Exercice sur le régime transitoire

[YuGiOhJCJ]

Bonjour,
j'ai un exercice dans ma matière "Initiation à l'analyse des circuits" à résoudre pour le 03/11/2008.
Je suis coincé dès le début car je n'arrive pas à définir l'équation différentielle du montage. J'ai essayé de manipuler les lois de Kirchhoff ( loi des noeuds, loi des mailles et loi d'ohm) dans tous les sens mais je n'y parviens pas.
Pouvez-vous m'aiguillez s'il vous plait?
Merci beaucoup.

[gcortex]

I = C1dVs/dt + Vs/R1= C2.d/dt(e - Vs) + (e - Vs)/R2

[YuGiOhJCJ]

Merci beaucoup gcortex pour cette réponse 4 minutes après mon post

Pour bien comprendre la situation, j'ai ajouté les noeuds (en vert) et les intensités (en bleu) :



Alors si je comprends bien :
-Application de la loi des noeuds sur le noeud C :
I' = I4 + I5 (1)
-Application de la loi d'ohm sur la resistance R1 :
I4 = U_R1 / R1 (2)
-Application de la formule du condensateur sur la capacité C1 :
I5 = C1*dU_C1/dt (3)

En appliquant (2) et (3) sur (1), on obtient :
I' = U_R1 / R1 + C1*dU_C1/dt
que l'on peut écrire :
I' = C1*dU_C1/dt + U_R1 / R1

Donc je me rapproche fortement de ton résultat.

Ce qui me manque c'est :
Est-ce que, dans ce cas, on peut considérer que I = I' = I'' ? Pourquoi?
Est-ce que Vs est égale a la tension aux bornes de la résistance R1 (U_R1)? Pourquoi?
Est-ce que Vs est égale a la tension aux bornes du condensateur C1 (U_C1)? Pourquoi?

[stefjm]

Bonjour, j'ai un exercice dans ma matière "Initiation à l'analyse des circuits" à résoudre pour le 03/11/2008. Je suis coincé dès le début car je n'arrive pas à définir l'équation différentielle du montage. J'ai essayé de manipuler les lois de Kirchhoff ( loi des noeuds, loi des mailles et loi d'ohm) dans tous les sens mais je n'y parviens pas. Pouvez-vous m'aiguillez s'il vous plait? Merci beaucoup.

Bonjour, Le plus rapide et le moins chiant, c'est de calculer en symbolique Laplace:
C:
R : R
L : L.p
Il y a deux modules R//C :
Un diviseur de tension :
Ensuite, pour retrouver l'équation différentielle, on écrit sur une seule ligne (sans fraction) Vs en fonction de E. Une multiplication par p correspond à une dérivée temporelle.
D'où la fonction de transfert, sans garanties aucune :

Et enfin l'équation différentielle :

[stefjm]

Ce qui me manque c'est :
Est-ce que, dans ce cas, on peut considérer que I = I' = I'' ? Pourquoi?

Le courant qui rentre dans un dipôle est celui qui en sort sont égaux. (approximation des régimes quasi stationnaires)

Est-ce que Vs est égale a la tension aux bornes de la résistance R1 (U_R1)? Pourquoi?

Vs est aux bornes de R1//C1.
Deux branches en // sont soumises à la même tension.

Est-ce que Vs est égale a la tension aux bornes du condensateur C1 (U_C1)? Pourquoi?

Idem précédement.

[YuGiOhJCJ]

Merci stefjm pour avoir répondu à mes 3 questions avec clarté
Sinon, pour calculer en symbolique Laplace, je crois que je n'ai pas encore les pré-requis pour utiliser cette méthode. Je suis en train de l'étudier pour essayer de la comprendre.

Remarque : j'ai ajouté les tensions manquantes (en rouge).

Sinon, je suis en désaccord avec ta réponse gcortex.
Tu dis :
I = C2.d/dt(e - Vs) + (e - Vs)/R2
moi je dis :
I = C2.d(e - Vs)/dt + (e - Vs)/R2

Voilà comment je tombe sur ce résultat :

Montrons que I = I' :
-Application de la loi des noeuds sur le noeud A :
I = I1 + I2 (1)
-Application de la loi des noeuds sur le noeud B :
I' = I1 + I2 (2)
-D'après (1) et (2) on a :
I = I1 + I2 = I'. (3)

Déterminons I' :
-Application de la loi des noeuds sur le noeud C :
I' = I4 + I5 (4)
-Application de la loi d'ohm sur la résistance R1 :
I4 = UR1 / R1 (5)
-Application de la formule du condensateur sur la capacité C1 :
I5 = C1*dUC1/dt (6)
-En appliquant (5) et (6) sur (4), on obtient :
I' = UR1 / R1 + C1*dUC1/dt (7)
-Dans un circuit en parallèle, les branches sont soumises à la même tension, donc on a :
UR1 = UC1 = Vs (8)
-En appliquant (8) sur (7), on obtient :
I' = Vs / R1 + C1*dVs/dt (9)

Déterminons I :
-Application de la loi des noeuds sur le noeud A :
I = I1 + I2 (10)
-Application de la loi d'ohm sur la résistance R2 :
I1 = UR2 / R2 (11)
-Application de la formule du condensateur sur la capacité C2 :
I2 = C2*dUC2/dt (12)
-En appliquant (11) et (12) sur (10), on obtient :
I = UR2 / R2 + C2*dUC2/dt (13)
-Application de la loi des mailles sur la plus grande maille du circuit :
E - UR2 - Vs = 0
-UR2 = -E + Vs
UR2 = E - Vs (14)
-Dans un circuit en parallèle, les branches sont soumises à la même tension, donc on a :
UR2 = UC2 (15)
-En appliquant (14) sur (15), on obtient :
UR2 = UC2 = E - Vs (16)
-En appliquant (16) sur (13), on obtient :
I = (E-Vs) / R2 + C2*d(E-Vs)/dt

Qui a raison? moi? gcortex? les 2? personne?
Merci bien.

[stefjm]

Merci stefjm pour avoir répondu à mes 3 questions avec clarté
Sinon, pour calculer en symbolique Laplace, je crois que je n'ai pas encore les pré-requis pour utiliser cette méthode. Je suis en train de l'étudier pour essayer de la comprendre.

De rien.
Ca donne la solution en 3 ou 4 lignes de calculs simples.
(Si je ne me suis pas trompé!)

Calculs...

Eh bé!
Je préfère ma méthode...

Qui a raison? moi? gcortex? les 2? personne?

T'as comparé à mon résultat?

[YuGiOhJCJ]

Je te remercie pour ta méthode qui effectivement est plus rapide, malheureusement, je suis incapable à l'heure actuelle de comparer mon résultat ainsi que celui de gcortex au tien. Ils sont trop différents.
En effet, je ne vois pas de rapport entre l'égalité que j'ai trouvé :
I = C2.d(e - Vs)/dt + (e - Vs)/R2
Et l'équation différentielle que tu as trouvé.
D'ailleurs, je dois t'avouer que je ne sais même pas si ce que j'ai trouvé s'appelle une équation différentielle...Je pense que non, j'ai tout simplement appliqué les lois que je connais.
D'après Wikipedia, "En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées". C'est assez vague...

[gcortex]

I = C1dVs/dt + Vs/R1= C2.d/dt(e - Vs) + (e - Vs)/R2

en regroupant les dVs/dt, et les Vs, tu obtiens la fameuse équa diff

[YuGiOhJCJ]

OK gcortex donc suffit de travailler sur les équations.
Commencons par la première équation :
I = Vs / R1 + C1*dVs/dt

Donc je dois regrouper les dVs/dt, et les Vs :
1er essai :
I - Vs / R1 = C1*dVs/dt
(I - Vs / R1)/C1 = dVs/dt
2ème essai :
1/I = 1 / (Vs / R1) + 1 / (C1*dVs/dt)
1/I = R1/Vs + dt/(C1*Vs)
Vs/I = R1 + dt/C1
...Bref je ne parviens pas à regrouper les dVs/dt, et les Vs d'un côté de l'équation ; je ne trouve pas la ou les opérations à réaliser des deux côtés de l'équation pour y parvenir.
Un petit coup de pouce?

[gcortex]

laisse tomber i et occupe toi de la seconde égalité

[kickmik]

bonjour j'ai aussi un exercice du meme alcabit:
ton resonnement est bon il est vrai que tu ne dois pas avoir vu la symbolique laplace mais ca m'etonne que tu n'arrive pas a resoudre une equation differentielle essaye de passer par l'equation homogene puis par la solution particuliere
(l'expression d'une equation differentielle: derivée de l'inconnu+inconnu+constante=0, la forme étant très variable en fonction de coefficients)

[kickmik]

pour repondre a ta question (quelle est l'equation differentielle du circuit?) tu dois utiliser les propriétés de la derivée pour te rapprocher de la forme dont je parlais plus haut

P.s: honte a moi pour ce double post mais j'ai du m'absenter eun moment après le post et je n'ai pu edité mon post lors de la relecture du topic

[YuGiOhJCJ]

Ok gcortex donc je parts de :
(E-Vs) / R2 + C2*d(E-Vs)/dt = Vs / R1 + C1*dVs/dt

Ensuite, je multiplie par R2 des deux côtés :
E-Vs + C2*d(E-Vs)*R2/dt = (Vs*R2)/R1 + (C1*R2*dVs)/dt

Enfin bref je ne vois pas comment m'en sortir. Il y a des Vs et des dVs/dt partout...Comment les rassembler...Je n'y parviens pas.

kickmik>"passer par l'équation homogène puis par la solution particulière", je ne sais pas faire ce genre de choses (pas encore appris). Donc je préfère, si possible, utiliser la solution que je comprends plus haut que gcortex essaye de m'expliquer. Mais je coince sur ces grosses équations.

[stefjm]

Ensuite, je multiplie par R2 des deux côtés :
E-Vs + C2*d(E-Vs)*R2/dt = (Vs*R2)/R1 + (C1*R2*dVs)/dt

Ben tu l'as ton équa diff!
t'as plus qu'à ranger les termes

Ca m'a bien l'air d'être la même que celle que je t'ai donné au départ. (et probablement la même que celle de gcortex.)

d(E-Vs)/dt = de/dt-dVs/dt : linéarité de la dérivée.
Mettre en facteur Vs, e, dVs/dt etc...

kickmik>"passer par l'équation homogène puis par la solution particulière", je ne sais pas faire ce genre de choses (pas encore appris). Donc je préfère, si possible, utiliser la solution que je comprends plus haut que gcortex essaye de m'expliquer. Mais je coince sur ces grosses équations.

Pour trouver Vs(t), je ne vois que trois méthodes :
1) résolution de l'équation différentielle (kickmik)
2) par fonction de transfert en Laplace puis retour à l'original (Stefjm)
3) Connaitre le résultat ou avoir des tables.

Sinon, on peut quand même répondre à la seconde partie.
Il faut que
Je te laisse trouver pourquoi avec tes propres outils?
(Les miens donnent imédiatement la réponse mais tu ne les connais pas encore.)