Physique et nouveaux "Nombres"

[Médiat]

Bonjour,

Après avoir fait de très nombreuses recherches sur le net concernant les "Ensembles de Nombres" plus ou moins exotiques, j'ai eu l'impression (peut-être fausse) qu'assez peu de physiciens étaient très impliqués dans l'étude de ce type d'outils, impression confortée ici-même par le peu (voire l'absence) de réactions de physiciens concernant ce sujet (159 lectures d'un fil récent sur ce sujet, 0 réaction).


Bien sûr il y a des exceptions (David Hestenes, la famille Mironov, etc.), puisque ces nombres exotiques trouvent parfois leur source dans des considérations physiques (cas pour les Octons ou les Sédéons).

Pourtant certains ensembles de nombres permettent de formuler des lois physiques de façon qui semble mieux adaptés qu'avec d'autres, je cite un reviewer de la revue "International Journal of Theoretical Physics"^(*) :

Grace aux Octons, il est possible de formuler les équations de Maxwell-Proca et l'équation de Klein-Gordon de façon à la fois compacte et élégante.

Il me semblait, a priori, que la possibilité de formuler des équations de façon "à la fois compacte et élégante" aurait dû créer de l'intérêt (d'ailleurs je ne pense pas que beaucoup de physiciens seraient disposés à abandonner les nombres complexes).


Je comprends bien (et je n'ai pas de problème avec cela) que ces outils mathématiques ne sont que des mathématiques et non de la physique et qu'ils ne suscitent pas un enthousiasme comparable à celui que soulèverait une découverte vraiment physique, mais il me semble néanmoins qu'un "meilleur" outil devrait susciter plus d'intérêt.


Où me trompè-je ? L’importance de ces ensembles en physique est-elle plus forte que je ne le crois, l’attention que les physiciens leur porte est-il plus fort que je ne le crois, l’intérêt de ces reformulations (dont on peut imaginer que de nouvelles conséquences peuvent être inférées) est-il moins fort que je ne le crois ?

J'aimerais avoir le sentiment de physiciens (ou représentant de toute autre science utilisant fortement les mathématiques) concernant l'apparition de nouveaux "ensembles de nombres" pour formaliser leur travaux.

^(*) : Revue à comité de lecture publiée par Springer Verlag.
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[obi76]

Salut,

Je comprends bien (et je n'ai pas de problème avec cela) que ces outils mathématiques ne sont que des mathématiques et non de la physique et qu'ils ne suscitent pas un enthousiasme comparable à celui que soulèverait une découverte vraiment physique, mais il me semble néanmoins qu'un "meilleur" outil devrait susciter plus d'intérêt.

je rebondirai sur ce point en disant que dans des études de physique, on étudie majoritairement la physique et moins les maths. Pour certains ensembles que tu cite, il faut un niveau quand même non négligeable en math, qui se trouve être à la "traine" par rapport à la physique que l'on apprend... Les complexes on apprend ça en terminale, à la fac on bifurque directement sur les matrices, les opérateurs, les EDP et autre pour qu'on puisse rapidement être efficace sur des problèmes physique...

L'intérêt est bien présent, il suffit de voir les écritures selon les conventions d'Einstein et à quel point elles sont utilisés actuellement.

"Si" je savais manipuler ce type d'ensemble aussi bien que je manipule les ensembles de base, je les utiliserai certainement.

Un dernier point et pas des moindres (enfin pour ma part) : en analyse numérique, on bosse avec des flottants, des complexes et des entiers. Introduire ce type de nombre ne ferait que ralentir ce que l'on fait.

[WizardOfLinn]

Dans la pratique, lorsqu'il s'agit de mettre les mains dans le cambouis et de calculer pour de vrai, en effet, on en est le plus souvent réduit à utiliser un minuscule sous-ensemble de rationnels dyadiques (ces fameux flottants de la norme IEEE-754), qui n'est même pas "fermé" pour les opérations arithmétiques usuelles, ce qui nécessite toutes sortes de contorsions pour essayer de gérer des "erreurs d'arrondis".
Pour certains applications (géométrie algorithmique par exemple), cet ensemble est vraiment mal fichu.
J'ai essayé les nombres algébriques, c'est déjà un peu mieux pour la géométrie, mais il manque encore Pi.

[Médiat]

Bonjour,

Pour certains ensembles que tu cite, il faut un niveau quand même non négligeable en math

Justement non, le niveau nécessaire pour comprendre les octons ou les sédéons (et la majorité de ces ensembles de nombres) est très bas, si on a compris la construction des complexes, alors on ne peut que comprendre, à la première lecture la définition de ces ensembles.

"Si" je savais manipuler ce type d'ensemble aussi bien que je manipule les ensembles de base, je les utiliserai certainement.

1 heure pour comprendre la mathématique des Octons (le document "Octonic representation of electromagnetic Field equations" comprend 3 pages de mathématiques et 7 de physique)

Un dernier point et pas des moindres (enfin pour ma part) : en analyse numérique, on bosse avec des flottants, des complexes et des entiers. Introduire ce type de nombre ne ferait que ralentir ce que l'on fait.

Des bibliotèques de C++, Java, Mathlab, etc. existent pour beaucoup si ce n'est tous ces nouveaux ensembles (même s'il est clair que l'usage d'entiers est un facteur accélérant en informatique, on peut d'ailleurs s'y ramener, il existe des bibliothèques pour ce faire).

De plus, je ne connais aucun moyen plus précis, plus efficace, et plus facile à programmer que les Nombres Hyper-Duaux (mis au point par des physiciens/ingénieurs de l'aéronautique) pour calculer des dérivées n-ièmes

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Concernant le niveau, je te crois sans problème.

Des bibliotèques de C++, Java, Mathlab, etc. existent pour beaucoup si ce n'est tous ces nouveaux ensembles (même s'il est clair que l'usage d'entiers est un facteur accélérant en informatique, on peut d'ailleurs s'y ramener, il existe des bibliothèques pour ce faire).

On en est à un stade où le C++, le java, le python et matlab sont loin, très loin des performances que l'on cherche à avoir (et que l'on a).

De plus, je ne connais aucun moyen plus précis, plus efficace, et plus facile à programmer que les Nombres Hyper-Duaux (mis au point par des physiciens/ingénieurs de l'aéronautique) pour calculer des dérivées n-ièmes

Oui effectivement j'ai oublié l'espace de Fourier, très souvent utilisé. Mais ça pose d'autres soucis, notamment en cas de non-périodicité, de discontinuité etc...

[Médiat]

Dans la pratique, lorsqu'il s'agit de mettre les mains dans le cambouis et de calculer pour de vrai, en effet, on en est le plus souvent réduit à utiliser un minuscule sous-ensemble de rationnels dyadiques (ces fameux flottants de la norme IEEE-754).

Bonjour,

Nous sommes bien d'accord, d'ailleurs je défends depuis longtemps (là par exemple : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4963840) que conceptuellement parlant on peut faire toute la pratique physique avec un sous-ensemble fini de , une section finissante pour être précis (un ensemble de proto-nombres) ; je prépare en ce moment pour le document "Ensemble de Nombres" un chapitre théorique sur l'ensemble des nombre de l'informatique (plus informatique théorique que IEEE ) et leur arithmétique.

[Médiat]

On en est à un stade où le C++, le java, le python et matlab sont loin, très loin des performances que l'on cherche à avoir (et que l'on a).

Je citais ces langage car j'ai effectivement "vu" ces librairies, mais il n'y a aucune raison qu'elles n'existent pas en assembleur, et en n'utilisant que des entiers pour la performance.

Oui effectivement j'ai oublié l'espace de Fourier, très souvent utilisé. Mais ça pose d'autres soucis, notamment en cas de non-périodicité, de discontinuité etc...

Je ne pensais pas à Fourier, mais aux nombres hyper-duaux (chapitre IX-12 du document "Ensembles de Nombres", avec un exemple de calcul de la valeur d'une fonction, de sa dérivée première et seconde, dans un cas assez tordu)

[invite9dc7b526]

J'imagine que si les physiciens n'utilisent pas certains outils mathématiques c'est qu'ils n'en ont pas besoin. Je pense que dans la communauté des physiciens il y a des gens très au fait des mathématiques qui se font.

Sinon, est-ce que tu considères les anneaux de matrices comme des ensembles de "nombres"? Parce que le calcul matriciel est pas mal utilisé dans toutes les sciences.

[Médiat]

J'imagine que si les physiciens n'utilisent pas certains outils mathématiques c'est qu'ils n'en ont pas besoin. .

C'est bien le centre de mon interrogation, ces ensembles de nombres sont :
1) Conceptuellement très simples
2) Permettent l'écriture d'équations de façon élégante ou compacte (ce n'est pas moi qui le dit)
3) Souvent initiés par des physiciens

Donc je ne m'explique pas pourquoi ils semblent peu, voire pas, utilisés

Sinon, est-ce que tu considères les anneaux de matrices comme des ensembles de "nombres"? Parce que le calcul matriciel est pas mal utilisé dans toutes les sciences.

J'avais en tête les ensembles comme les algèbres hypercomplexes (la liste est assez grande), d'ailleurs les quaternions me semblent ne pas souffrir de cet ostracisme, les octonions un peu plus, les sédénions complètement ignorés (toujours "il me semble")

Les algèbres de Clifford sont, je crois, très utilisées, elles sont d'ailleurs plus compliquées, conceptuellement, que les ensembles de nombres auxquels je pense.

Je précise un peu mon ressenti : je n'ai jamais pensé que les physiciens n'utilisaient que les réels et les complexes, mais seulement qu'ils n'utilisaient pas tous les ensembles de nombres aujourd'hui disponibles (et toujours promu à un moment donné par des physiciens), et je me demande pourquoi (c'est peut-être que mon ressenti n'est pas justifié...).

[invite5e6af660]

hm, il doivent etre sacrément peu commun, voir franchement exotique... même pas une petite page sur wikipedia pour se faire une petite idée de à quoi peuvent bien correspondre ses fameux nombres si pratique et merveilleux...

rare tout de même de ne pas trouver un petit quelque chose sur cette encyclopedie...

quant à google... pff il n'en trouve une référence qu'a partir de la troisième page, après avoir élliminé gédeon(canard) et sederon(village)... pour octon c'est manifestement et seulement un village... je ne suis pas allé plus loin...

et là, c'est plus de la rareté, c'est presque de l'inexistence... merci d'avance pour le surplus d'infos si tu as le temps Média...(ils aurons au moins une ref sur futura science)

[obi76]

Je suis preneur aussi.

[Médiat]

C'est déjà sur FSG

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5018496
J'avais aussi mis un pointeur dans le forum Physique : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5018562

Mais j'aurais pu aussi citer :
Nombres duaux
Nombres Perplexes
Quaternions (très utilisés, je crois)
Quaternions hyperboliques
CoQuaternions
BiComplexes
Complexes Duaux
Hyper-Duaux (En dimension 4, 8 etc.)
Octonions
Octonions Fendus
BiQuaternions
BiQuaternions de Clifford
Quaternions Duaux
CoQuaternions Duaux
Sédénions
Sédénions Coniques
Trigintaduonions
Les multicomplexes

Tous ces ensembles sont décrits là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180, avec des références physiques à chaque fois.

[obi76]

Alors j'ai regardé vite fait, comment formaliser ça aux équations de Navier-Stokes (juste pour pouvoir faire un parallèle avec la physique) ? Comment le résoudre numériquement, si ce n'est en résolvant un vecteur contenant 8 composantes (sachant que ça on le fait déjà quand on raisonne en terme de flux) ?

[Médiat]

Tu as dû constater que la complexité est très faible.

Faut pas me poser de questions concernant la physique, la seule formule que je connaisse c'est Euh = mc³ aux erreurs de mesure près .

Sinon je ne pense pas que l'usage de ces ensembles "exotiques" est pour but de simplifier les calculs, mais plutôt la formulation et (inférence personnelle) permettre d'utiliser les propriétés spécifiques de ces ensembles (par exemple, le fait de pouvoir écrire une équation dans un ensemble avec des diviseurs de 0 doit permettre de "dire" des choses (que l'expérience doit confirmer, mais ce n'est pas le débat ici) quand un des facteurs est un diviseur de 0).

[CM63]

Bonjour,

Mais j'aurais pu aussi citer :
Nombres duaux
Nombres Perplexes
Quaternions (très utilisés, je crois)
Quaternions hyperboliques
CoQuaternions
BiComplexes
Complexes Duaux
Hyper-Duaux (En dimension 4, 8 etc.)
Octonions
Octonions Fendus
BiQuaternions
BiQuaternions de Clifford
Quaternions Duaux
CoQuaternions Duaux
Sédénions
Sédénions Coniques
Trigintaduonions
Les multicomplexes

A chaque fois qu'on invente des nouveaux nombres, on perd des propriétés, par exemple avec les quaternions on perd la commutativité de la multiplication, alors avec tous ces nombres, ci-dessus, j'imagine qu'il ne reste plus rien comme propriétés

Sinon, oui, les quaternions sont très utilisés dans les logiciels de jeux vidéo, il entraînent moins d'erreurs numériques que les calculs matriciels.

A plus

[obi76]

Ben en général ce qu'on fait (de manière simpliste) : on définit un vecteur, par exemple, de 5 variables (masse volumique, quantité de mouvement et énergie), une Jacobienne, et en une ligne on écrit la reformulation de NS, et sa résolution ne revient qu'à un produit d'une matrice et d'un vecteur (localement).

Après pour aller plus loin, il faudrait qu'on creuse un peu pour voir dans quel(s) domaines ça serai utilisable, et comment l'utiliser. Je veux bien faire un test d'implémentation, pour voir si c'est plus simple...

[Médiat]

Bonjour,

A chaque fois qu'on invente des nouveaux nombres, on perd des propriétés, par exemple avec les quaternions on perd la commutativité de la multiplication

C'est un peu brutal comme affirmation, on peut tout à fait concevoir une algèbre associative et commutative en toutes les dimensions, le théorème auquel vous pensez est sans doute le théorème de Hurwitz ou une de ses variantes (Zorn par exemple), je vous renvoie au chapitre VI.1.3 du document cité pour plus de détails.

[Médiat]

Après pour aller plus loin, il faudrait qu'on creuse un peu pour voir dans quel(s) domaines ça serai utilisable, et comment l'utiliser. Je veux bien faire un test d'implémentation, pour voir si c'est plus simple...

Si tu parles bien des Octons ou des Sédéons, tu peux très facilement prendre contact avec V. Mironov (en anglais), je l'ai fait, il est très sympa et m'a répondu en moins de 24 heures.

[obi76]

Certes mais bon avant de me lancer là dedans, j'aimerai savoir si oui ou non ça pourrait être utile ou pas (c'est bien ça la question initiale )

[CM63]

Bonjour,

C'est un peu brutal comme affirmation...

Oui, bien sûr, je plaisantais, certes on perd certaines propriétés, mais on en gagne d'autres.

A plus.

[invite9dc7b526]

Si ces nombres exotiques trouvent leur chemin vers la physique, ça risque de ne pas être du côté des problèmes numériques comme Navier-Stokes, mais plutôt chez les théoriciens, non?

[invitedd63ac7a]

Je dirai, grossièrement, qu'il y a des mathématiques pour physiciens (analyse fonctionnelle, algèbre linéaire, intégration) qui ont souvent été crées et/ou développées par les physiciens eux-même.
Il y a les mathématiques pour les mathématiciens (théorie des ensemble, arithmétique et théorie des nombres) crées par des mathématiciens et dont les applications physiques restent très modestes, voire inexistantes.
On peut alors se demander s'il n'y a pas un peu dans la volonté de vouloir, coute que coute, utiliser en physique certains concepts mathématiques remarquables des fantasmes de mathématiciens :
les complexes étant très utilisés en physiques les hypercomplexes qui les contiennent et dont les propriétés apparaissent aux mathématiciens tout à fait étonnantes ne pourraient-ils pas avoir une grande utilité en physiques à l'image de leurs belles propriétés ?
C'est une idée qu'on retrouve tout au long du 19e siècle avec les fonctions elliptiques qui généralisaient de façon étonnante les fonctions trigonométriques très utilisées en physique : en fait, leur utilisation en physique est restée jusqu'à aujourd'hui modeste ?

[Médiat]

minushabens : oui, définitivement, et peut éventuellement s'envisager dans des programmes informatiques

eudea-panjclinne : justement, un certain nombres des ensembles de nombres que j'ai cité ont été mis au point par des physiciens, et TOUS ont été utilisé par des physiciens.

[invitedd63ac7a]

Oui, bien sûr, tous ont été utilisés un jour par des physiciens, mais est-ce que ces utilisations ne restent pas anecdotiques, voir originales ?
Avez-vous des exemples où aujourd’hui ces nombres se sont révélés indispensable ?
Prenez par exemple les distributions, leur utilisation à révolutionné les mathématiques de la mécanique quantique au point qu'on ne pourraient rien justifier sans cette notion. Par contre, Il existe des travaux (1993, Eugène Brumberg) sur le développement du mouvement elliptique basé sur des fonctions elliptiques, mais cela reste anecdotique... pour l'instant.

[Médiat]

Avez-vous des exemples où aujourd’hui ces nombres se sont révélés indispensable ?

Ben non, puisque c'est une partie de ma question !

[CM63]

Bonsoir,

Beaucoup des nombres que tu as cités sont (peut-être pas "largement" mais) utilisés par les physiciens, ont des applications en physique ou en simulation 3D par exemple (pour ce qui concerne les quaternions), je pense que c'est le cas de tous les nombres qui sont plus ou moins une généralisation des nombres complexes. Mais en revanche moi je me pose la question à propos des nombres p-adiques, y a-t-il des applications physiques de ces nombres?

A plus

[CM63]

En revanche les mathématiciens n'ont jamais daigner s’intéresser aux nombres utilisés sur ordinateurs (les nombres "flottants") , ils n'ont jamais bati de théorie sérieuse de ces nombres, ce sont les numériciens qui s'y sont collés, et ce ne sont pas des lumières de théorie mathématique (je suis méchant ).

[Médiat]

Oui pour les p-adiques: Topological GeometroDynamics (TGD) et d'autres, des références sont disponibles dans le même document déjà cité.

[Médiat]

En revanche les mathématiciens n'ont jamais daigner s’intéresser aux nombres utilisés sur ordinateurs (les nombres "flottants") , ils n'ont jamais bati de théorie sérieuse de ces nombres, ce sont les numériciens qui s'y sont collés, et ce ne sont pas des lumières de théorie mathématique (je suis méchant ).

C'est Faux, il suffit de faire une recherche sur "Effective Real Numbers", "interval arithmetic", Haar interval etc, ou plus généralement les Dyadiques (je prépare un chapitre sur ce sujet)

[CM63]

Ok, merci pour le renseignement , je vais regarder cela.