Formule de Balmer

[MacTish-]

Bonjour tout le monde,

Bon alors voilà mon problème
On me demande de trouver le niveau nécessaire d'un électron d'ion He⁺ pour émettre un rayonnement de 108,7nm.

J'ai comme données : L’électron occupe le niveau n=5
He : Z=2 et la constante de Rydberg=109677,76 cm^-1

A partir de là, il me semble qu'il faut utiliser cette formule : 1/ λ= Rh.((1/n1²)-(1/(n2²))
J'ai tout ce qu'il me faut (je crois), le truc c'est que je ne sais pas isoler le n2... Est-ce que déjà je suis bien partis ?

Merci d'avance ! Et bonne journée.

MacTish-
-----

[curieuxdenature]

Bonjour

il y a plusieurs méthodes, tout dépend de celle qui te parait la plus explicite.
Pour ma part, je tracerais d'abord un diagramme des énergies successives avec la formule E = -13.6 eV * Z^2 / n^2
en commençant par le n le plus grand( ici=5)
on trouve:
n=5 --> -2.175 eV = 17548.42 cm-1 =
n=4 --> -3.4 eV = ...
n=3 --> -6.044 eV = ...
n=2 --> -13.6 eV = Rh
n=1 --> -54.4 eV = ...

ensuite tu explores tous les sauts possibles :
5 - 4 = ... eV
5 - 3 = ... eV
5 - 2 = 11.422 eV = 108.543 nm (oh miracle !)
5 - 1 = ... eV

puis
4 - 3 =
4 - 2 =
4 - 1 =

puis
3 - 2 =
3 - 1 =
et le dernier
2 - 1 = ... eV

Avec les longueurs d'ondes en cm-1 c'est le même genre de punition.

[sfnsfn2]

c'est directement à partir de cette expression
1/ λ= Rh Z²((1/n1²)-(1/(n2²))
λ et n2 sont connus et tu tire n1
j'ai trouvé 4

[curieuxdenature]

Bonjour

tu trouves donc n=4 et m=5 ?
Impossible.
Qu'on se serve de la formule directe ou de celle indiquée par MacTish- la transition est la 5-2

Avant tout c'est une histoire de conversion, 108.7 nm est proportionnel à l'inverse d'une énergie ou d'un nombre d'ondes.
Soit 108.7 nm => 11.406 eV => 91996.32 ondes par cm.

En explorant toutes les solutions, comme je le proposais, on se familiarise avec l'évolution des niveaux des raies spectrales, ensuite seulement on peut se permettre (j'allais dire bêtement) d'appliquer les formules.

 Cliquez pour afficher

Energies des niveaux de He+

Rh = 109677.76 cm^-1
Rh_He+ = Rh / Z² = 438711.04 cm^-1
x cm-1 = 10^7 / (x nm)

E_He_5 = -2.176 eV; 17548.44 cm-1; 569.851 nm
E_He_4 = -3.400 eV; 27419.44 cm-1; 364.705 nm
E_He_3 = -6.044 eV; 48745.67 cm-1; 205.146 nm
E_He_2 = -13.598 eV; 109677.76 cm-1; 91.176 nm
E_He_1 = -54.393 eV; 438711.04 cm-1; 22.794 nm

Sauts entre tous les niveaux de He+

5-4:-2.176 - -3.400 = 1.224 eV = 9871.00 cm-1 = 1013.07 nm
5-3:-2.176 - -6.044 = 3.868 eV = 31197.23 cm-1 = 320.54 nm
5-2:-2.176 - -13.598 = 11.423 eV = 92129.31 cm-1 = 108.54 nm --> raie cherchée : n=2; m=5
5-1:-2.176 - -54.393 = 52.217 eV = 421162.57 cm-1 = 23.74 nm

4-3:-3.400 - -6.044 = 2.644 eV = 21326.23 cm-1 = 468.91 nm
4-2:-3.400 - -13.598 = 10.199 eV = 82258.31 cm-1 = 121.57 nm
4-1:-3.400 - -54.393 = 50.994 eV = 411291.57 cm-1 = 24.31 nm

3-2:-6.044 - -13.598 = 7.555 eV = 60932.08 cm-1 = 164.12 nm
3-1:-6.044 - -54.393 = 48.350 eV = 389965.34 cm-1 = 25.64 nm

2-1:-13.598 - -54.393 = 40.795 eV = 329033.26 cm-1 = 30.39 nm

[A voir en vidéo sur Futura]

[sfnsfn2]

j'ai trouvé 4 mais c'est n₁² , d'où n1=2
désolé
on peut obtenir le résultat directement, équation avec un seul inconnu

[MacTish-]

Bonjour et merci !

Alors Curieuxdenature, je ne doute pas que t'as méthode soit plus claire, et je la préfère même à l'autre, seulement, je crois qu'il faut que j'utilise la Formule de Balmer pour mon exercice.

sfnsfn2, voilà c'est ça, le hic c'est que je suis pas doué niveau équation :/ J'ai trouvé ça, mais ça ne coïncide pas : m²=109677.76/(109677.76/5² - 1/108.7)=25 Avec la racine carré 5... Je vois pas ce qui ne va pas.

Un grand merci à vous !!

[MacTish-]

Bon alors j'ai trouvé le bon ordre : m²=Rh/(Rh/2²-1/108,7)= 4,0000.. et la racine carré fait donc 2. Par contre je ne comprend toujours pas, pourquoi on me dit que l’électron : n=5, si ça n'apparait pas dans la formule? et comment peut-on savoir que n1 était en faite 2 ? On essaie au hasard ?

[curieuxdenature]

bonjour

à mon humble avis, c'est ta formule qui arrive au résultat par hasard

C'est pas bon, tu as oublié le Z² : 1/L = Rh * Z^2 * (1/x^2 - 1/m^2)
tu connais L, Rh et m

L est en nanomètre, pas en cm !

ya_pu_ka_foc

[MacTish-]

Re-

Pourtant, c'est bien cette formule que j'ai dans mon cours : 1/λ = R_H(1/2² - 1/n²)
J'ai essayé en rajoutant le Z² et je tombe sur un résultat qui n'a absolument rien à voir... Vous trouvez la bonne solution avec votre calcul ?

MacTish-

[curieuxdenature]

forcément, si tu ne tombes pas juste c'est que tu ne fais pas attention au sens physique de la formule et aux unités.

Ry_he = Rh * Z^2
L(nm) = 10 000 000 de nm par cm / (Ry_He / 2 ^ 2 - Ry_He / 5 ^ 2) = 108.54 nm soit ~ 108.7 nm

Rh est valable seulement pour l'hydrogène, et oui, vu que Z=1....
Le sens physique de Rh est le nombre d'ondes de la radiation d'énergie 13.6 eV comptés par cm de longueur.

[MacTish-]

Hello ! C'est bon j'ai compris d'où venait l'erreur cette fois, la calculatrice Windows 8
Donc ça donne :
--> 1/ λ = R_H.Z²(1/2² - 1/m²)
Le Z² disparait puisque égale à 1.
--> 1/ λ = R_H/2² - R_H/m²
--> 1/ λ - R_H/2² = - R_H/m²
--> R_H/2² - 1/ λ = R_H/m²
--> ( R_H/2² - 1/ λ ) . m² = R_H
--> Le m² disparaît.
--> m² = R_H/(R_H/2² - 1/λ)
--> On remplace par les valeurs : m² = 109677,76/(109677,76/4 - 1/108,7) = Racine² de 4,0000 = 2 !!!

[curieuxdenature]

Bonjour

je pense que tu as la tête dure ...

Refais le calcul comme je te l'ai montré.
On a un atome d'hélium ionisé, donc il faut * par Z²

Je te l'ai dit : 109677.76 est le nombre d'ondes par cm de la raie fondamentale de l'hydrogène(-13.6 eV), et non pas de l'hélium(-54.4 eV).
54.4 / 13.6 ça fait combien ?
Donc, Z = combien ?

Ensuite tu divises des centimètres par des nanomètres...
108.7 nm font combien de m ?
et combien de cm ?

C'est tout bête.

[curieuxdenature]

1/ λ = R_H.Z²(1/x² - 1/5²)

il faut rendre homogène 1/ λ avec R_H, le reste c'est de la dentelle pour trouver x.

[MacTish-]

Oyoye je peux casser des murs

Bon alors je recommence.
108.7 nm ça fait 1,087.10^-5 cm
Toutes les unités sont accordées.
1/1,087.10^-5 = 109677,76.4²(1/x² - 1/5²)
<=> 1/1,087.10^-5 = 1754844,16/x² - 1754844,16/5²
<=> 1/1,087.10^-5 - 1754844,16/5² = - 1754844,16/x²
<=> 1754844,16/5² - 1/1,087.10^-5 = 1754844,16/x²
..
<=> (1754844,16/5² - 1/1,087.10^-5).x² = 1754844,16
<=> x² = 1754844,16/(1754844,16/5² - 1/1,087.10^-5)
Je rate quoi jusque là ? :/

[curieuxdenature]

on a 10^7/L = Rh * Z^2 * (1/x^2 - 1/ m^2)

soit 1 = Rh * Z^2 * L * 10^-7 * (1/x^2 - 1/ m^2)
tu poses a = Rh * Z^2 * L * 10^-7 = 4.77

0 = a/x^2 - a/m^2 - 1

on simplifie en * (par x^2 * m^2) :

0 = a * m^2 - a * x^2 - x^2 * m^2

0 = a*25 - a*x^2 - 25*x^2
a*x^2 + 25*x^2 = 25*a

4.77*x^2 + 25*x^2 = 25*a=119.22
29.77*x^2 = 119.22

x^2 = 119.22/29.77
x=sqr(4.0047)

x=2

10^7 / L = Rh * Z²(1/2²-1/5²) = 10^7 / 108.7 = 91 996.32 cm-1

d'après la 1ere méthode:
5-2:-2.176 - -13.598 = 11.423 eV = 92 129.31 cm-1 = 108.54 nm --> raie cherchée : n=2; m=5

au millième près

[curieuxdenature]

1/1,087.10^-5 = 109677,76.4²(1/x² - 1/5²)

elle est là l'inattention, Z² = 2²

[MacTish-]

Bonjour,

J'ai un peu de mal à saisir comment vous obtenez le 4,77, mais sinon je pense avoir compris.

Merci beaucoup pour le temps que vous avez passé à m'aider.

[pitchou1308]

J'ai le même exercice à faire et je ne comprends pas pourquoi vous ne conservez pas la formule écrite plus haut :
1/1,087.10-5 = 109677,76.4²(1/x² - 1/5²)

Il me semble que cela correspond à la formule des ions hydrogénoïdes ? Où se situe l'erreur ? J'arrive également à cette formule et je ne comprends pas vos calculs

Pouvez-vous m'expliquer ?

Merci

[pitchou1308]

à part bien sûr pour le 4² qui devrait être 2², mais sinon le reste de la formule me semblait juste ?

[pitchou1308]

De plus, je suis un peu perdue au niveau des unités à utiliser, je vois parfois des mètres, des centimètres et des nanomètres...

[pitchou1308]

En fait, je viens de comprendre l'intégralité de votre calcul à quelques points près, notamment pourquoi le -1 disparaît une fois la simplification des fractions effectuée ?
0 = a/x^2 - a/m^2 - 1

[pitchou1308]

Voici mon calcul jusqu'à présent, pouvez-vous me dire là où j'ai faux, j'apprécierais beaucoup :
0= (1,087.10^-5.109 677,76.2²/x²) - (1,087.10^-5.109 677,76.2²/25) - 1
0= (119,22/25x²) - (4,77x²/25x²) -1

J'ai mis des parenthèses pour représenter les fractions.

Je vous remercie d'avance, en espérant que vous aurez le temps de me répondre