la MQ peut elle decrire la realité?

[invité576543]

Le théorème de Gleason est plus général, mais en gros, si tu appliques ce théorème au modèle de variables cachées considéré par von Neumann, tu peux te débarasser d'une des hypothèses, mais malheureusement pas l'hypothèse qui est intenable. Cfr par exemple l'article de Bell (III.4) dans le livre à 274$.

Pas clair du tout.

Déjà qu'appelles-tu le théorème de von Neumann? (Stone-von Neumann?)

Et quelles sont les hypothèses dont tu parles?

Par ailleurs ta réaction portait aussi sur Kochen -Specker. A ce que j'en comprend il impose la non-contextualité aux théories à variable cachées, ce que je classais dans les "contraintes" (et une contrainte bizarre, non?). Tu as l'air de dire qu'il s'appuie sur une hypothèse qui ne tient pas, mais laquelle?

(Entre temps, je mets l'article de Bell sur ma liste à lire...)

Cordialement,

[mtheory]

Pas clair du tout.

Déjà qu'appelles-tu le théorème de von Neumann? (Stone-von Neumann?)

Il fait référence à ça

http://books.google.fr/books?id=qUgX...result#PPR5,M1

[Ising]

Déjà qu'appelles-tu le théorème de von Neumann? (Stone-von Neumann?)

Salut,

Désolé si j'ai été un peu trop rapide. Je vais prendre le temps d'expliquer les trois théorèmes plus en détail.

En gros, l'idée qui sous-tend au théorème de von Neumann sur l'impossibilité des variables cachées (celui cité par mtheory) est la suivante.

Une théorie des variables cachées peut être modélisée de la façon suivante: Pour toute observable , il existe une fonction , qui à une variable cachée représentant l'état du système (par exemple, un vecteur dans un Hilbert), va faire correspondre un élément du spectre de , qui sera interprété comme le résultat de la mesure. von Neumann fait alors l'hypothèse que la fonction doit être linéaire en . Prend alors comme exemple (une mesure de spin à 45°). Alors, par linéarité, on a:



Et ensuite, en utilisant le fait que , et valent soit +1, soit -1, on tombe sur une contradiction:


qui est impossible dans tout les cas. Ca, c'est le théorème de von Neumann. Dans le cas qu'on a considéré, les observables et ne commutent évidement pas, et on peut se demander si exiger la linéarité pour des observables qui ne commutent pas n'est pas un peu exagéré. Un corolaire du théorème de Gleason (qui lui, est plus général que ça) permet d'échapper à cette hypothèse.

Le théorème de Kochen-Specker exploite aussi la même idée, mais de façon plus subtile. En gros, pour toute triade de vecteurs unitaires orthogonaux, on a

dans un système d'unité naturelles où . Si il existe des variables cachées qui imposent une valeur précise à chacun des moments, on n'a pas le choix, il faut qu'un des moments au carré soit égal à +1, et les deux autres égaux à 0. Le truc de Kochen-Specker, c'est de considérer de nombreuses triades de ce genre toutes soumises à la même contrainte pour prouver que dans une triade, il va être impossible d'assigner une valeur +1 et deux valeurs 0 de façon cohérente avec la contrainte.

Mais dans les trois cas, tu fais justement l'hypothèse de la non-contextualité. C'est d'ailleurs étonnant, parce que la MQ est contextuelle quand il s'agit d'observable qui ne commutent pas (et c'est en ce sens que Bell a dit que le thm de von Neumann était idiot). Maintenant, dans le cas d'une théorie aux variables cachées, tu t'attend à retrouver les prédictions de la MQ qu'après avoir intégré tes variables cachées. En imposant la non-contextualité des observables qui commutent, tu imposes une propriété qui n'est vraie qu'en moyenne à chaque réalisation. En ce sens, tu loupes ta cible.

A+

Ising

[invité576543]

J'essaye de comprendre:

Tu dis que la seule chose qui soit démontrée, c'est que même si deux observables commutent, on ne peut pas prendre le résultat des mesures de ces observables comme non contextuel, c'est à dire que le résultat de chacune des mesures dépend du fait que l'autre est faite. Ou encore, si on fait A puis B, la commutativité indique que les résultats sont les mêmes que si B puis A, mais le résultat de la seconde mesure n'est pas indépendant du fait que la première a été faite?

Et ensuite tu dis qu'il y a des théories à variables cachées qui sont compatibles avec cela?

(C'est en ligne avec des abstract de papiers trouvés sur le Web, je cherche juste à vérifier que ma compréhension n'est pas trop à côté.)

Cordialement,

[mariposa]

Pas clair du tout.

Déjà qu'appelles-tu le théorème de von Neumann? (Stone-von Neumann?)

Bonjour,

j'ai été voir dans ma littérature ce qu'est le théorème de Von Neumann.

En fait tout le monde applique le théorème de Von Neumann comme Monsieur Jourdain.....

Soit l'algèbre H de Heisenberg classique que l'on construit en seconde quantification:

[Ai,Bj] = dij

[Ai,Aj] = 0

[Bi,Bj] = 0ij

Les B sont ici les opérateurs de création conjugués des annihilateurs A

Le théorème de Stone-Von Neumann dit:

Que si l'algèbre H est représenté irréductiblement dans un espace vectoriel V cad:

Ai : V dans V

chaque vecteur |v> de V peut-être atteint par itération à partir de n'importe quel vecteur |w> et il existe un seul état |0> qui ne peut-être atteint que par les Ai directement. Cette représentation est unique (a une transformation unitaire près).

On est pas dans des considérations de physique théorique, mais de mathématique physique. Tout le monde pratique ce théorème sans le savoir et personne n'est usuellement confronté à l'unicité de la représentation en pratique.

[Ising]

[...]Et ensuite tu dis qu'il y a des théories à variables cachées qui sont compatibles avec cela?

C'est exactement ça. Il existe en tout cas au moins une théorie qui soit compatible avec cela et avec la violation des inégalités de Bell.

j'ai été voir dans ma littérature ce qu'est le théorème de Von Neumann.

Je n'ai pas l'impression que cela soit le même théorème que celui que je mentionne. C'est un théorème qui est un peu tombé en désuétude (justement parce qu'il n'apportait pas grand chose au débat), qu'on appelle parfois théorème d'impossibilité des variables cachées de von Neumann.

A+

Ising