L'arithmétique sur les entiers est-elle une science expérimentale ?

[Qui]

Bonjour,

Une science expérimentale est une science où des expériences sont indispensables pour augmenter le savoir sur l'objet étudier.
Une expérience est une procédure sur l'objet étudier dont la conclusion est incertaine.

Merci.
-----

[Qui]

Plutôt ...... :

Une science expérimentale est une science où des expériences sont indispensables pour augmenter le savoir sur l'objet étudier.
Une expérience est une procédure sur l'objet étudier dont la conclusion n'est pas déductible à partir du savoir déjà connu.

[Qui]

Bonjour,

Pour ma part il me semble que c'est effectivement une science expérimentale, si tous les lecteurs sont d'accord alors on peut dire que la question à trouver sa réponse.

Merci.

[minushabens]

En suivant ta définition d'une science expérimentale : "expériences indispensables" je dirais non : expérimenter n'est pas indispensable en arithmétique. Maintenant, beaucoup d'arithméticiens "bricolent" avec de petits nombres pour essayer de deviner des théorèmes généraux. Il semble qu'Euler avait appris par coeur la table de multiplication jusqu'à 100x100, ainsi que des tables de carrés, cubes et autres puissances, de façon à pouvoir reconnaître certains nombres s'il les rencontrait au détour d'une équation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Qui]

En suivant ta définition d'une science expérimentale : "expériences indispensables" je dirais non : expérimenter n'est pas indispensable en arithmétique. Maintenant, beaucoup d'arithméticiens "bricolent" avec de petits nombres pour essayer de deviner des théorèmes généraux. Il semble qu'Euler avait appris par coeur la table de multiplication jusqu'à 100x100, ainsi que des tables de carrés, cubes et autres puissances, de façon à pouvoir reconnaître certains nombres s'il les rencontrait au détour d'une équation.

Tu veux dire que toute propriété des entiers est déductibles du savoir que l'on a déjà sur les entiers ?

[Deedee81]

Salut,

Tu veux dire que toute propriété des entiers est déductibles du savoir que l'on a déjà sur les entiers ?

Amha non, car pas mal de démonstrations font appel à l'analyse et à divers domaines des mathématiques.

[Qui]

Salut,



Amha non, car pas mal de démonstrations font appel à l'analyse et à divers domaines des mathématiques.

Bonjour,

Si on intègre l'ensemble des mathématiques comme faisant partie du savoir connue sur les entiers, alors toutes propriétés sur les entiers deviendrait-elle ainsi déductible ?

[pm42]

Amha non, car pas mal de démonstrations font appel à l'analyse et à divers domaines des mathématiques.

Oui mais on peut construire presque tout à partir des axiomes ZFC par ex. Après, on pourrait aussi discuter de savoir si les maths sont une science déjà.

[Deedee81]

Oui mais on peut construire presque tout à partir des axiomes ZFC par ex.

En effet. Je n'y avais pas pensé. Ca rejoint la remarque précédente de Qui (que je n'avais pas bien compris au premier abord).

Tout dépend un peu de ce qu'on veut dire par "le savoir que l'on a déjà sur les entiers".

Tu dis "presque tout". Tu as un semble de démonstration qui ne peut pas se construire à partir des axiomes de ZFC ?
Peut-être les quelques trucs indécidables en ZFC ?

Après, on pourrait aussi discuter de savoir si les maths sont une science déjà.

Oui, en effet. Ca ne répond pas à la Méthode Scientifique. Et plusieurs mathématiciens m'ont déjà objecté que les mathématiques ne sont pas une science stricto sensus.
Mais là aussi je me demande si le terme "science" n'est pas quelque peu polysémique. Si l'on lit la définition "sens restreint" donné dans Wikipedia, les mathématiques seraient bien une science. Ils citent d'ailleurs les mathématiques comme exemple de science.

Tout ça c'est plus des questions de vocabulaire que des questions.... scientifiques

[pm42]

Tu dis "presque tout". Tu as un semble de démonstration qui ne peut pas se construire à partir des axiomes de ZFC ?
Peut-être les quelques trucs indécidables en ZFC ?

Non, rien ne me vient à l'esprit mais comme je suis loin de tout savoir dans ce domaine, je laisse la porte ouverte au doute. Ou à quelqu'un qui va me corriger.

Ca ne répond pas à la Méthode Scientifique. Et plusieurs mathématiciens m'ont déjà objecté que les mathématiques ne sont pas une science stricto sensus.
Mais là aussi je me demande si le terme "science" n'est pas quelque peu polysémique. Si l'on lit la définition "sens restreint" donné dans Wikipedia, les mathématiques seraient bien une science. Ils citent d'ailleurs les mathématiques comme exemple de science.

Oui, j'ai vu aussi ça dans Wikipedia mais je connaissais aussi la définition : "les mathématiques ne sont pas une science mais l'outil utilisé par les sciences". Ce qu'une de mes profs exprimait plus joliment par : "les maths, c'est de la poésie pure".

C'est clairement une question de vocabulaire mais en maths, on peut en effet inventer n'importe quoi pourvu que ce soit cohérent dans le système d'axiome qu'on s'est donné, on peut choisir parmi plusieurs systèmes d'axiome et on n'a pas à se confronter à une expérience, une réalité, etc.
Et on n'a pas besoin de reproductibilité au sens habituel, la validation d'une démonstration peut être faite par ordinateur. On est vraiment loin de la physique, la plus mathématique des sciences pourtant.

[Qui]

Mais que faîtes vous du fameux théorème d'incomplétude de Gödel, les propositions indécidables seraient-elles toutes des objets de foires que l'on montrerait juste pour dire que cela existe, mais n'ayant aucun impact sur le savoir de l’arithmétique qui pourrait donc être considéré comme clos pour toute les questions intéressantes ?

[pm42]

Mais que faîtes vous du fameux théorème d'incomplétude de Gödel, les propositions indécidables seraient-elles toutes des objets de foires que l'on montrerait juste pour dire que cela existe, mais n'ayant aucun impact sur le savoir de l’arithmétique qui pourrait donc être considéré comme clos pour toute les questions intéressantes ?

La question était de savoir si on peut tout dériver à partir des entiers. Tout dépend de ce qu'on entend par là mais de mon coté, j'ai supposé Gödel connu et donc qu'on ne parlait que de ce qui est décidable.
Pour aller plus loin, il faudrait déjà préciser dans quel système d'axiomes on travaille : ZF, ZFC ou l'une des nombreuses extensions ?
Même si au final, il restera toujours des indécidables bien sur.

[Médiat]

Bonjour,

les propositions indécidables seraient-elles toutes des objets de foires que l'on montrerait juste pour dire que cela existe, mais n'ayant aucun impact sur le savoir de l’arithmétique

Clairement non, ne serait-ce que l'exemple des suites de Goodstein.

[Deedee81]

Clairement non, ne serait-ce que l'exemple des suites de Goodstein.

Tiens, je pensais justement au problème de l'hydre et de Hercules, qui se résout avec les suites de Goldstein.
Il y avait un magnifique article sur le net sur ce problème, mais il devenu introuvable
(il doit être en accès libre dans un dans anciennes rubriques logique et calcul de Delahaye dans Pour La Science. Mais celui que j'avais lu sur le net était une merveille de clarté).

[PlaneteF]

Bonjour,

Mais que faîtes vous du fameux théorème d'incomplétude de Gödel, les propositions indécidables seraient-elles toutes des objets de foires que l'on montrerait juste pour dire que cela existe, mais n'ayant aucun impact sur le savoir de l’arithmétique qui pourrait donc être considéré comme clos pour toute les questions intéressantes ?

Une remarque :

La quasi totalité des propositions indécidables n'a pas de rapport avec les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Pour une théorie donnée qui remplie les bonnes conditions, le premier théorème construit un et un seul indécidable qui n'a d'ailleurs aucune signification arithmétique en tant que telle, et le second théorème lui adresse une seule propriété concernant la cohérence de cette théorie. C'est tout ! ... Si l'on prend par exemple les suites de Goodstein mentionnées par Médiat, et bien l'indécidabilité en question est donnée par le théorème de Kirby et Paris.

En fait les théorèmes d'incomplétude ne disent pratiquement rien sur l'incomplétude en général (cela fait partie des nombreux pièges de vocabulaire que l'on peut trouver dans ce domaine).

Cordialement

[Médiat]

Peut-être : http://www.labri.fr/perso/casteran/SIESTE.pdf

[PlaneteF]

Une remarque :

La quasi totalité des propositions indécidables n'a pas de rapport avec les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Pour une théorie donnée qui remplie les bonnes conditions, le premier théorème construit un et un seul indécidable qui n'a d'ailleurs aucune signification arithmétique en tant que telle, et le second théorème lui adresse une seule propriété concernant la cohérence de cette théorie. C'est tout ! ... Si l'on prend par exemple les suites de Goodstein mentionnées par Médiat, et bien l'indécidabilité en question est donnée par le théorème de Kirby et Paris.

En fait les théorèmes d'incomplétude ne disent pratiquement rien sur l'incomplétude en général (cela fait partie des nombreux pièges de vocabulaire que l'on peut trouver dans ce domaine).

... et je complète sur l'idée du vocabulaire trompeur, c'est même le théorème de complétude (encore lui ) qui donne un résultat fondamental sur l'incomplétude ! ... On peut dire qu'au niveau terminologie c'est quand même un sacré comble !


Cdt

[Qui]

Peut-être : http://www.labri.fr/perso/casteran/SIESTE.pdf

Théorème de l'hydre : Quelles que soient les stratégies (récursives) d’Hercule
(choix d’une tête) et de l’Hydre (nombre de réplications), Hercule
finit par gagner (voir Kirby et Paris).

Cela me paraît faux en effet l'hydre pourrait choisir la stratégie suivante, se répliquer pour toujours garder le nombre de tête >=2.

Raisonnement par récurrence : P(n)=(au n eme coup d'épée d'Hercule le nombre de tête d'hydre est plus grand que 2).
P(0) vrai (on fait l'hypothèse que l'on part avec 2 tête d'hydre).
Supposons que l'on a au moins 2 têtes d'hydre, alors quand Hercule en coupe une il en reste au moins une, on choisis de répliquer la tête 2 fois pour que le nombre totale de tête soit plus grand ou égale à 2.
Donc P(n)->P(n+1).

D'où par récurrence pour tout n P(n), donc jamais Hercule ne gagne.

Où est mon erreur ?

[Médiat]

Bonjour,

La réplication a lieu au niveau de la tête coupée - 1, si on coupe une tête au niveau 0, aucune tête ne repousse et la récurrence est "cassée".

[Qui]

Bonjour, (oubli de ma part)

Bonjour,

La réplication a lieu au niveau de la tête coupée - 1, si on coupe une tête au niveau 0, aucune tête ne repousse et la récurrence est "cassée".

Si on fait, en plus, l'hypothèse d'un Hercule maladroit qui ne coupe que des têtes de niveaux supérieure, ou bien une fois qu'une tête est coupé les têtes répliquées ont leurs niveau qui est baissé et alors on comprend mieux pourquoi Hercule va gagner à tout les coups ?

[Qui]

Je voulais écrire :

Si on fait, en plus, l'hypothèse d'un Hercule maladroit qui ne coupe que des têtes de niveaux supérieure, ou bien une fois qu'une tête est coupé les têtes répliquées ont leurs niveau qui est systématiquement baissé et alors on comprend mieux pourquoi Hercule va gagner à tout les coups ?

[Qui]

Théorème de l'hydre : Quelles que soient les stratégies (récursives) d’Hercule
(choix d’une tête) et de l’Hydre (nombre de réplications), Hercule
finit par gagner (voir Kirby et Paris).

Existe-t-il des stratégies non récursives ou Hercule perd ?
C'est à dire qu'en choisissant une tête au hasard il n'est pas sûr de gagner.

[Deedee81]

Salut,

Existe-t-il des stratégies non récursives ou Hercule perd ?
C'est à dire qu'en choisissant une tête au hasard il n'est pas sûr de gagner.

Faudrait (re)trouver un lien sur ce problème mais si ma mémoire est bonne Hercules gagne à tous les coups, quel que soit sa stratégie (y compris au hasard) ce qui est vachement troublant au premier abord quand on lit l'énoncé.

[Qui]

Bonjour,

Pour structurer le sujet :

L'arithmétique serait bien une science expérimentale, car on a besoin de l'ordinateur pour tester la pertinence d'une conjecture et que l'on ne pourrait pas déduire forcément du savoir mathématiques disponibles au moment de la formulation de la conjecture (à cause de la possibilité que cela soit un indécidable), sauf si la plus part des propositions indécidables ne sont pas digne d’intérêt arithmétique.

Donc le sujet deviens alors : la plus part des propositions indécidables sont-elles d'un intérêt arithmétique ?

Il y a les suites de Goodstein dont on ne peut prouver à l'aide des axiomes de Peano qu'elles sont constantes au bout d'un certain rang, mais pourtant on peut le prouver à l'aide d'une mesure dont on démontre qu'elle décroit forcément en tendant vers 0, raisonnement assez classique en mathématiques, donc cela n'est pas vraiment un indécidable sur l'ensemble du savoir mathématique.

D'où la question : existe-t-il des indécidables intéressant sur les entiers pour l'ensemble du savoir mathématiques ?

[Médiat]

Bonjour,

Il n'y a pas vraiment de réponse à votre question, puisque toute formule indécidable devient un théorème dès que l'on ajoute un axiome bien choisi.

[Deedee81]

Salut,

L'arithmétique serait bien une science expérimentale, car on a besoin de l'ordinateur pour tester la pertinence d'une conjecture et que l'on ne pourrait pas déduire forcément du savoir mathématiques disponibles au moment de la formulation de la conjecture (à cause de la possibilité que cela soit un indécidable), sauf si la plus part des propositions indécidables ne sont pas digne d’intérêt arithmétique.

Pas (entièrement) d'accord, pour deux raisons :
- l'utilisation de l'ordinateur ne se limite pas à l'arithmétique (pensons à la conjecture de Kepler, au théorème des trois couleurs) et toute recherche en arithmétique n'utilise pas nécessairement l'ordinateur. Même si le domaine s'y prête assez bien.
- dans le cas des propositions indécidables que tu évoques d'une part le caractère indécidable se démontre (et je n'ai pas connaissance d'une telle démonstration faite par ordinateur) et d'autre part, on peut rajouter la proposition ou sa négation comme axiome à ceux déjà utilisés. Le choix est totalement arbitraire. Et donc l'ordinateur ne saurait pas là non plus décider à notre place !

Donc le sujet deviens alors : la plus part des propositions indécidables sont-elles d'un intérêt arithmétique ?

Là, la réponse est clairement non. D'ailleurs, à une époque on pensait que les propositions indécidables étaient toutes sans intérêt (ce qui est tout de même un peu étrange, car à l'époque on savait déjà que l'axiome des parallèles est indécidables à partir des autres axiomes d'Euclide. Et c'est très très très loin d'être sans intérêt : l'axiome et sa négation sont très important puisque cela donne la géométrie d'Euclide et les géométries non euclidiennes respectivement).

D'où la question : existe-t-il des indécidables intéressant sur les entiers pour l'ensemble du savoir mathématiques ?

En utilisant tous les axiomes connus et utilisés ? Je ne sais pas. Il se peut que certaines conjectures actuelles soient indécidables. Mais il faut d'abord le démontrer. Et lorsque ce sera fait, il y a fort à parier qu'on enrichira les axiomes et donc que cet indécidable disparaitra. Les mathématiciens n'aiment pas être indécis (jeu de mot volontaire ).

EDIT croisement avec Médiat sur le dernier point

[Qui]

3/Oui effectivement j'ai mal posé ma question, qui est plus tôt :
A-t-il existé, distant de moins d'un siècle de nous, des propositions indécidables en arithmétiques pour le savoir mathématiques contemporains à la proposition ?

1/Pas (entièrement) d'accord, pour deux raisons :
- l'utilisation de l'ordinateur ne se limite pas à l'arithmétique (pensons à la conjecture de Kepler, au théorème des trois couleurs) et toute recherche en arithmétique n'utilise pas nécessairement l'ordinateur. Même si le domaine s'y prête assez bien.
- dans le cas des propositions indécidables que tu évoques d'une part le caractère indécidable se démontre (et je n'ai pas connaissance d'une telle démonstration faite par ordinateur) et d'autre part, on peut rajouter la proposition ou sa négation comme axiome à ceux déjà utilisés. Le choix est totalement arbitraire. Et donc l'ordinateur ne saurait pas là non plus décider à notre place !



2/Là, la réponse est clairement non. D'ailleurs, à une époque on pensait que les propositions indécidables étaient toutes sans intérêt (ce qui est tout de même un peu étrange, car à l'époque on savait déjà que l'axiome des parallèles est indécidables à partir des autres axiomes d'Euclide. Et c'est très très très loin d'être sans intérêt : l'axiome et sa négation sont très important puisque cela donne la géométrie d'Euclide et les géométries non euclidiennes respectivement).



3/En utilisant tous les axiomes connus et utilisés ? Je ne sais pas. Il se peut que certaines conjectures actuelles soient indécidables. Mais il faut d'abord le démontrer. Et lorsque ce sera fait, il y a fort à parier qu'on enrichira les axiomes et donc que cet indécidable disparaitra. Les mathématiciens n'aiment pas être indécis (jeu de mot volontaire ).

1/Je ne parle pas d'aide à la démonstration, mais d'aide à le conjecture (pour les ordinateurs).

2/Tout à fait, mais ici on parle de l'arithmétique sur les entiers et jusqu'à preuve du contraire il n'existe qu'un seul type d'entier (pour compter les cailloux par exemple).

3/^^^

[Deedee81]

A-t-il existé, distant de moins d'un siècle de nous, des propositions indécidables en arithmétiques pour le savoir mathématiques contemporains à la proposition ?

Oui, l'axiome du choix et la puissance du continu.
Bon, c'est pas vraiment l'arithmétique, mais c'est utilisé aussi dans ce cadre.
Y en a probablement d'autres.

Pour des cas sur spécifiquement les entiers, je n'en connais pas. Mais là aussi ça reste à vérifier. D'autant que certaines démonstrations sur les entiers utilisent des branches des mathématiques qui en sont fort éloigné (comme les intégrales elliptiques par exemple). Pensons à la démonstration du théorème de Fermat.

1/Je ne parle pas d'aide à la démonstration, mais d'aide à le conjecture (pour les ordinateurs).

Oui, dans ce cas, c'est clair. Il y a beaucoup de recherche expérimentale. La conjecture de Syracuse a par exemple été triturée à mort sur ordinateur.

J'ai même lu un cas très sympa.
Des mathématiciens cherchaient le centre de gravité de l'ensemble fractal de Mendelbrot.
Ils ont calculé les coordonnées par ordinateur puis utilisé l'inverseur de Simon Ploufe.
Résultat : c'est la combinaison de deux constantes de Feigenbaum .
Comme c'est justement des grandeurs intervenant en théorie du chaos et donc les fractales, le résultat est très plausible.
...... reste à le démontrer

[Qui]

Oui, l'axiome du choix et la puissance du continu.
Bon, c'est pas vraiment l'arithmétique, mais c'est utilisé aussi dans ce cadre.
Y en a probablement d'autres.

Pour des cas sur spécifiquement les entiers, je n'en connais pas. Mais là aussi ça reste à vérifier. D'autant que certaines démonstrations sur les entiers utilisent des branches des mathématiques qui en sont fort éloigné (comme les intégrales elliptiques par exemple). Pensons à la démonstration du théorème de Fermat.

Cela me fait penser à une réflexion que j'avais eu : toute théorie mathématiques posséderait une trace sur l’arithmétique des entiers, dit autrement toutes découvertes mathématiques seraient traduisibles en des résultats dans l'arithmétique.

Sinon, que l'on suppose la puissance du continu ou non cela change-t-il les entiers ?

[Deedee81]

Sinon, que l'on suppose la puissance du continu ou non cela change-t-il les entiers ?

Ca ne changera pas les entiers (Peano c'est du béton armé) mais ça peut changer certaines démonstrations (je n'en ai pas en tête).

Il y a sur internet des listes fort longues de propositions strictement équivalentes à la puissance du continu ou à l'axiome du choix.
Doit y avoir des trucs sur les entiers là dedans ou en lien avec ceux-ci. En tout cas, il doit y avoir moyen d'y faire son petit marché.

Faudrait retrouver les liens car je n'ai pas tout ça en tête

Ah si, j'ai un exemple, trivial :
Soit l'ensemble P toutes les partitions possibles des entiers. Existe-t-il un sous-ensemble de P impossible à mettre en bijection avec N tout comme avec P ?
=> indécidable, c'est justement l'hypothèse du continu (qui répond par non à cette question).

Quand on voit les entiers, il peut sembler incroyable que cette question soit indécidable.... et pourtant !