Univers et trou noir

[invited08a4fc9]

A-t-on une idée la masse de l'univers? Dans l'affirmative, quelle est le diamètre du trou noir équivalent?
Quel est son rapport avec la masse de Planck?
-----

[invite48f3b69d]

Salut!

C'est interessant comme idée et qu'en est-il du rayon de (sorry j'ai tellement cherché le mot que j'en ai oublié j'usqu'a la signification) schwarzwild a coriger svp!

Merci

[Gilgamesh]

A-t-on une idée la masse de l'univers? Dans l'affirmative, quelle est le diamètre du trou noir équivalent?

Boarf... si on ne considère que la matière baryonique, dans les 10⁵⁴ à 10⁵⁵ kg.

Le rayon du TN correspondant :

R=2GM/c²
ln(R) -10+54 (ou 55) - 17 soit
R = 10²⁷ à 10²⁸ m
Une al = 10¹⁶ m
Donc R va chercher dans les 10 à 100 Gly

hannnn... le diamètre de l'Univers !

Sommes-nous donc dans un TN ? (discussion à repêcher avec la fonction Recherche)

Quel est son rapport avec la masse de Planck?

Euh? Aucun.

a+

[invite48f3b69d]

Resalut

La force gravitationelle d'un trou noir est-elle equivalente a la somme des force gravitationelle de tout les corps angloutis?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Resalut

La force gravitationelle d'un trou noir est-elle equivalente a la somme des force gravitationelle de tout les corps angloutis?

Merci

Vouizénon dans le cas abordé par ce fil.

A la base oui, bien sûr : si tu te trouves à 1 milliard de km d'un TN de 10 Ms tu ressens exactement la même force de gravitation que si à sa place se trouvait une étoile de 10 Ms.

Mais par ailleurs, le théorème de Gauss dit que, dans le cas généralement bien vérifié d'une répartition homogène des masses, l'attraction gravitationnelle ne dépend que de la masse qui se trouve à l'intérieur de la sphère sur laquelle tu poses tes pieds (manière de parler). Pas de celle se trouvant en dehors. Dans le cas d'un TN qui ferait des myards de Ms ça n'est vérifié que si tu situe à des distances compatibles avec la répartition de myards de Ms.

Or si le TN a la masse de l'Univers, pas moyen (d'être à l'extérieur de l'Univers)

a+

[invite48f3b69d]

Merci bien apparement tu as tout de suite compris ou je voulais en venir. a+

[DonPanic]

A la base oui, bien sûr : si tu te trouves à 1 milliard de km d'un TN de 10 Ms tu ressens exactement la même force de gravitation que si à sa place se trouvait une étoile de 10 Ms.

OK, mais juste un truc, pour que je pige bien, Ca veut dire quoi, au juste, la distance à un TN ? de centre de gravité à centre de gravité en géométrie euclidienne ?

T'as pas des tits blèmes de contraction ou de dilatation d'espace temps dans la mesure de distance ?

[invite48f3b69d]

Salut DonPanic,

je pense que pour un TN il faut prendre l'horizon evenementiel et pour une etoile son centre geométrique pour eviter les distorsions.

a+

[alain_r]

Bonjour,

la taille d'un trou noir qui aurait la masse de l'univers observable, c'est en gros la taille de l'univers observable. C'est tout sauf surprenant puisque c'est là une conséquence immédiate des équations de Friedmann. Celles-ci donnent en effet la relation entre taux d'expansion H à la densité de masse mu :

3 H^2 = 8 pi G mu

On remplace rho par le rapport de la masse de l'univers observable à son volume. Soit R son rayon, on a

H^2 = 2 G M / R^3

Il existe une relation entre le rayon de Hubble R_H = c / H et le rayon de l'univers observable. Cette relation s'écrit R = alpha R_H, où alpha est un nombre sans dimension dont la valeur exacte dépend de la cosmologie. A l'heure actuelle, on a alpha environ égal à 3. Il vient donc

alpha^2 c^2 / R^2 = 2 G M / R^3

d'où

R = [2 G M / c^2] / (alpha^2)

Au facteur alpha^2 près, c'est exactement la relation masse-rayon pour un trou noir.

Tout ceci n'est finalement pas très surprenant. En cosmologie, dans un modèle de type Big Bang comme celui qui décrit l'univers observable on est en présence d'un horizon (càd d'une région au dela de laquelle on ne voit plus rien car la lumière n'a pas eu le temps de nos parvenir), ce qui est assez proche de la situation d'un trou noir normal de l'intérieur duquel on ne voit rien. L'analogie entre trou noir et univers en expansion est même beaucoup plus forte que cela dans un espace de de Sitter (univers vide de matière mais avec constante cosmologique), et c'est même un truc assez crucial en cosmologie car cela permet de faire une analogie assez remarquable entre la génération des fluctuations quantiques pendant l'inflation et le rayonnement de Hawking d'un trou noir.




Incidemment : que signifie "la distance à un trou noir" ? On ne peut mesurer le "rayon" d'un trou noir car pour cela il faudrait aller à l'intérieur et ressortir de l'autre côté , ce qui est impossible. Par contre on peut en faire le tour et mesurer sa circonférence. De même, un observateur peut faire le tour d'un trou noir tout en restant "a même distance de celui-ci" (càd en s'arrangeant en gros pour que le diamètre angulaire du trou noir reste constant lors de son trajet), et mesurer la distance parcourue. Il aura donc mesuré la circonférence d'une trajectoire circulaire centrée sur le trou noir. Quand on parle de distance "à" un trou noir, on se réfère en fait à (1/2 pi) * la circonférence du cercle en question.



Autre chose : je prends deux trou noirs d'une masse solaire, je les fais fusionner. Quelle est la masse du trou noir final ? Moins de deux masses solaires. Pourquoi ? Parce que l'ors du processus de fusion, les deux trous noirs ont perdu de l'énergie en rayonnant des ondes gravitationnelles. La masse (énergie) finale est donc inférieure à la somme des masses (énergies) initiale car une partie de l'énergie totale a été rayonnées à l'infini. Par contre la masse finale ne peut être arbitrairement petite. Un théorème célèbre dû à Hawking dit que la masse finale du trou noir est telle que son aire est supérieure à la somme des aires des trous noirs initiaux. Dans le présent contexte, et en supposant que le trou noir final n'a pas de moment cinétique, cela dit que la masse finale est comprise entre sqrt(2) et 2 masses solaires.

[DonPanic]

Incidemment : que signifie "la distance à un trou noir" ? On ne peut mesurer le "rayon" d'un trou noir car pour cela il faudrait aller à l'intérieur et ressortir de l'autre côté , ce qui est impossible. Par contre on peut en faire le tour et mesurer sa circonférence. De même, un observateur peut faire le tour d'un trou noir tout en restant "a même distance de celui-ci" (càd en s'arrangeant en gros pour que le diamètre angulaire du trou noir reste constant lors de son trajet), et mesurer la distance parcourue. Il aura donc mesuré la circonférence d'une trajectoire circulaire centrée sur le trou noir. Quand on parle de distance "à" un trou noir, on se réfère en fait à (1/2 pi) * la circonférence du cercle en question.

Ok, mais ce n'est pas cela le véritable objet de la question.
On fixe une distance centre de gravité de l'observateur-centre de gravité d'un objet de masse 10 Ms .
Le fait qu'il y ait un TN pil poil à la place d'une étoile de même masse affectera-t-il cette distance ?
(faut-il tenir compte de variation de courbure gravitationnelle)

[invited08a4fc9]

Comme tu dis, le rayon en années lumières est de 10^(28-16) = 10 ¹² al, en gros le diamètre qui correspond à l'âge de l'univers...Nous serions dans qques chose d'infiniment concentré, allez comprendre qque chose. Je ferai appel au moteur de recherche TN. Merci de la réponse.

Boarf... si on ne considère que la matière baryonique, dans les 10⁵⁴ à 10⁵⁵ kg.

Le rayon du TN correspondant :

R=2GM/c²
ln(R) -10+54 (ou 55) - 17 soit
R = 10²⁷ à 10²⁸ m
Une al = 10¹⁶ m
Donc R va chercher dans les 10 à 100 Gly

hannnn... le diamètre de l'Univers !

Sommes-nous donc dans un TN ? (discussion à repêcher avec la fonction Recherche)




Euh? Aucun.

a+

[Coincoin]

Salut,
Ce qui compte pour le rayon de Schwartzschild, ce n'est pas la densité (m/R³) mais la compacité (m/R). Du coup, pour quelque chose de très grand, tu peux avoir une densité très faible et une compacité très grande (le rapport des deux varie comme 1/R²).

[Gilgamesh]

Salut DonPanic,

je pense que pour un TN il faut prendre l'horizon evenementiel et pour une etoile son centre geométrique pour eviter les distorsions.

a+

Non, non, pareil dans les deux cas. La distance à considérer est celle au centre de gravité (la singulaité dans le cas du TN). Dans les cas de vraiment très gros TN l'écart entre la distance séparant de l'horizon et celle séparant de la singularité centrale n'est pas négligeable du tout (genre qq ua) et elle l'est d'autant moins que tu es proche.

a+

[Gilgamesh]

Celles-ci donnent en effet la relation entre taux d'expansion H à la densité de masse mu :

3 H^2 = 8 pi G rho

juste ça.






oui et je rajoute 10 caractères voire meme plus content ?

[Gilgamesh]

L'analogie entre trou noir et univers en expansion est même beaucoup plus forte que cela dans un espace de de Sitter (univers vide de matière mais avec constante cosmologique), et c'est même un truc assez crucial en cosmologie car cela permet de faire une analogie assez remarquable entre la génération des fluctuations quantiques pendant l'inflation et le rayonnement de Hawking d'un trou noir.

C'est la grosse classe, ça. Ca s'expose simplement ?

merci etk très intéressant, ton post (comme d'hab').

a+

[alain_r]

C'est essentiellement un changement de variable qui le montre. L'espace de de sitter a un élément de longueur donné par

ds^2 = c^2 dt^2 - a_0^2 exp(2HT) dl^2

où dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2
et H est la constante de Hubble.

On prend d'abord les coordonnées "physiques" X, Y, Z déduites des coordonnées comobiles x, y, z par

X = a_0 exp(Ht) x

En différenciant on obtient

a_0 exp(Ht) dx = dX - a_0 exp(Ht) x H dt = dX - X H dt

donc

a_0^2 exp(2HT) dl^2 = dL^2 + R^2 H^2 dt - 2 R dR H dt

avec R^2 = X^2 + Y^2 + Z^2

On en déduit

ds^2 = (c^2 - R^2 H^2) dt^2 - dL^2 + 2 R dR H dt

On passe des coordonnées X, Y, Z à leur équivalent sphérique. Ainsi,

dL^2 = dR^2 + R^2 d^2 Omega,

où d^2 Omega = d theta^2 + sin^2 theta d phi^2

et

ds^2 = (c^2 - R^2 H^2) dt^2 - dR^2 + 2 R dR H dt - R^2 d^2 omega

L'idée est ensuite de changer la coordonée t de façon à grouper les premier et troisième termes :

(c^2 - R^2 H^2) dt^2 + 2 R dR H dt = (c^2 - R^2 H^2) (dt + R H dR / (c^2 - R^2 H^2))^2 - R^2 H^2 dR^2 / (c^2 - H^2 R^2)

On pose donc

dT = dt + R H dR / (c^2 - R^2 H^2), soit
T = t - (1/2) ln|c^2 - R^2 H^2|

et l'élément de longueur se réécrit

ds^2 = (c^2 - R^2 H^2) dT^2 + 2 R dR H dt - R^2 d^2 omega - dR^2 - R^2 H^2 dR^2 / (c^2 - H^2 R^2)
= (c^2 - R^2 H^2) dT^2 + 2 R dR H dt - R^2 d^2 omega - dR^2 c^2 / (c^2 - H^2 R^2)
= c^2 dT^2 f(R) - dR^2 / f(R) - R^2 d^2 Omega

avec

f(R) = 1 - (R H / c)^2

On a exactement la même métrique que dans Schwarztschild, si ce n'est que la fonction f n'est pas
1 - 2 G M / R c^2
mais
1 - (R H / c)^2

Dans Schwartschild, la fonction f tend vers 1 (dans une région qui est à l'extérieur et loin du trou noir), dans de Sitter, elle tend vers 1 au voisinage de l'origine. Dans les deux cas, elle s'annule à une valeur de R finie (resp. 2 G M / c^2 et c / H), ce qui correspond dans les deux cas à un horizon. La différence c'est dans un cas l'horizon entoure l'origine des coordonnées spatiales et est vue telle quelle par quelqu'un qui en est à l'extérieur, alors que dans de Sitter, l'horizon est vu par quelqu'un situé au voisinage de l'origine dans toutes les directions, mais sinon les deux situations sont très proches. En particulier, le rayonnement de Hawking peut être vu comme conséquence d'une métrique qui tend asymptotiquement vers Schwarzschild et qui présente un horizon. Cela suggère qu'un rayonnement du même type a des chance d'apparaître dans une situation où une métrique tend vers de Sitter avec un horizon. C'est en fait exactement ce qu'il se passe pendant l'inflation.

[Thioclou]

Bonjour,

L'analogie entre trou noir et univers en expansion est même beaucoup plus forte que cela dans un espace de de Sitter (univers vide de matière mais avec constante cosmologique), et c'est même un truc assez crucial en cosmologie car cela permet de faire une analogie assez remarquable entre la génération des fluctuations quantiques pendant l'inflation et le rayonnement de Hawking d'un trou noir.

C'est la grosse classe, ça. Ca s'expose simplement ?

merci etk très intéressant, ton post (comme d'hab').

a+

Les propriétés d'un trou blanc étant identiques à celles d'un trou noir avec inversion du temps, ne serait-il pas préférable de parler d'analogie entre trou blanc et expansion de l'univers ?

[Gilgamesh]

merci alain.

a+

ps : la touche ² est bien pratique...

[invited08a4fc9]

Je trouve çà surprenant quand même, imaginons que l'univers se contracte, son diamètre diminue, mais pas la taille du trou noir? de même l'univers est en expansion, il n'y a pas de raison que la taille du trou noir augmente, puisqu'il n'y a pas création de matière. quid?

Bonjour,

la taille d'un trou noir qui aurait la masse de l'univers observable, c'est en gros la taille de l'univers observable. C'est tout sauf surprenant puisque c'est là une conséquence immédiate des équations de Friedmann. Celles-ci donnent en effet la relation entre taux d'expansion H à la densité de masse mu :

3 H^2 = 8 pi G mu

On remplace rho par le rapport de la masse de l'univers observable à son volume. Soit R son rayon, on a

H^2 = 2 G M / R^3

Il existe une relation entre le rayon de Hubble R_H = c / H et le rayon de l'univers observable. Cette relation s'écrit R = alpha R_H, où alpha est un nombre sans dimension dont la valeur exacte dépend de la cosmologie. A l'heure actuelle, on a alpha environ égal à 3. Il vient donc

alpha^2 c^2 / R^2 = 2 G M / R^3

d'où

R = [2 G M / c^2] / (alpha^2)

Au facteur alpha^2 près, c'est exactement la relation masse-rayon pour un trou noir.

Tout ceci n'est finalement pas très surprenant. En cosmologie, dans un modèle de type Big Bang comme celui qui décrit l'univers observable on est en présence d'un horizon (càd d'une région au dela de laquelle on ne voit plus rien car la lumière n'a pas eu le temps de nos parvenir), ce qui est assez proche de la situation d'un trou noir normal de l'intérieur duquel on ne voit rien. L'analogie entre trou noir et univers en expansion est même beaucoup plus forte que cela dans un espace de de Sitter (univers vide de matière mais avec constante cosmologique), et c'est même un truc assez crucial en cosmologie car cela permet de faire une analogie assez remarquable entre la génération des fluctuations quantiques pendant l'inflation et le rayonnement de Hawking d'un trou noir.




Incidemment : que signifie "la distance à un trou noir" ? On ne peut mesurer le "rayon" d'un trou noir car pour cela il faudrait aller à l'intérieur et ressortir de l'autre côté , ce qui est impossible. Par contre on peut en faire le tour et mesurer sa circonférence. De même, un observateur peut faire le tour d'un trou noir tout en restant "a même distance de celui-ci" (càd en s'arrangeant en gros pour que le diamètre angulaire du trou noir reste constant lors de son trajet), et mesurer la distance parcourue. Il aura donc mesuré la circonférence d'une trajectoire circulaire centrée sur le trou noir. Quand on parle de distance "à" un trou noir, on se réfère en fait à (1/2 pi) * la circonférence du cercle en question.



Autre chose : je prends deux trou noirs d'une masse solaire, je les fais fusionner. Quelle est la masse du trou noir final ? Moins de deux masses solaires. Pourquoi ? Parce que l'ors du processus de fusion, les deux trous noirs ont perdu de l'énergie en rayonnant des ondes gravitationnelles. La masse (énergie) finale est donc inférieure à la somme des masses (énergies) initiale car une partie de l'énergie totale a été rayonnées à l'infini. Par contre la masse finale ne peut être arbitrairement petite. Un théorème célèbre dû à Hawking dit que la masse finale du trou noir est telle que son aire est supérieure à la somme des aires des trous noirs initiaux. Dans le présent contexte, et en supposant que le trou noir final n'a pas de moment cinétique, cela dit que la masse finale est comprise entre sqrt(2) et 2 masses solaires.

[Gilgamesh]

Je trouve çà surprenant quand même, imaginons que l'univers se contracte, son diamètre diminue, mais pas la taille du trou noir? de même l'univers est en expansion, il n'y a pas de raison que la taille du trou noir augmente, puisqu'il n'y a pas création de matière. quid?

Attention, dans le cas de l'Univers et quand on le met en rapport avec un TN de même masse, ce qui nous intéresse se passe *sous* l'horizon.

Dans un TN, la métrique est dynamique, comme dans l'Univers. Un objet ne peut rester à la même place, il est entraîné vers la singularité et scrounch. Une sorte de Big Crunch permanent, en qq sorte (<-- ça manque sans doute de rigueur...). Et ça ne change pas la taille de l'horizon.

a+

[invited08a4fc9]

OK. Exact, la taille de l'horizon d'un TN ne change évidemment pas question subsidiare, si l'univers est en expansion (accélérée apparemment), se pourrait-il que l'univers "dépasse" l'horizon du TN, "rayonne" en qque sorte?

Attention, dans le cas de l'Univers et quand on le met en rapport avec un TN de même masse, ce qui nous intéresse se passe *sous* l'horizon.

Dans un TN, la métrique est dynamique, comme dans l'Univers. Un objet ne peut rester à la même place, il est entraîné vers la singularité et scrounch. Une sorte de Big Crunch permanent, en qq sorte (<-- ça manque sans doute de rigueur...). Et ça ne change pas la taille de l'horizon.

a+

[Gilgamesh]

OK. Exact, la taille de l'horizon d'un TN ne change évidemment pas question subsidiare, si l'univers est en expansion (accélérée apparemment), se pourrait-il que l'univers "dépasse" l'horizon du TN, "rayonne" en qque sorte?

L'analogie univers - TN doit s'analyser plus finement que ça. La réponse est dans le post d'alain : la notion d'horizon est différente dans le cas TN et dans celui Univers. Dans le TN l'horizon a un sens pour l'observateur extérieur, dans celui de l'univers, l'horizon a un sens pour l'observateur intérieur.

Dans les deux cas, tout l'espace-temps derrière l'horizon est sans relation causale avec l'observateur (c'est sa definition).

Dans Schwartschild, la fonction f tend vers 1 (dans une région qui est à l'extérieur et loin du trou noir), dans de Sitter, elle tend vers 1 au voisinage de l'origine. Dans les deux cas, elle s'annule à une valeur de R finie (resp. 2 GM/c² et c/H), ce qui correspond dans les deux cas à un horizon. La différence c'est dans un cas l'horizon entoure l'origine des coordonnées spatiales et est vue telle quelle par quelqu'un qui en est à l'extérieur, alors que dans de Sitter, l'horizon est vu par quelqu'un situé au voisinage de l'origine dans toutes les directions, mais sinon les deux situations sont très proches. En particulier, le rayonnement de Hawking peut être vu comme conséquence d'une métrique qui tend asymptotiquement vers Schwarzschild et qui présente un horizon. Cela suggère qu'un rayonnement du même type a des chance d'apparaître dans une situation où une métrique tend vers de Sitter avec un horizon. C'est en fait exactement ce qu'il se passe pendant l'inflation.

a+