Question sur l'infini

[invite35d823b4]

Bonsoir, une question me trotte la tête depuis un bout de temps, je m'explique:
On trace un segment d'1 metre de longueur sur le sol, sachant que sur un 1m de distance une infinité de nombre(de longueur) sont present à l'interieur, je passe ce metre d'un bond , alors suis je entrain de traverser une infinité de nombre(de longueur)????
Mais comment dire que je suis etrain de traverser cet infini si l'infini defini quelque chose sans fin???

[invitef2671992]

Lol répète la question, je n'ai RIEN compris!!

Francis

[invite8b1fb331]

une animation

[invitedcacff25]

Bonsoir,

Je supposes qu'on peut dire que tu traverses une infinité de point infiniment petits infiniment vite...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf65f07b]

et il y a pire, figure toi qu'on peut additionner un infinité de nombres, sans que le résultats soit infini.

Par exemple : 1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^n+....=2

comme quoi l'infini est loin d'être intuitif

[Seirios]

Il est vrai que l'infini pose beaucoup de problème, et pourtant c'est un sujet si passionnant.
Sinon on peut dire que le mètre a traverser une infinité de point restreint dans une distance bien délimité. C'est vrai que c'est un peu contradictoire mais je pense que c'est juste.

Mais comment dire que je suis etrain de traverser cet infini si l'infini defini quelque chose sans fin???

Dans un cercle il y a une infinité de rayon, pourtant on en fait vite le tour. Les "paradoxes" de l'infini font se creuser la tête à beaucoup de monde
Phys2

[Seirios]

Mais comment dire que je suis etrain de traverser cet infini si l'infini defini quelque chose sans fin???

Dans un cercle il y a une infinité de rayon, pourtant on en fait vite le tour.

C'est vrai que ça pose un réel problème, quelqu'un aurait-il une bonne référence sur l'infini (surtout en livre) ?

Phys2

[invite06fcc10b]

Il est vrai que l'infini pose beaucoup de problème, et pourtant c'est un sujet si passionnant.
Sinon on peut dire que le mètre a traverser une infinité de point restreint dans une distance bien délimité. C'est vrai que c'est un peu contradictoire mais je pense que c'est juste.

En fait, peu importe l'intuition, ce qui compte c'est la cohérence du raisonnement mathématique.
En l'occurrence, il y a une infinité de points, certes, mais ils sont de longueur nulle.
0 fois l'infini, ça fait ... indéterminé. Il n'y donc aucune incohérence.

[invite70d5212d]

Mais peut-être qu'à un niveau vraiment, vraiment petit, peut-être que la matière coexiste dans une réalité continue et que parler de nombre d'unité de longueur à ce niveau, est une approximation mathématique de la réalité. Ainsi donc, si tu aimes les casses-têtes et que tu désires toujours améliorer de plus en plus la précision d'une mètre avec des unités de longueur, c'est juste ton temps que tu vas perdre. En d'autres mots, le mètre n'a rien d'infini en réalité. C'est seulement ton approximation mathématique que tu peux améliorer à l'infini.

[JPL]

Il ne faut pas confondre non plus l'abstraction mathématique avec la réalité. Considérons un mètre formé d'une seule rangée d'atomes : il est bien évident que dans le monde réel ce mètre ne peut pas être subdivisé à l'infini. Il est constitué d'un nombre fini d'atomes et on ne pourra jamais faire mieux.

[invited494020f]

Il ne faut pas confondre non plus l'abstraction mathématique avec la réalité. Considérons un mètre formé d'une seule rangée d'atomes : il est bien évident que dans le monde réel ce mètre ne peut pas être subdivisé à l'infini. Il est constitué d'un nombre fini d'atomes et on ne pourra jamais faire mieux.

On arrive là à la "granulosité" de l'espace. Mais peut-on parler de la dimension d'un grain (ou unité) d'espace indivisible?

[invite59b2afac]

Voila un petit "problème" qui pourrait t'interesser, Phys2 :
prend 1/3
si tu prend sa valeur approchée, tu a 0,3333333...333.
multiplie le par 3, tu obtient 0,99999999999...999
cependant, si tu multiplie 1/3 par 3, tu obtiens 1 et pas 0,99999999...9999

Ainsi, tu as vraisemblablement 0,999999999...9999 = 1
Voila une des implications de l'infini.
C une chose que j'ai bcp de mal a admettre, pour ma part. Pour moi, il restera tjs le petit truc qui manquera pour faire 1.

Allez, donne moi ton avis la dessus.

Excusez moi, c un peu hors sujet, mais ça a un rapport avec l'infini. Vous avez déjà presque répondu a sa question, je soulève une autre partie de l'infini.

[invite83b887e6]

0.3333333...333....33333
Je crois que ces chiffres qui ne permettent pas de representer la realité puisque l'on ne peut completement ecrire 1/3 sous cette forme....Je crois que c'est une question de rigueur dans l'abstraction

[invite578a92be]

Si j'ai bien compris le sujet de départ, ça ressemble fortement au paradoxe de Zénon :
Achille voit une tortue et décide de lui courir après (il cours bien plus vite que la tortue et donc devrait la ratraper) :
- Le temps qu'Achille aille jusqu'à l'endroit ou il a vu la tortue, celle-ci avancant aussi, elle n'y est plus mais est un peu plus loin
- Alors Achille cours jusqu'à la nouvelle position de la tortue mais pendant ce temps la tortue a encore avancé
- ...

Et Achille ne rattrape jamais la tortue... ?!

En fait bien sur que non, mais cela provient du fait qu'Achille parcours une infinité de segment de longueur finie et que cette distance ce trouve être finie. Il lui faut donc un temps fini que la distance de lui à la tortue devienne égale à 0. Il la dépassera donc bien entendu.

Ici c'est la même chose, que tu raisonnes comme on a l'habitude de le faire en franchissant tes 1m d'un seul bond ou bien en subdivisant ton intervalle en une infinité de segments dont la longueur tend vers 0, la distance à parcourir sera toujours de 1m. Cela vient en effet du fait qu'une somme infinie n'est pas forcément une quantité infinie...



Pour le problème du 1/3=0.3333..., ceci est effectivement vrai si l'on met un nombre infini de décimal (en d'autres termes, la limite de la suite définie par u(n)=0.333.. avec n 3 est égale à 1/3). C'est une représentation symbolique du réel 1/3 et dans le cas de 0.999... la limite de cette suite étant 1, 0.99... et 1 représentent le même réel.

Puisque j'ai l'impression de m'égarer un peu, dites moi si je dis n'importe quoi

[JPL]

Et cela prouve qu'il y a des infinis plus grands que d'autres...

[invite03c2e5ba]

Pour le problème du 1/3=0.3333..., ceci est effectivement vrai si l'on met un nombre infini de décimal (en d'autres termes, la limite de la suite définie par u(n)=0.333.. avec n 3 est égale à 1/3). C'est une représentation symbolique du réel 1/3 et dans le cas de 0.999... la limite de cette suite étant 1, 0.99... et 1 représentent le même réel.

Puisque j'ai l'impression de m'égarer un peu, dites moi si je dis n'importe quoi

Bonjour à tous,

Non, ce n'est pas n'importe quoi, c'est exactement cela, une suite infinie de termes peut donner un résultat fini.

Pour ce qui est du 1/3, il faut partir de plus "haut":

1 = 1
1/3 = 0.33333333333333333...... (infinité de termes)
1/3 *3 = 0.33333333333333.... *3
1 = 0.999999999999999999.... (infinité de termes)

C'est tous le problème de cet infini impossible (pour moi) à concevoir. Il faut l'admettre.

Un livre qui aborde cela pour tous: "Jeux avec l'infini" de Rozsa Péter éditions du Seuil (points sciences 6).

A+

[invitec96bb49d]

Bonjour, ça va??

Pour expliquer plus facilement :
Prenons x= 0,9999999...
On a : 10x= 9,99999...
10x-x= 9,99999... - 0,99999
9x= 9,9999... - 0,9999
=9
On trouve alors : x= 9/9
=1
Tu as dis que tu trouvais toujours qu'il manquait un petit quelque chose pour faire 1.
Si on dit il faut 0,0000000....1 pour faire 1, on va alors finir la suite des 0 et on aura plus un nombre infini.
Alors, il nous faut 0,000000........... avec une infinité de 0 qui est égal bien sûr à 0.
Alors, tu as : 0,9999..... = 1

[invite28a6d911]

L'infini est quelque chose qui perturbe beaucoup parce qu'on peut pas l'imaginer...une question qui m'a longtemps laissée perplexe est : y'a-t-il plus de nombre entre 0 et 1 qu'entre 0 et 10 ? On a tendence à penser qu'il y 10 fois plus de nombre entre 0 et 10 et pourtant 10 fois l'infini ça fait toujours le même infini....

[invited494020f]

Bonjour,
L'infini mathématique existe, on sait même qui l'a créé: l'imagination de l'homme. Il s'écrit x/0, x étant n'importe quelle quantité non nulle.
L'infinité physique, par contre, n'existe peut-être pas plus que la quantité nulle. L'espace et le temps ne sont peut-être pas continus et n'existent peut-être que par quantités minimales irréductibles, aussi bien que l'énergie et la matière, d'ailleurs interchangeables.
Pour le penser, il faut de l'imagination, mais nous n'en manquons pas: la preuve en sont les réflexions sur l'infini!

[invite52c52005]

Bonjour,
L'infini mathématique existe, on sait même qui l'a créé: l'imagination de l'homme. Il s'écrit x/0, x étant n'importe quelle quantité non nulle.
L'infinité physique, par contre, n'existe peut-être pas plus que la quantité nulle. L'espace et le temps ne sont peut-être pas continus et n'existent peut-être que par quantités minimales irréductibles, aussi bien que l'énergie et la matière, d'ailleurs interchangeables.
Pour le penser, il faut de l'imagination, mais nous n'en manquons pas: la preuve en sont les réflexions sur l'infini!

Bonjour,

sur ce type de réflexion, je te conseille le lien vidéo que j'ai donné dans mon post précédent. Il s'agit d'une conférence (environ 2h) donnée à la Cité des Sciences dans le cadre du cycle 'Science et philosophie'. Les intervenants étaient Jean-Marc Lévy-Leblond (physicien et épistémologue), Jean-Paul Delahaye (mathématicien et informaticien) et Jean-Michel Salanskis (philosophe).
Ce n'est bien entendu qu'une introduction, mais c'est une bonne manière d'aborder la notion d'infini de plusieurs horizons.

[invited494020f]

Bonjour,

Bonjour,
sur ce type de réflexion, je te conseille le lien vidéo que j'ai donné dans mon post précédent. .

Merci du lien que j'ai utilisé, mais dont je n'ai pas tiré grande chose.
Pour moi, les maths sont un langage qui permet de décrire et de prédire un grand nombre de réalités et d'événements, son utilité s'arrêtant là. Toute réflexion mathématique déconnectée de la réalité me semble être vouée à l'échec, comme celle concernant les "caractéristiques" de l'infini, très intéressante, mais que je trouve stérile (opinion strictement personnelle).
Les premières réflexions sur l'infini sont attribuées à Anaximandre (610-547 av. JC). C'était un sacré bonhomme qui, entre autres a, inventé le darwinisme: "Tous le êtres dérivent d'êtres plus anciens, par des transformations successives." et le chaos, qu'il considérait consubstantiel avec l'infini (pas si bête).
L'invention du zéro est attribuée à beaucoup de monde, les Chinois, les Indiens, les Egyptiens et, en particulier, à Brahmagupta (598-668 ap. JC).
Dans les deux cas, les concepts sont de construction humaine, avec une signification qui évolue dans le temps.
Un exemple de signification sans application physique possible:
Un point se définit comme un lieu n'ayant aucune des trois dimensions spatiales: en physique ceci n'a aucune signification. Une droite d'une longueur quelconque comporte une infinité de points. Quand sa longueur tend vers 0, brusquement le nombre de ses points passe de l'infini à zéro. C'est de la démence!
J'aimerais connaître l'avis des mathématiciens sur cette réflexion, avec un minimum de jargon.

[invitec314d025]

Les considérations que tu trouves stériles et inapplicables en physique sont pourtant très utilisées en physique. Sinon on y verrait jamais apparaître de masses ponctuelles, d'intégrales. Considérer la matière comme continue a certes des limites, mais c'est quand même très fructeux.

[invited494020f]

Les considérations que tu trouves stériles et inapplicables en physique sont pourtant très utilisées en physique. Sinon on y verrait jamais apparaître de masses ponctuelles, d'intégrales. Considérer la matière comme continue a certes des limites, mais c'est quand même très fructeux.

Bonjour,
Merci du commentaire! Peux-tu me donner un exemple de masse ponctuelle, autrement dit, ses trois dimensions étant égales à zéro (masse spécifique infinie).
Pour ce qui est des intégrales, je ne vois pas. les intégrales indéfinies font la sommation d'une fonction entre deux limites indéfinies, donc créent une nouvelle fonction. Les définies font la sommation p. ex. Y*dx pour Y=f(x) entre deux limites x1 et x2. Ou est la continuité là-dedans? dx n'a pas besoin de tendre vers zéro pour donner un résultat acceptable justement dans un univers discontinu.

[invited494020f]

Bonjour,
En fouillant un peu sur Google, j'ai trouvé la "Longueur de Planck":

http://66.249.93.104/search?q=cache:...r&ct=clnk&cd=1

Avec les valeurs suivantes qui la définissent:
- la vitesse de la lumière dans le vide c= 299 792 458 = 3.10^8 m.s^-1
- la constante de Planck h = 6,6260693 10^-34 J.s = kg.m^2.s^-1
-la constante gravitationnelle G = 6,6742. 10^-11 kg^-1.m^3.s^-2
lp=1,61624 10^-35 m,
avec une erreur relative égale à 7,5×10^-5.
Est-ce que ce serait un pas vers l'espace discontinu?

[invite333943ff]

Où est la continuité là-dedans? dx n'a pas besoin de tendre vers zéro pour donner un résultat acceptable justement dans un univers discontinu.

Justement, il y a toute une branche des mathématiques qui traitent des problèmes de nature discrète. Dans ces cas, ils sont notés par le symbolisme du "delta" x; le "dx" réfère au domaine du continu.

[invited494020f]

Justement, il y a toute une branche des mathématiques qui traitent des problèmes de nature discrète. Dans ces cas, ils sont notés par le symbolisme du "delta" x; le "dx" réfère au domaine du continu.

Entièrement d'accord, mais je pense ne pas abuser en donnant à dx et dy le sens de "tendre vers la plus petite valeur possible" (p. ex. longueur de Planck?).
Je reprends: dans certains cas ça pourrait conduire à un résultat faux, 1/1 au lieu de 1,01/1 p. ex. Mais on peut imaginer des méthodes éliminant ce risque!

[invite333943ff]

Entièrement d'accord, mais je pense ne pas abuser en donnant à dx et dy le sens de "tendre vers la plus petite valeur possible" (p. ex. longueur de Planck?).

Non, il n'y a pas d'abus. De toute façon, le problème demeure plutôt théorique. Cette question des décimale de pi en cache un autre plus prosaique; celui de la précision des mesures. Nous sommes, dans notre imperfection, obligé de regarder ce monde étrange que nous révèle les mathématiques au travers de la fenêtre imparfaite de la physique; cette même physique qui fait le trie entre l'impossible et le possible. Par exemple, la longueur de Planck est une limite théorique que la physique nous impose aujourd'hui; c'est un peu le plus petit cadre de fenêtre qui puisse exister dans le monde réel. Pour en revenir au paradoxe du passage de l'infini à 0, ce paradoxe n'en est un que dans le monde irréel des mathématiques et pas dans le monde réel de la physique; nous ne sommes pas forcé de trouver une explication physique à un phénomène à jamais hors de notre champ d'observation.

Si tu procèdes différemment que moi, il n'est pas étonnant que tu arrives à un résultat différent, non? Ainsi tu ne fais que renforcer la validité du paradoxe signalé.

Mon procéder relève d'une tentative, un peu naïve, de trouver une manipulation à la fois mathématique et physique qui élimine ton paradoxe.

[invitea20bed5c]

Mon procéder relève d'une tentative, un peu naïve, de trouver une manipulation à la fois mathématique et physique qui élimine ton paradoxe.

Bonjour,
à mon avis le paradoxe apparait dès lors que l'on parle de point : mathématiquement un point est de dimension zéro, ce qui n'existe pas dans la "réalité" décrite par la physique.

[invité576543]

Entièrement d'accord, mais je pense ne pas abuser en donnant à dx et dy le sens de "tendre vers la plus petite valeur possible" (p. ex. longueur de Planck?).

Bonsoir,

La notion même de "plus petite valeur possible" est trop mal définie. Et la longueur de Planck n'a rien à voir avec une "plus petite longueur possible", elle définit juste un ordre de grandeur auquel la notion de longueur ne peut pas être la même chose qu'à notre échelle.

En physique la validité des calculs infinitésimaux est lié à mon sens à une certaine invariance d'échelle (au sens où les formules sont valables à différentes échelles) sur une gamme supérieure à la précision recherchée.

C'est l'apparition aux petites échelles de phénomènes non décrits par la formule qui définit "la plus petite valeur possible" d'un dx.

Par exemple, il est clair que des notions comme la pression et la température ne sont valables que pour les échelles suffisantes pour que la loi des grands nombres rende l'erreur statistique inférieure à la précision recherchée. Et on pourrait multiplier les exemples...

Vu comme ça, l'approximation par un réel, qui introduit toutes les bizarreries du continu, se justifie parce qu'on travaille sur beaucoup d'ordres de grandeur à la fois. Mais y voir de "vrais" réels ne serait nécessaire que si on travaillait sur une infinité d'ordres de grandeur, ce qui n'est jamais le cas.

Cordialement,

[invited494020f]

C'est l'apparition aux petites échelles de phénomènes non décrits par la formule qui définit "la plus petite valeur possible" d'un dx.

Bonjour,
D'accord sur le reste.
Par contre la "plus petite valeur" me turlupine un peu, à cause de son caractère aléatoire. Imaginons ce qui, dans un univers continu, s'appellerait "un plan". Dans un univers discontinu, il ne pourrait pas s'appeler ainsi, puisqu'il aurait des creux et des bosses en fonction de la "plus petite valeur". Par rapport à une courbe lisse tracée dans le plan continu, les points discrets d'un pseudo-courbe tracée dans le pseudo-plan présenteraient des écarts aléatoires par rapport aux points correspondants de la courbe continue. La conséquence en serait une "oscillation" aléatoire des pseudo-tangentes tracés en passant par deux points contigus le long de la ligne discontinue. Pour définir la tangente "la plus probable" on doit donc faire la moyenne (?) d'un groupe arbitraire de pseudo-tangentes, ou accepter la sorte de brouillard de pseudo-tangentes accompagnant la pseudo-courbe.
De même, pour l'intégration, dans y*dx, y serait aléatoire, à la "plus petite valeur" près et la valeur de la sommation obéirait aux règles concernant les grands nombres.
Ceci veut dire que si l'on pinaille, et il le faut, tous les résultats mathématiques obtenus par des calculs concernant un univers discontinu sont aléatoires et n'obéissent qu'aux lois de probabilité.
Tout en étant dérangeantes, ces constatations collent assez bien avec la MQ, non?
J'avoue qu'ayant des connaissances rudimentaires en MQ, je ne me sens pas très à l'aise dans ces réflexions et encore moins dans l'esquisse de maths destinées à la symbolisation d'univers discontinus!