu veux. Mais oublie les orbites, il n'y a pas de centre au sens physique, pas de corps central autour duquel les particules devraient suivre des orbites : quand tu découpes cette boule c'est une vue de l'esprit, l'espace autour n'est pas vide. Le "centre" ci-dessus est juste l'origine d'un système de coordonnées, qu'on choisit sphérique parce que c'est bien pratique pour les calculs.

Ok, jusqu'ici pas de problème. On a un univers avec de la matière répartie uniformément et un système de coordonnées choisi n'importe où avec une sphère virtuelle de rayon R choisi.

Pas tout à fait par hasard, mais pour ça il faut avoir compris le premier théorème de Newton : "Un corps qui se trouve à l'intérieur d'une couche sphérique de matière ne ressent aucune force gravitationnelle nette de cette couche." (l'article wikipedia donne la démo) C'est une simple conséquence de la symétrie du système considéré.
Par définition, dans le système de coordonnées choisi ci-dessus, toutes les couches de matière de rayon quelconque autour de l'origine sont sphériques. Par conséquent, pour calculer l'accélération gravitationnelle subie par une particule située à une distance R de l'origine, on n'a pas besoin de tenir compte des couches sphériques de rayon supérieur à R, c'est-à-dire du reste de l'univers.

Et là je ne comprends plus. On retire la matière contenue dans la sphère de rayon R et on constate que toute la matière autour n'a aucun effet sur un objet où qu'il soit (dedans, dehors ou sur la sphère). On affirme donc que l'on peut étudier le contenu de la sphère sans tenir compte de tout ce qu'il y a autour et on remet de la matière dans la sphère. Ensuite on applique les calculs de Newton sur cette boule de matière isolée ce qui donne une gravitation.

Pourtant dans notre univers de matière uniforme aucun point ne subit aucune accélération, pourquoi alors le choix de ce découpage sphérique fait il apparaître une gravitation et rend elle "normale" l'utilisation de Newton/Schw ? Je bute toujours sur la même chose, je ne comprend pas pourquoi on s'autorise à isoler cette sphère.

On n'a donc besoin que du second théorème de Newton : "La force gravitationnelle d'un corps qui se trouve à l'extérieur d'une couche sphérique fermée de matière est la même que ce qu'elle serait si toute la matière de la couche était rassemblée en son centre."

Oui ça c'est le moment où on remet la matière dans la cavité sphérique, et effectivement la matière peut être considérée comme "concentrée" embryon de la singularité des trous noirs et des particules tombant jusqu'au centre... rien de "physique" là dedans à mon sens.

Ce n'est pas la peine de parler de Schwarzschild, si ce n'est pour rappeler que la RG conserve comme limite (pour les champs et vitesses faibles) la mécanique newtonienne. En plus ici l'analogie avec Schwarzschild est trompeuse, car l'analogie newtonienne ne fonctionne que parce qu'on choisit un système de coordonnées comobiles, qui fait que bien que le rayon "physique" évolue avec le temps (il est représenté par le facteur d'échelle 'a'), la coordonnée 'R' a toujours la même valeur.

Oui et c'est ce que tu essayes de me faire comprendre mais qui a du mal à rentrer : si on ne tient pas compte de a, on peut considérer que l'univers a un rayon constant et appliquer Schw sans états d'âme. Mais comme décrit plus haut ce n'est pas le calcul qui me dérange ce sont les hypothèses.

L'autre conséquence du choix de coordonnées comobiles est que le fluide entraîné par l'expansion est "immobile" dans ce système, et donc que la masse M comprise à l'intérieur de la sphère de rayon R est constante. Du coup on n'a pas besoin de tenir compte du temps de propagation de l'interaction gravitationnelle; pour notre particule située en R, tout se passe comme si on était en mécanique newtonienne, avec un potentiel gravitationnel GM(R)/R.
Comme la densité de matière est uniforme, , et on peut passer à la suite :

Comme d'hab, ok pour le calcul mais je ne vois toujours pas que quelle gravitation "centrée sur R" tu parles à l'échelle de l'univers si ce R n'est qu'une sphère virtuelle découpée dans une matière uniforme et infinie.

...

Pour la suite, je ne sais pas si c'est mon ordi qui bug ou le site mais je vois des X à la place des formules... peu importe j'avais eu le temps de lire et re-relire ton message, juste pas trouvé le temps d'y répondre. J'ai globalement compris le calcul mais mon souci reste le même, on incorpore dans une équation d'équilibre d'énergie un résultat (densité critique) issu des hypothèses décrites plus haut. Tant que je n'aurait pas compris le début de l'explication je ne pourrais pas en digérer la fin

Merci pour ton aide mais je comprendrais que tu renonces, j'ai la tête trop dure pour y faire entre certaines choses

[yves95210]

Salut,

Et là je ne comprends plus. On retire la matière contenue dans la sphère de rayon R et on constate que toute la matière autour n'a aucun effet sur un objet où qu'il soit (dedans, dehors ou sur la sphère). On affirme donc que l'on peut étudier le contenu de la sphère sans tenir compte de tout ce qu'il y a autour et on remet de la matière dans la sphère. Ensuite on applique les calculs de Newton sur cette boule de matière isolée ce qui donne une gravitation.

Pas besoin de "remettre la matière dans la sphère", elle y est déjà...
Quand à celle qui est à l'extérieur, c'est par symétrie que son effet gravitationnel s'annule (à condition que la masse volumique soit la même en tout point d'une même sphère). Suffit de faire un dessin pour le comprendre. As-tu regardé la démonstration dans wikipedia ? Elle tient en trois ou quatre phrases, et si tu fais le dessin qu'elle suggère tu comprendras facilement sans les maths. Tu es plus doué pour les graphiques que moi, donc je te laisse le soin de le faire...

Pourtant dans notre univers de matière uniforme aucun point ne subit aucune accélération, pourquoi alors le choix de ce découpage sphérique fait il apparaître une gravitation et rend elle "normale" l'utilisation de Newton/Schw ? Je bute toujours sur la même chose, je ne comprend pas pourquoi on s'autorise à isoler cette sphère.

Si tu raisonnes en newtonien, à partir du moment où tu choisis un système de coordonnées, en tout point P à une distance R de l'origine O, tu vois une accélération causée par la masse située à l'intérieur de la sphère de rayon R. Et cela peut paraitre paradoxal, puisque dans ce cas (à moins d'être en rotation), P devrait "tomber" vers O.
Sauf que, évidemment, ce raisonnement n'est pas correct : comme tu peux choisir l'origine de ton système de coordonnées n'importe-où, tu pourrais aussi bien prendre P comme origine, et dans ce cas l'accélération serait nulle.

Donc, non, le choix d'un découpage sphérique ne rend pas "normale" l'utilisation de Newton... Ni de Schwarzschild, d'ailleurs, sinon la RG devrait conduire à la même solution, ce qui n'est pas le cas !
La différence entre les modèles de Schwarzschild et de Friedmann-Lemaître est que dans le premier, à l'extérieur de notre sphère il n'y a que du vide, alors que dans le deuxième, à l'extérieur il y a de la matière (avec la même densité uniforme qu'à l'intérieur). Et, contrairement à Newton, Einstein nous dit que la présence de cette matière courbe l'espace-temps en tout point. Dans le modèle de Friedmann-Lemaître, l'effet de cette courbure, c'est l'expansion.

Pour en revenir au raisonnement newtonien, la seule façon de résoudre le paradoxe serait de dire que, quels que soient nos deux ponts P et O, pour qu'ils ne tombent pas l'un vers l'autre il faut que, dans le référentiel d'origine O, une particule de masse m située en P possède une énergie cinétique (1/2 mV²) opposée à son énergie potentielle gravitationnelle (-GmM/R), où M est la masse de la sphère de rayon R (4/3 pi R³ rho).
Donc V²=+2GM/R = 8/3 pi R² G rho, ce qui donne

V²/R² = 8/3 pi G rho

Or la particule P ne possède pas de vitesse apparente (donc tangentielle) vue de O (sinon les astronomes nous l'auraient dit). Donc sa vitesse ne peut être que radiale. On peut donc écrire V = dR/dt = Rpoint (zut, les formules en Latex ne s'affichent pas), et donc

(Rpoint/R )² = 8/3 pi G rho

Étonnant, non ? ça ressemble à l'équation de Friedmann...

Le problème de ce raisonnement (correct) est qu'on ne comprend pas pourquoi deux points quelconques possèderaient une vitesse relative qui les éloignerait l'un de l'autre, alors qu'aucun des deux n'a jamais subi d'accélération leur permettant d'atteindre cette vitesse. À moins d'imaginer que c'est l'espace qui grandit, et donc que l'espace-temps est courbé. Pour ça il faut réinventer la relativité générale...

Pour la suite, je ne sais pas si c'est mon ordi qui bug ou le site mais je vois des X à la place des formules... peu importe

C'est le site, je vois la même chose. Pourtant quand j'avais relu mon message il s'affichait correctement.

Merci pour ton aide mais je comprendrais que tu renonces, j'ai la tête trop dure pour y faire entre certaines choses

T'inquiète pas, je suis aussi têtu que toi

[Mailou75]

Salut et merci,

Pas besoin de "remettre la matière dans la sphère", elle y est déjà...
Quand à celle qui est à l'extérieur, c'est par symétrie que son effet gravitationnel s'annule (à condition que la masse volumique soit la même en tout point d'une même sphère). Suffit de faire un dessin pour le comprendre. As-tu regardé la démonstration dans wikipedia ? Elle tient en trois ou quatre phrases, et si tu fais le dessin qu'elle suggère tu comprendras facilement sans les maths. Tu es plus doué pour les graphiques que moi, donc je te laisse le soin de le faire...

Ca ne sera pas nécessaire, deux points P1 et P2 opposés sur une sphère de matière ont un effet opposé qui s'annule pour un objet situé au centre de la sphère, qu'il y ait de la matière au delà de cette sphère ou pas. Si il y a de la matière partout alors on ne sera attiré vers nulle part. Tout ceci parait logique et je ne l'ai pas contredit.

Si tu raisonnes en newtonien, à partir du moment où tu choisis un système de coordonnées, en tout point P à une distance R de l'origine O, tu vois une accélération causée par la masse située à l'intérieur de la sphère de rayon R. Et cela peut paraitre paradoxal, puisque dans ce cas (à moins d'être en rotation), P devrait "tomber" vers O.
Sauf que, évidemment, ce raisonnement n'est pas correct : comme tu peux choisir l'origine de ton système de coordonnées n'importe-où, tu pourrais aussi bien prendre P comme origine, et dans ce cas l'accélération serait nulle.

Tout a fait d'accord, comme on peut changer l'origine du repère tout raisonnement de ce genre est inepte.

Donc, non, le choix d'un découpage sphérique ne rend pas "normale" l'utilisation de Newton... Ni de Schwarzschild, d'ailleurs, sinon la RG devrait conduire à la même solution, ce qui n'est pas le cas !

Pourtant l'application de ces formules donne le même résultat, c'est bien le problème...

La différence entre les modèles de Schwarzschild et de Friedmann-Lemaître est que dans le premier, à l'extérieur de notre sphère il n'y a que du vide, alors que dans le deuxième, à l'extérieur il y a de la matière (avec la même densité uniforme qu'à l'intérieur). Et, contrairement à Newton, Einstein nous dit que la présence de cette matière courbe l'espace-temps en tout point. Dans le modèle de Friedmann-Lemaître, l'effet de cette courbure, c'est l'expansion.

Pourquoi pas, l'espace n'est pas vide, il est donc courbé partout. Mais il n'y a pas de différence de courbure (il est courbé d'autant partout) donc pas de gravité. Pour l'expansion faut voir... une boule de matière uniforme ne gonfle pas plus que si la matière était compactée en qq points. D'ailleurs si elle a été uniforme ca fait un bail qu'elle ne l'est plus et que la formule n'est plus applicable...

Pour en revenir au raisonnement newtonien, la seule façon de résoudre le paradoxe serait de dire que, quels que soient nos deux ponts P et O, pour qu'ils ne tombent pas l'un vers l'autre il faut que, dans le référentiel d'origine O, une particule de masse m située en P possède une énergie cinétique (1/2 mV²) opposée à son énergie potentielle gravitationnelle (-GmM/R), où M est la masse de la sphère de rayon R (4/3 pi R³ rho).
Donc V²=+2GM/R = 8/3 pi R² G rho, ce qui donne

V²/R² = 8/3 pi G rho

Or la particule P ne possède pas de vitesse apparente (donc tangentielle) vue de O (sinon les astronomes nous l'auraient dit). Donc sa vitesse ne peut être que radiale. On peut donc écrire V = dR/dt = Rpoint (zut, les formules en Latex ne s'affichent pas), et donc

(Rpoint/R )² = 8/3 pi G rho

Étonnant, non ? ça ressemble à l'équation de Friedmann...

Ben non toujours pas... comme dit plus haut si la matière est uniforme il n'y a de gravité nulle part donc il n'y a pas à avoir de vitesse pour contrer une chute vers l'origine d'un repère aléatoire (c'est d'ailleurs une accélération qu'il aurait fallut avoir pour faire du sur place). Donc il n'y a pas à écrire dérivée de l'espace = vitesse (avec énorme supposition sur le temps propre, newtonien, on ne sait pas bien ce qu'on décrit ici).
Si on pousse cette formule elle nous dit que v=c lorsque, pour une masse M, le rayon vaut Rs=2GM/c² (le trou noir de Mitchell, le même que Schw en fait) et on retrouve la "densité critique universelle". Sauf que... on a pris l'ensemble de la matière visible, pour laquelle on a évalué un poids, contenue dans un rayon de 13,7Gal qui n'a rien de physique ( à part du temps) puisque cette matière est contenue dans un rayon comobile de 46Gal. Et pour être précis la vitesse supposée y est de 3,3c et non pas c (car 46/13.7=3,3 soit choux/serviette=flan). Un sac de nœuds je te dis...

Le problème de ce raisonnement (correct) est qu'on ne comprend pas pourquoi deux points quelconques possèderaient une vitesse relative qui les éloignerait l'un de l'autre, alors qu'aucun des deux n'a jamais subi d'accélération leur permettant d'atteindre cette vitesse. À moins d'imaginer que c'est l'espace qui grandit, et donc que l'espace-temps est courbé. Pour ça il faut réinventer la relativité générale...

Je ne te le fais pas dire... on fera reculer les photons on allongera leur longueur d'onde et pis sinon on sortira les jokers noirs. Le raisonnement n'est pas correct pour moi, il serait pourtant si simple d'admettre que l'espace temps a une certaine géométrie (courbe) qui fait que si un objet se trouve assez "loin" de l'observateur sa trajectoire, orthogonale au plan local, ne sera plus parallèle à celle de l'observateur engendrant les effets connus de la relativité : shifts.

Merci à plus

Mailou