Calculabilité, expression symbolique et formule univers

[invite06fcc10b]

Sur un autre fil, nous avons discuté de problèmes de calculabilité lorsqu'il y avait une "application numérique". Ceci nous conduit maintenant à examiner le calcul symbolique.
Par exemple :
si j'écris x = (racine(2)+1)*cos(pi/7), je manipule des réels sans pour autant accéder à leur valeur numérique. Les réels sont en fait représentés par des symboles et cela suffit pour effectuer un grand nombre de calculs dits "symboliques". Quel est le potentiel du calcul symbolique et quelles en sont les limites ? Et est-il possible d'établir des liens avec la calculabilité (ou la non calculabilité) de l'univers ?
Telles sont les questions que je propose d'ouvrir dans ce fil.

Bon retour à la case départ.
Les théories mathématiques permettent via des systèmes formels de définir et de manipuler des quantités numériques et des fonctions qui ne sont pas calculables (aux sens donnée par les logiciens, matheux et informatcien).

Il va falloir s'accorder sur les termes utilisés, car il me semble qu'il y a ambiguité quand on dit "nombre réel" ou "quantité numérique". Fait-on allusion à sa représentation par un symbole (par exemple PI ou racine(2)) ou fait-on allusion à la valeur numérique, c'est à dire à une série éventuellement infinie de chiffres ?
Je suggère que nous utilisions le terme "représentation d'un réel" ou "symbole" pour désigner la représentation symbolique de ce réel et que nous utilisions le terme "réel" ou le "nombre réel" ou la "quantité numérique" pour désigner la série de chiffres.
Ainsi, on peut dire effectivement qu'il existe des systèmes formels permettant de manipuler des représentations symboliques de nombres réels, alors que ces réels ne sont pas calculables.
Il y a calculabilité avec la représentation symbolique, pas avec la valeur.

Or position religieuse ou métaphysique particulière, ce sont les mathématiciens et les physiciens qui manipulent les systèmes formels pas les phénomènes naturels. Ces phénomènes naturels sont juste assimilés à des flux de nombres

Bonne remarque. Les physiciens passent toujours à un moment ou à un autre à une application numérique. Et si l'univers est continu, cette application numérique est supposée refléter une approximation
de nombres réels (avec tous les problèmes que cela génère comme on l'a vu sur l'autre fil). A priori, 3 issues possibles :
1) Les physiciens n'ont pas encore trouvé de cadre théorique permettant de faire uniquement des calculs symboliques. Actuellement, il semble qu'ils aient toujours besoin de faire intervenir des nombres réels (je n'ai pas dit "représentation", donc je fais allusion à la série de chiffres). Est-il possible de trouver un tel cadre théorique ?
2) Les nombres réels non rationnels n'existent pas dans la formule univers, l'univers est discret, pas continu, les physiciens doivent éliminer certaines de leurs théories ou les adapter. Du coup, le calcul symbolique avec représentation des nombres au lieu de leur valeur n'est plus un impératif, la "formule univers" devient calculable.
3) Il n'y a pas que du calcul symbolique dans la formule univers, il y a aussi des applications numériques avec des réels, sauf qu'il n'existe à l'heure actuelle aucun cadre mathématique permettant de comprendre comment cela est réalisé.

Qu'en pensez vous ?

[invite8915d466]

Il me semble qu'il faut distinguer le cadre purement mathématique, qui permet (si on accepte certains axiomes) de définir des nombres qui ne sont effectivement pas calculables : de toutes façons les nombres calculables forment un ensemble dénombrable donc de mesure nulle.

Le problème de la calculabilité de l'Univers physique est a mon avis plus grave que ce que tu crois. Ce n'est meme pas parce que les equations employées par les physiciens sont à base de fonctions analytiques réelles, c'est surtout parce que nous n'avons pas de théorie décrivant l'état de l'Univers tel "qu'il est" ! Nous ne savons simplement pas par quelles variables on peut décrire son état, parce que nous n'avons pas de théorie ultime.

[inviteb271042d]

Deux remarques :

1 ) Les physiciens, et les autres scientifiques, n'emploient pas uniquement des "séries de nombres".
De très nombreuses valeurs sont de nature analogiques, ( ex la tension en fonction de l'intensité d'un courant ).
Le passage à "une suite de nombres" constitue une approximation qui n'est pas du tout la représentation "exacte" du phénomène analysé.

2 ) En ce qui concerne l'Univers, je trouve toujours bizarre que l'on puisse envisager de le "calculer".
Pour une simple raison : nous faison partie de l'Univers. D'où la vieille question : une partie d'un ensemble peut elle connaitre l'ensemble du Tout.
Il est tout à fait possible qu'une fraction non négligeable de l'Univers ne soit pas du tout calculable ( cf Feymann )

[inviteb271042d]

Enfin concernant le calcul symbolique, est ce qu'il n'existe pas le lambda calcul qui permet de reconstituer (en théorie et avec beaucoup de patience ) l'ensemble des opérations mathématiques ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[spi100]

Enfin concernant le calcul symbolique, est ce qu'il n'existe pas le lambda calcul qui permet de reconstituer (en théorie et avec beaucoup de patience ) l'ensemble des opérations mathématiques ?

Le lambda calcul de church est équivalent au formalisme des machine de Turing. C'est d'ailleurs pour ça que l'on parle de la thèse de Church-Turing.
Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Lambda-calcul

[invite06fcc10b]

Deux remarques :

1 ) Les physiciens, et les autres scientifiques, n'emploient pas uniquement des "séries de nombres".

Une série de chiffres pour décrire un nombre tu veux dire ?

De très nombreuses valeurs sont de nature analogiques, ( ex la tension en fonction de l'intensité d'un courant ).
Le passage à "une suite de nombres" constitue une approximation qui n'est pas du tout la représentation "exacte" du phénomène analysé.

J'ai un peu de mal à comprendre ton idée. La tension en fonction d'un courant, c'est une fonction avec des paramètres que tu représentes par des symboles, donc on est dans le calcul symbolique. Ensuite, tu dis qu'il y a une application numérique qui n'est qu'une approximation. C'est exactement ce qu'a dit spi100 et que j'ai confirmé moi-même. La question est pourquoi est-on obligé de faire des approximations, n'y aurait-il pas moyen de rester dans le symbolique, quelle que soit la suite de calculs à effectuer ?

2 ) En ce qui concerne l'Univers, je trouve toujours bizarre que l'on puisse envisager de le "calculer".
Pour une simple raison : nous faison partie de l'Univers. D'où la vieille question : une partie d'un ensemble peut elle connaitre l'ensemble du Tout.

Il n'est pas question de calculer, mais de savoir s'il est calculable. Il n'est donc pas question de connaître, mais de ranger dans une catégorie (calculable) ou une autre (pas calculable). Nous-mêmes, nous sommes capables de nous analyser et de nous classer dans les grands ou les petits en définissant un seuil ? Et bien, c'est pareil, il n'y a aucun paradoxe caché derrière tout ça.

Il est tout à fait possible qu'une fraction non négligeable de l'Univers ne soit pas du tout calculable ( cf Feymann )

Si c'est le cas, alors l'univers n'est pas calculable.

[invite8c514936]

Je ne comprends pas la dernière phrase. Bien sûr que l'Univers n'est pas calculable, le verbe "calculer" s'applique à des formules, des expressions, pourquoi pas des théories. L'Univers n'est rien de tout ça, il faut faire attention de ne pas confondre une chose avec une des représentations qu'on essaie d'en faire.

"L'Univers n'est pas calculable" a autant de sens, pour moi, que "un canari n'est pas accordable à l'imparfait du subjonctif"...

[invite06fcc10b]

Je ne comprends pas la dernière phrase. Bien sûr que l'Univers n'est pas calculable, le verbe "calculer" s'applique à des formules, des expressions, pourquoi pas des théories. L'Univers n'est rien de tout ça, il faut faire attention de ne pas confondre une chose avec une des représentations qu'on essaie d'en faire.

???
Et pourquoi l'univers ne serait-il pas une formule, une expression, ou une théorie, alors que bon nombre des événements qui s'y déroulent semblent pouvoir être mis en équations qui sont calculées et vérifiées chaque jour par les physiciens ?
Confondre une chose avec sa représentation dis-tu ?
J'essaie de comprendre. Je vois bien une façon de penser qui pourrait te faire croire que la "chose" et sa représentation ne serait pas les mêmes, mais je n'arrive pas à y adhérer. C'est comme si on me disait que la résolution de l'équation du second degré que j'ai écrite sur mon cahier n'est qu'une fausse représentation de la vraie résolution écrite par le professeur.
Bien sûr, ce n'est qu'une mauvaise analogie, mais fondamentalement, l'univers ressemble à s'y méprendre à un traitement de l'information. Or, un traitement de l'information est abstrait, et une copie du traitement reste le même traitement.
C'est ma vision des choses ... mais je ne demande qu'à me tromper !

[invite8915d466]

Simplement, tu surestimes la "réalité" des lois physique. Les lois physiques te disent toutes "si je mesure ça et ça avec telle approximation, alors je dois troouver ça et ça en faisant telle autre mesure". Comme ça marche bien, il y a certainement une réalité derrière. Mais il y a toujours une frontière où on bute sur la définition exacte de cette réalité, pour le moment on n'a pas de théories exacte de l'univers comme un tout, et rien ne dit qu'on en aura une un jour. Dans l'état actuel, l'Univers n'est pas calculable exactement parce qu'il n'est pas représentable exactement.

[invited494020f]

fondamentalement, l'univers ressemble à s'y méprendre à un traitement de l'information.

Et cette phrase ressemble à s'y méprendre à l'expression d'une monomanie.

C'est ma vision des choses ... mais je ne demande qu'à me tromper !

Tu y réussis admirablement!

[invite06fcc10b]

Et cette phrase ressemble à s'y méprendre à l'expression d'une monomanie.

Apparemment, nous sommes beaucoup à avoir ce défaut. En particulier, il me semble que bon nombre d'informaticiens (mais pas qu'eux) ont un avis proche du mien.
Mais sinon, à part les critiques gratuites, as-tu le commencement d'un début d'argumentation pour justifier un avis contraire ?

[invitebf65f07b]

Confondre une chose avec sa représentation dis-tu ?
J'essaie de comprendre. Je vois bien une façon de penser qui pourrait te faire croire que la "chose" et sa représentation ne serait pas les mêmes, mais je n'arrive pas à y adhérer.

Tu es donc persuader que ta perception du monde te renvoit à sa "réalité propre" (si tant est qu'elle existe)?

Notre principal accès au monde est la vision. Nous voyons des objets, nous les voyons bouger, changer. Mais tu sais déjà que le mécanisme qui va de l'émission des photons à la production d'une image par notre cerveau est complexe.

Notre cerveau produit des concepts, la vache par exemple. Je vois une vache devant moi, je "l'identifie" : de l'image je discerne un objet, que je catégorise comme un animal, et plus précisément comme un vache.
Or c'est la première fois que je vois cette vache, pour reconnaître cet objet comme une vache, mon cerveau extrait certaines caractéristiques de ce que je vois, pour enfin le renvoyer au concept de "vache".

Ce faisant, j'élimine une grande partie de ce que je perçois pour lui donner un sens dans le cadre de mes représentations.

C'est ainsi que nous percevons le monde. D'abord la mise en branle de tout un mécanisme physico-chimique qui "amène" l'extérieur dans notre cerveau. Puis le cerveau lui donne un sens.
Notre catégorisation du monde s'élabore tout au long de notre vie, en particulier durant les premières années, de manière à former un ensemble "cohérent" et "satisfaisant".

"représentation=objet"?
Que dire alors des allucinations? des illusions d'optique? des tours de magie?
Et pire, que penser des anciens qui voyaient le ciel comme une sphère sur laquelle se promène les astres?

Nos repésentations actuelles auraient-elles un statut si particulier qu'elles seraient l'exacte réplique du réel?

[invite06fcc10b]

Tu es donc persuader que ta perception du monde te renvoit à sa "réalité propre" (si tant est qu'elle existe)?

Je ne comprends pas ce que la perception a à faire ici. Les physiciens tentent de modéliser le monde indépendamment de leur perception, non ? Les formules du style E=mc2 ne dépendent pas de notre perception. Certes, nous sommes peut-être dans Matrix, mais nous tentons de modéliser le monde indépendamment de notre représentation mentale de celui-ci. En fait peut-être parles-tu de représentation mentale ? Moi je parle de représentation mathématique indépendante de l'observateur.

"représentation=objet"?

Si la représentation est mathématique, oui.

Nos représentations actuelles auraient-elles un statut si particulier qu'elles seraient l'exacte réplique du réel?

Encore une fois, je parle de représentations mathématiques, je ne vois pas comment tu as pu croire que je parlais d'autre chose.

[invited494020f]

Je ne comprends pas ce que la perception a à faire ici. Les physiciens tentent de modéliser le monde indépendamment de leur perception, non ? Les formules du style E=mc2 ne dépendent pas de notre perception. Certes, nous sommes peut-être dans Matrix, mais nous tentons de modéliser le monde indépendamment de notre représentation mentale de celui-ci. En fait peut-être parles-tu de représentation mentale ? Moi je parle de représentation mathématique indépendante de l'observateur.

Bonjour, Ce n'est pas tellement que j'aie envie de discuter avec toi, mais il est difficile de dire plus de contrevérités dans un court paragraphe!
Sans perception du monde extérieur, même un être unicellulaire ne peut pas survivre. Comment peux-tu seulement imaginer que les physiciens essayent de modéliser le monde sans le percevoir, à l'aveuglette? Ils sont en permanence les yeux braqués sur leurs instruments. Ce n'est pas de la perception, ça? Comment Einstein aurait pu imaginer tout ce qu'il a imaginé, sans perception du monde?
Ta référence à Matrix et la conclusion que tu en tires, pardonne-moi, mais ça relève de la confusion mentale. Si nous tentions de faire ce que tu dis, nous serions bons pour l'asile! Tu parles de représentation mathématique indépendant de l'observateur. Alors dépendant de quoi?
Tout ça m'inquiète sérieusement à ton égard. Ce n'est plus une mise en boîte, c'est une inquiétude sérieuse! Le fait d'utiliser des mots que visiblement tu ne comprends pas est un symptôme ennuyeux.

[invite06fcc10b]

Sans perception du monde extérieur, même un être unicellulaire ne peut pas survivre. Comment peux-tu seulement imaginer que les physiciens essayent de modéliser le monde sans le percevoir, à l'aveuglette?

J'aimerais bien qu'on arrête de me prêter des idées que je n'ai pas.
Où ai-je dit qu'on pouvait modéliser le monde sans le percevoir ?
Ce que je dis, c'est que les modèles que les physiciens conçoivent sont mathématiquement indépendants de l'observateur. Je ne crois pas qu'il y ait 1 personne dans le forum qui conteste cette idée que je sâche ?
Mais précisons, on ne sait jamais, certains sont capables de sortir une interprétation tordue de mes dires !
Dans l'équation E=mc2, où est l'influence de l'observateur ? Mathématiquement, les équations des physiciens sont bien indépendantes de sa perception, non ? Pour qu'il y ait dépendance, il faut des variables qui expriment cette dépendance !
D'ailleurs, si le physicien meurt et qu'il ne peut plus rien percevoir, quel est l'impact de sa mort sur la formule qu'il a conçue ? Aucune !
Mais tout ça, tout le monde le sait, personne n'en discute, je ne comprends pas qu'on arrive polémiquer sur de telles trivialités.

Tout ça m'inquiète sérieusement à ton égard. Ce n'est plus une mise en boîte, c'est une inquiétude sérieuse! Le fait d'utiliser des mots que visiblement tu ne comprends pas est un symptôme ennuyeux.

Sans commentaire.

[invited494020f]

Ce que je dis, c'est que les modèles que les physiciens conçoivent sont mathématiquement indépendants de l'observateur. Je ne crois pas qu'il y ait 1 personne dans le forum qui conteste cette idée que je sâche ?

Si, moi! Je saute le reste, du même acabit.
Analysons cette phrase:
1/ Le travail des physiciens est d'observer, d'expérimenter et d'en déduire des expressions mathématiques.
2/ Il y a donc observation, expérimentation, déduction et représentation mathématique dans une succession obligatoire et toujours observée.
3/ La modélisation est l'application de cette représentation mathématique en vue de prévoir des événements à venir.
4/ La modélisation est donc le résultat du travail d'observation et d'expérimentation, suivis de leur traduction en langage mathématique.
5/ La phrase citée est donc un non-sens. CQFD.