Conjecture de Poincaré : dernières pièces du puzzle d'un problème centenaire

**RSSBot** · 12/07/2006 - 08h24

Les professeurs Yang Le, Zhu Xiping et Cao Huaidong de la Sun Yat-sen University ont annoncé avoir assemblé les derniers éléments pour résoudre complètement la conjecture de Poincaré, un problème centenaire.

La conjecture de Poincaré

A partir de 1894, le célèbre mathématicien français Henri Poincaré publie six articles qui fondent la topologie algébrique : à toute surface...

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licette · 12/07/2006 - 09h47

Bonjour,

C'est tres interessant, mais certains points restent obscurs, pourriez-vous m'eclairer ?

. qu'est-ce que le quotient de deux surfaces elementaires ? ou celui d'une 3-sphère par un groupe fini de rotations ? comment definit-on un quotient, en ce sens ? Est ce que ca a, ici aussi, un rapport avec des classes d'equivalence, ou rien a voir ?

. que sont les parties "hyperbolique" et "a courbure positive" de la conjecture ?

. le "flot de Ricci", c'est (en gros) une espece d'application ?

En tout cas, ca fait plaisir de lire des sujets de maths de temps en temps !

Bonne journee !

martini_bird · 12/07/2006 - 15h58

Salut,

. qu'est-ce que le quotient de deux surfaces elementaires ?

Il ne s'agit pas de quotient de deux surfaces mais d'une surface par un groupe (ou plus généralement par une relation d'équivalence).

ou celui d'une 3-sphère par un groupe fini de rotations ? comment definit-on un quotient, en ce sens ? Est ce que ca a, ici aussi, un rapport avec des classes d'equivalence, ou rien a voir ?

Il s'agit bien de classes d'équivalence. En fait dès que l'on a une action de groupe sur un ensemble, on dispose d'une relation d'équivalence naturelle (deux points sont équivalents s'ils sont dans la même orbite). Concernant l'action d'un groupe sur une surface (ou un espace topologique), le quotient est encore une « surface », sous certaines conditions.

Exemples : le quotient du plan euclidien par le groupe engendré par deux translations selon deux vecteurs indépendants est homéomorphe au tore.
Si les vecteurs sont normés et orthogonaux c'est simplement $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ (quotient d'un groupe par un sous-groupe).

De même $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ est homémorphe au cercle $\mathbb{S}^1$ .

. que sont les parties "hyperbolique" et "a courbure positive" de la conjecture ?

Parmi les huit géométries élémentaires, les trois géométries à courbure constante jouent un rôle essentielle : ce sont

celle à courbure nulle du plan euclidien $\mathbb{R}^3$ ,
la géométrie à courbure constante positive (la sphère $\mathbb{S}^3$ )
et la géométrie à courbure constante négative (géométrie hyperbolique $\mathbb{H}^3$ ).

En effet, les cinq autres géométries s'obtiennent à partir de surfaces (par produit comme pour $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ et $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ - voir la liste ici).

C'est la partie concernant $\mathbb{S}^3$ qui est donc la plus délicate et qui a donné lieu à la conjecture d'elliptisation.

. le "flot de Ricci", c'est (en gros) une espece d'application ?

Etant donné un champ de vecteurs sur une surface, on peut en général trouver une courbe telle que ses tangentes soient précisément les vecteurs du champ. Si l'on part d'un point p₀ au temps t=0, on peut calculer à l'aide d'une équation différentielle la position p sur la courbe au temps t : le flot est l'application qui au point de départ p₀ et au temps écoulé t donne la position p(t) sur la courbe. Intuitivement, on peut imaginer le mouvement d'une particule sur la surface d'un fluide animé d'un champ de vitesse : le flot donne la position au temps t d'une particule initialement en p₀.

Pour un champ de vecteurs particulier (et « naturel » pour plusieurs raisons - notamment l'invariance par changement de coordonnées) qui fait intervenir le tenseur de Ricci (et donc la courbure), on obtient le flot de Ricci. Le problème est alors de résoudre l'équation différentielle, qui n'admet en général pas de solution globale.

Cordialement.

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