La tête au carré (France-Inter)

[Médiat]

Bonjour,

Je viens de me réconciler avec cette émission (après le multivers ) : aujourd'hui il est question de mathématique (avec Stella Baruk, Sylvie Benzoni et Robin Jamet), et je viens d'entendre une phrase que j'ai (à peu près) écrite plusieurs fois ici : "Personne n'a jamais vu 27, ni même 3".

Et en plus sur le blog de Robin Jamet, je vois :

Histoire de lancer la discussion, une question stupide : Est-ce que vous voyez bien ce que veut dire « 27 » ? (j’ai fait exprès de ne pas prendre 42, l’exemple n’aurait pas été probant…)

Et il a aussi témoigné que, pour lui, une démonstration "concrète" est parfois moins parlante que la démonstration formelle, et j'ai exactement vécu cela quand un ami logicien m'a montré une démonstration du théorème de Cantor-Bernstein à l'aide d'un stade de foot : je n'ai rien compris ! et j'ai dû convoquer la démonstration formelle pour comprendre l'analogie.
-----

[invite9dc7b526]

Et cette semaine sur France culture à 6h du matin l'invité est Cécric Villani. On peut réécouter les trois premières émissions ici : http://www.franceculture.fr/personne...c-villani.html

[invite6ecbbd61]

Bonjour,

Juste histoire de comprendre de quoi on parle ... ça veut dire quoi "Personne n'a jamais vu 27, ni même 3".
Enfin, je veux dire, c'est quoi la pensée qu'il y a derrière cette phrase?

(Je ne veux pas lancer un débat sur le sujet, c'est juste histoire de comprendre. Car, je n'avais jamais eu l'occasion de voir cette phrase écrite ... je ne parcours pas assez le forum mathématique et épistémologie de FS )

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Cette phrase signifie qu'en mathématiques on manipule les représentations des objets et non les objets eux-mêmes. Quand j'effectue l'addition 7 + 23, j'utilise les symboles '7' et '23' qui représentent les quantités correspondantes. Je pourrais tout aussi bien écrire XXIII + VII, qui est une autre représentation de ces nombres (ou encore IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII + IIIIIII, mais cela devient peu pratique).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonsoir,

Pour compléter le point de vue de , qui est un point de vue plutôt platonicien, un formaliste aurait écrit :

en mathématiques on manipule des symboles, pas des objets (qui n'ont aucune raison "d'exister dans la vraie vie")

[invite6ecbbd61]

Merci pour vos explications à tous les deux!
Je comprends mieux la petite anecdote au pseudo de Paraboloide_Hyperbolique !

[invite9dc7b526]

Cette phrase signifie qu'en mathématiques on manipule les représentations des objets et non les objets eux-mêmes. Quand j'effectue l'addition 7 + 23, j'utilise les symboles '7' et '23' qui représentent les quantités correspondantes. Je pourrais tout aussi bien écrire XXIII + VII, qui est une autre représentation de ces nombres (ou encore IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII + IIIIIII, mais cela devient peu pratique).

ah tiens moi je comprenais la phrase à un autre niveau : les objets eux-mêmes, 7 et 23, sont des abstractions qui "résument" en quelque sorte tous les ensembles à 7 ou 23 éléments (ensembles pris dans un sens naïf, dont on pourrait dire qu'ils sont visibles). Et j'imagine que le sens profond de la phrase est qu'il n'y a pas de mathématiques concrètes et de mathématiques abstraites, puisque même quelque-chose d'aussi trivial (!) que le nombre 3 est une abstraction. Mais bon, je n'ai pas écouté l'émission, je ne connais pas le contexte.

[Médiat]

Bonjour,

Je reviens sur mon message précédent (que shmikkki a bien compris) et en particulier sur

Pour compléter le point de vue de

Si j'ai utilisé la formule d'un paraboloïde hyperbolique plutôt que d'utiliser le pseudo Paraboloide_Hyperbolique, c'était pour montrer que le langage courant aussi manipule des références et non des objets (*) (c'est aussi le cas d'autres formes de communication cf. le tablau de Magritte "Ceci n'est pas une pipe"), ce n'est donc pas une particularité des mathématiques ; ce qui les rend particulières, mais il s'agit ici d'un point de vue "philosophique" personnel et non d'une "vérité", c'est que pour les mathématiques, il n'y a pas d'objet, qui aurait une "vérité intrinsèque" qu'il faut révéler, caché derrière le symbole (**).

(*) Le langage courant pouvant parler de lui-même (court est court), on peut se demander si le langage ne manipule pas ici l'objet (la première occurence de "court"), mais cette vision des choses mène à un paradoxe (du type paradoxe de Russell) qui se lève facilement à l'aide de la notion de métalangage (à plusieurs niveaux), la bonne écriture de la phrase précédente serait alors ("court" est court), ce qui permet d'écrire ("long" est court) sans donner l'impression qu'on a écrit une idiotie patente, et dans ce cas "court" devient une référence sur l'objet du langage, ce qui est facile à mettre en évidence en disant que ("court" est court) peut aussi s'écrire ("le mot qui traduit short en français dans le dictionnaire Anglais--> Français du site www.reverso.net" est court), et là, il est clair que la partie entre guillemets est bien une référence (qui n'est pas courte).

(**) Un exemple de ce genre de débat est l'hypothèse du continu dont il est démontré qu'elle est indécidable dans ZFC (sous condition de consistance de celle-ci), démonstration due à Gödel (1938) et Cohen (1963), pour un formaliste, la question s'arrête là (je caricature un peu), pour certains platoniciens il faut encore chercher si elle est "vraie" ou "fausse" (cf. les travaux de Woodin, pour qui HC est "essentiellement fausse").

Je suis, évidemment, en accord avec J.L. Krivine :

Chercher à savoir si HC est vraie ou fausse relève de la discussion sur le sexe des anges

[invite6ecbbd61]

Merci encore pour ce complément d'information Médiat.
Je comprends bien qu'on manipule tous les jours des représentations et non des objets. Certes, mais en pensant à tout ça je me demande alors une question très simple:

Quant il est écrit "court" est court. Ne pourrait-on pas dire aussi que "court" est simplement la représentation d'un mot. Une sorte de représentation de représentation? Question surement stupide, mais si elle ne l'est pas je me demandais comment les logiciens s'en sortent pour ne pas tomber dans une sorte de "boucle infini de la représentation"?

[Médiat]

je me demandais comment les logiciens s'en sortent pour ne pas tomber dans une sorte de "boucle infini de la représentation"?

Bonjour,

Question TRES intéressante, et à répercussions assez générales !

Les logiciens n'hésitent pas à utiliser l'infini, ils font juste attention à ne pas tomber .

Par exemple pour la notion de métalangage à niveaux, on peut envisager les choses de la façon suivante :

"Court" est un mot du langage, il permet de qualifier des objets, par souci de simplification nous le noterons Court_0
"Court_1" est un mot du métalangage de niveau 1, c'est à dire du langage qui permet de parler du langage, par exemple en disant "Court_0 est Court_1"
"Court_2" est un mot du métalangage de niveau 2, c'est à dire du langage qui permet de parler du métalangage de niveau 1, par exemple en disant "Court_1 est Court_2"
...
"Court_n+1" est un mot du métalangage de niveau n+1, c'est à dire du langage qui permet de parler du métalangage de niveau n, par exemple en disant "Court_n est Court_n+1"
...


Je ne serais pas étonné que la phrase "Court_8768768768768768768 7687 est Court_87687687687687687687688" soit une phrase fausse .

Par contre, on ne "tombe pas dans l'infini", car quelque soit la phrase que vous voulez étudier et qualifier, elle ne peut contenir que des mots du métalangage au plus n, et donc on peut les qualifier avec des mots du métalangage de niveau (n+1), donc on reste toujours à un niveau fini (mais non borné).

De la même façon que vous savez faire toutes les additions de 2 nombres entiers quelconques sans "tomber dans l'infini".

[invite6ecbbd61]

Ces explications sont très claires, merci .

Mais du coup, une autre question me vient:
La phrase "personne n'a jamais vu 27" veut dire donc que "27" n'est qu'une représentation. Ok jusque là.
Mais, dire cela ne sous-entend-t'il pas qu'il y a donc un autre "monde", un monde des "choses", qui serait donc seulement accessible que par le biais de représentations? (Une sorte d'envers du miroir, pour paraphraser Lorentz dans on livre sur la théorie de la connaissance *).

De là, je me demande ... y a-t'il un moyen de différencier 27 pommes de 4 pommes si on n'a pas de représentation (dans le langage, mathématique ou pas) de ces quantités?

Ce qui amène à: Les choses existent-elles sans représentation d'elle même dans le langage?

(je me doute que cette question amène directement à la définition de c'est quoi "exister" ... je ne veux pas non plus faire trop dévier le topic)

Par exemple, peut-on dire que le neutron existait au Xeme siècle par exemple?
Je prends exprès l'exemple du neutron car au final, cet objet n'existe que par sa théorisation (non accessible aux sens. Enfin, disons que sa mesure est accessible, mais on retombe sur la théorie car une mesure n'est que la concrétisation de la théorie sous-jacente à l'instrument de mesure, pour reprendre un peu les idées de Duhem il me semble).

Désolé pour toutes ces questions ... je me doute qu'elles ont été abordées à de multiple reprises dans l'histoire de la pensée, mais ne connaissant par les auteurs en questions, je suis un parfait ignorant !

*: Très bon livre d'ailleurs! Je le recommande. Ça fait plaisir de voir des questions d’épistémologie et de théorie de la connaissance abordées avec l’œil d'un biologiste (car, il faut bien l'avouer, l'épistémologie a souvent été squatté par les physiciens )

[Médiat]

De là, je me demande ... y a-t'il un moyen de différencier 27 pommes de 4 pommes si on n'a pas de représentation (dans le langage, mathématique ou pas) de ces quantités?

Oui : vous prenez, en même temps, une pomme du premier tas de la main gauche et une pomme du deuxième tas dans la main droite, et les jetez derrière vous, vous vous apercevrez rapidement que vous ne pouvez plus poursuivre ce processus alors que l'un des tas contient encore des pommes (vous n'avez pas pu établir une bijection entre le tas de 27 pommes et le tas de 4 pommes).

[invite6ecbbd61]

Effectivement!
Du coup, en philosophie mathématique, si "27" n'est qu'une représentation d'un objet, alors qu'est-ce-que "27.3"?

Pour des objets non-séparables, y-a-t'il un sens de dire qu'on a 27.3 pommes? (pourtant cela peut être le résultat d'une équation portant sur des pommes).

Bref, la question générale est: Est-ce-que les chiffres entiers rationnels ont la même "nature philosophique" que les chiffres rationnels non-entiers?

[Médiat]

Est-ce-que les chiffres entiers rationnels ont la même "nature philosophique" que les chiffres rationnels non-entiers?

Aristote (par exemple) faisait bien la différence entre les nombres (quantités qui se comptent) et les grandeurs (quantités qui se mesurent).

[Amanuensis]

Bref, la question générale est: Est-ce-que les chiffres entiers rationnels ont la même "nature philosophique" que les chiffres rationnels non-entiers?

Mais en tant que symboles, c'est de même nature.

(Les "mathématique concrétisées en machines"—c'est à dire les ordinateurs—dans les modèles courants, ne gèrent que des symboles binaires. Une seule "nature". Pourtant, on les utilise pour prédire la météo ou pour prédire les performances d'un A380...)

[invite6ecbbd61]

Merci à vous deux pour vos compléments!
Cette phrase de "personne n'a jamais vu 27" est quand même riche de sens! (dit autrement: Beaucoup de questions se bousculent dans ma petite tête! )