Sur un autre fil, nous avons discuté de problèmes de calculabilité lorsqu'il y avait une "application numérique". Ceci nous conduit maintenant à examiner le calcul symbolique.
Par exemple :
si j'écris x = (racine(2)+1)*cos(pi/7), je manipule des réels sans pour autant accéder à leur valeur numérique. Les réels sont en fait représentés par des symboles et cela suffit pour effectuer un grand nombre de calculs dits "symboliques". Quel est le potentiel du calcul symbolique et quelles en sont les limites ? Et est-il possible d'établir des liens avec la calculabilité (ou la non calculabilité) de l'univers ?
Telles sont les questions que je propose d'ouvrir dans ce fil.

Citation Envoyé par spi100
Bon retour à la case départ.
Les théories mathématiques permettent via des systèmes formels de définir et de manipuler des quantités numériques et des fonctions qui ne sont pas calculables (aux sens donnée par les logiciens, matheux et informatcien).
Il va falloir s'accorder sur les termes utilisés, car il me semble qu'il y a ambiguité quand on dit "nombre réel" ou "quantité numérique". Fait-on allusion à sa représentation par un symbole (par exemple PI ou racine(2)) ou fait-on allusion à la valeur numérique, c'est à dire à une série éventuellement infinie de chiffres ?
Je suggère que nous utilisions le terme "représentation d'un réel" ou "symbole" pour désigner la représentation symbolique de ce réel et que nous utilisions le terme "réel" ou le "nombre réel" ou la "quantité numérique" pour désigner la série de chiffres.
Ainsi, on peut dire effectivement qu'il existe des systèmes formels permettant de manipuler des représentations symboliques de nombres réels, alors que ces réels ne sont pas calculables.
Il y a calculabilité avec la représentation symbolique, pas avec la valeur.

Citation Envoyé par spi100
Or position religieuse ou métaphysique particulière, ce sont les mathématiciens et les physiciens qui manipulent les systèmes formels pas les phénomènes naturels. Ces phénomènes naturels sont juste assimilés à des flux de nombres
Bonne remarque. Les physiciens passent toujours à un moment ou à un autre à une application numérique. Et si l'univers est continu, cette application numérique est supposée refléter une approximation
de nombres réels (avec tous les problèmes que cela génère comme on l'a vu sur l'autre fil). A priori, 3 issues possibles :
1) Les physiciens n'ont pas encore trouvé de cadre théorique permettant de faire uniquement des calculs symboliques. Actuellement, il semble qu'ils aient toujours besoin de faire intervenir des nombres réels (je n'ai pas dit "représentation", donc je fais allusion à la série de chiffres). Est-il possible de trouver un tel cadre théorique ?
2) Les nombres réels non rationnels n'existent pas dans la formule univers, l'univers est discret, pas continu, les physiciens doivent éliminer certaines de leurs théories ou les adapter. Du coup, le calcul symbolique avec représentation des nombres au lieu de leur valeur n'est plus un impératif, la "formule univers" devient calculable.
3) Il n'y a pas que du calcul symbolique dans la formule univers, il y a aussi des applications numériques avec des réels, sauf qu'il n'existe à l'heure actuelle aucun cadre mathématique permettant de comprendre comment cela est réalisé.

Qu'en pensez vous ?