Construire une théorie après avoir défini des axiomes

[philname]

Comment construire une théorie "cohérente" après avoir définie des axiomes ?

Le problème à mon avis c'est de construire un "tout" cohérent, est-ce que c'est plus de la logique que de la théorie ?

[Médiat]

Comment construire une théorie "cohérente" après avoir définie des axiomes ?

Je ne comprends pas bien la question telle qu'elle est posée, en effet ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non.

[philname]

Je ne comprends pas bien la question telle qu'elle est posée, en effet ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non.

Imaginons que les axiomes sont coherent entre eux.
Comment "assembler" ces axiomes entre eux logiquement afin d'obtenir une théorie juste ?


Analogie pour construire un mur :
mes axiomes : briques et ciment.
Ma théorie : le mur.

Comment assembler les briques pour que le mur tienne ?

C'est à peu près pareil avec ma question initiale. Comment assembler les axiomes pour être sûre que la théorie tienne la route !

[Médiat]

Imaginons que les axiomes sont coherent entre eux.

Si les axiomes sont cohérents entre eux, la théorie (tout ce que l'on peut déduire de ces axiomes) est cohérent, et le problème est résolu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5456133e]

la théorie (tout ce que l'on peut déduire de ces axiomes) est cohérente

sauf si on s'est trompé dans le raisonnement, non?

[Médiat]

sauf si on s'est trompé dans le raisonnement, non?

En appliquant les règles d'inférences, donc, effectivement, sans erreur.

[inviteea6fd0dc]

"sauf si on s'est trompé dans le raisonnement, non?"

"En appliquant les règles d'inférences, donc, effectivement, sans erreur."

Bonsoir,

J'ai comme un doute...
Je suis sûr que Médiat parle de cohérence par rapport aux axiomes en respectant les règles d'inférence, et par conséquent de validité; je suis moins sûr de l'expression "on s'est trompé" et du terme "raisonnement" de Rik.
En d'autres termes, applique-t'il l'erreur au raisonnement ou aux axiomes ?
Bref, cohérent n'est pas égal à "vrai", d'où ma crainte !

Amicalement

[invite5456133e]

d'où ma crainte !

Ne crains rien! Je réagissais surtout à la proposition de Médiat qui disait que "ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non", comme s'il suffisait de bien poser les axiomes pour obtenir une "bonne" théorie.
Je faisais juste remarquer qu'il fallait quand même suivre un raisonnement et donc respecter les règles de logique (ou plutôt d'inférence, terme qui a l'air plus à la mode); une théorie peut-elle se réduire à ses axiomes? On dirait que la notion de démonstration n'existe plus! Mais peut-être n'ai-je rien compris à la discussion, ce qui est bien possible ma foi!

[Médiat]

Je réagissais surtout à la proposition de Médiat qui disait que "ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non", comme s'il suffisait de bien poser les axiomes pour obtenir une "bonne" théorie.

Et je le maintiens (on pourrait juste ajouter "dans une logique donnée" quand celle-ci n'est pas implicite).

[invite5456133e]

Je ne comprends pas bien; n'est-ce pas confondre la conclusion avec l'hypothèse en "sautant" la démonstration?
Une théorie n'est-elle pas un ensemble= {axiomes, raisonement, conclusions}?

[Médiat]

Une théorie n'est-elle pas un ensemble= {axiomes, raisonement, conclusions}?

Justement non, une théorie (lorsque l'on parle de logique en tout cas, et c'est bien le cas ici cf. le message #1) est l'ensemble des formules démontrables à partir des axiomes choisis et de la logique utilisée.

[Matmat]

...une théorie peut-elle se réduire à ses axiomes? On dirait que la notion de démonstration n'existe plus! ...

Quand le choix des axiomes est fait, une infinité de théorème peuvent en etre déduits, cependant une théorie donnée n'a jamais une infinité de théorème, il y a toujours aussi un choix sur les théorèmes qu'on veut ou non inclure dans la théorie ...
Si T0 et T1 sont deux théories différentes (càd deux ensembles de théorèmes différents) déduites toutes deux à partir du meme jeu d'axiomes, c'est simplement qu'un choix différent à été fait sur les théorèmes... Et pour savoir si elles sont cohérentes, il suffit de savoir qu'une seule est cohérente ! (puisque la cohérence ne dépend que des axiomes).

j'ai une question (aux logiciens):
si je suis un macon autodidacte, on ne m'a pas appris les bases, mais j'essaye de faire tenir un mur debour en essayant de copier en mieux un autre mur dont je crois intuitivement (faute d'avoir les règles) qu'il tiendra debout:

On a deux théorie T et T' dont on ne connait pas les axiomes,autrement dit on a deux ensembles de formules dont on a pas déterminé les deux bases axiomatiques (c'est à dire deux jeux minimaux de formules indépendantes et non contradictoires qui permettraient de déduire les deux théories),supposons que:
si on décide, sans connaitre les bases axiomatiques de T et T', que:
-les formules de T' contiennent les formules de T
-tout théorème de T sera un théorème dans T'
-quand une formule de T' est dans T, si elle est théorème dans T' elle est aussi théorème dans T.

Est ce qu'on peut dire que "si T est cohérente, T' est cohérente" sans connaitre les bases axiomatiques (!) et donc indépendemment de la facon dont on a décidé que telle ou telle formule serait théorème (!!) ?
Et enfin peut-on en déduire quoique ce soit sur leurs jeux d'axiomes ? (l'autodidacte peut il finalement apprendre les bases ?)

[Médiat]

Quand le choix des axiomes est fait, une infinité de théorème peuvent en etre déduits, cependant une théorie donnée n'a jamais une infinité de théorème

Bien sur que si, une théorie, quand on parle de logique c'est un ensemble de formules clos par inférence, on ne peut donc pas avoir deux théories basées sur les mêmes axiomes (dans une même logique).

On a deux théorie T et T' dont on ne connait pas les axiomes

Une théorie (on va dire consistante, les autres étant sans intérêt) est toujours un jeu d'axiomes d'elle même, la question qui peut se poser, est de minimiser (dans un sens à préciser) le nombre de formules qui forme une axiomatique qui va engendrer la même théorie (et il est courant que le résultat ne soit pas unique).

Il faut avoir en tête qu'une axiomatique joue le rôle de générateur comme dans certaines structures.

[Matmat]

Une théorie (on va dire consistante, les autres étant sans intérêt) est toujours un jeu d'axiomes d'elle même ...

Je supposais qu'on exigais des axiomes qu'ils soient indépendant entre eux (en plus d'etre non-contradictoires) mais que l'on n'exigeait pas cela des théorème (car évidemment les théorèmes ne sont pas indépendants les uns des autres): et donc que la théorie ne constituait pas en elle meme le jeu d'axiome... Sinon T est le jeu d'axiome de T' et la question est immédiatement résolue, je voulais une réponse dans le cas ou les bases axiomatiques éxigées étaient parmi les:

...deux jeux minimaux de formules indépendantes et non contradictoires qui permettraient de déduire les deux théories...

[Matmat]

Donc, si je comprend bien, la réponse à la question:

peut-on en déduire quoique ce soit sur leurs jeux d'axiomes ? (l'autodidacte peut il finalement apprendre les bases ?)

est non, (étant donné que d'une théorie donnée, plusieurs jeu d'axiomes sont possibles pour la générer)

Mais qu'en est il de la première question ?...

Est ce que "si T est cohérente, T' est cohérente" ? ...

[Médiat]

Est ce que "si T est cohérente, T' est cohérente" ? ...

Si j'ai bien compris ce que tu veux dire par T et T', tous les théorèmes de l'une sont des théorèmes de l'autre, autrement dit T = T'.

[invite309928d4]

(...)

On a deux théorie T et T' dont on ne connait pas les axiomes,autrement dit on a deux ensembles de formules dont on a pas déterminé les deux bases axiomatiques (c'est à dire deux jeux minimaux de formules indépendantes et non contradictoires qui permettraient de déduire les deux théories),supposons que:
si on décide, sans connaitre les bases axiomatiques de T et T', que:
-les formules de T' contiennent les formules de T
-tout théorème de T sera un théorème dans T'
-quand une formule de T' est dans T, si elle est théorème dans T' elle est aussi théorème dans T.

Est ce qu'on peut dire que "si T est cohérente, T' est cohérente" sans connaitre les bases axiomatiques (!) et donc indépendemment de la facon dont on a décidé que telle ou telle formule serait théorème (!!) ?
Et enfin peut-on en déduire quoique ce soit sur leurs jeux d'axiomes ? (l'autodidacte peut il finalement apprendre les bases ?)

Bonjour,
je ne suis pas sûr d'avoir saisi ce que tu voulais dire mais est-ce que ça ne correspondrait pas, par exemple, à la théorie des ensembles avec ou sans axiome du choix ?
La question serait : est-ce que si la théorie avec axiome du choix est cohérente, celle sans axiome du choix est cohérente ?

Ou en d'autres termes, est-ce qu'à chaque ajout d'un axiome il faut faire une évaluation de la cohérence indépendamment de la théorie précédente ou est-ce qu'il y a un "constructivisme" des systèmes axiomatiques permettant d'utiliser les résultats de cohérence de l'un pour un système suivant.

D'après l'exemple de la théorie des ensembles, je crois que c'est plutôt le premier cas qui vaut puisqu'il a fallu évaluer l'effet de l'introduction de l'axiome du choix sur la cohérence. Par contre, je ne sais pas si c'est une situation générale ou si dans certains cas un "constructivisme" est possible.

[Matmat]

...La question serait : est-ce que si la théorie avec axiome du choix est cohérente, celle sans axiome du choix est cohérente ?
...
Par contre, je ne sais pas si c'est une situation générale ou si dans certains cas un "constructivisme" est possible.

Un peu,
Je voulais, pour que me autodidacte puisse copier le mur d'un autre, une cohérence relativement à une autre théorie,mais où aucune cohérence n'a été démontrée dans l'absolu.
Si je sais les théorèmes que je veux obtenir et si intuitivement une théorie assez simple me parait cohérente ( mais ce n'est pas démontré), je veux l'enrichir mais plus je l'enrichis et plus le risque d'incohérence est grand, puis-je au moins savoir si il y a moyen de conserver la cohérence intuitée? Y a t'il des critères (pas forcément ceux que j'ai essayé de proposer) ou une méthode constructive ?
Ainsi ...Si un jour quelqu'un démontre la cohérence de la théorie initiale ( la plus simple) , toutes les théorie enrichies selon la méthodologie de l'autodidacte copieur, seraient donc elles aussi cohérentes sans avoir à déterminer tous les axiomes !

[Médiat]

Analogie pour construire un mur :
mes axiomes : briques et ciment.
Ma théorie : le mur.

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette analogie, pour rester dans le même domaine, je dirais plutôt :

• Axiomes : Type de brique (forme, couleur, matière, taille...), les briques elles-mêmes sont disponibles en nombre illimité (et gratuites ). Certains types de briques sont incompatibles avec d'autres (à cause de leurs formes respectives qui ne "vont pas ensemble").
• Logique : Le ciment qui permet d'assembler des briques (occurrences d'axiomes), sans ciment on ne peut pas empiler des briques sans qu'elles ne tombent
• Théorie : le mur

C'est à peu près pareil avec ma question initiale. Comment assembler les axiomes pour être sûre que la théorie tienne la route !

Une règle qui permettrait de s'assurer qu'un ensemble d'axiomes est consistant ne me paraît pas envisageable, par contre une bonne technique (a posteriori, contrairement à ce que tu demandes) consiste à trouver un modèle qui vérifie les axiomes (un bon exemple : les géométries non-euclidiennes). En général, c'est plutôt le contraire qui se produit, on dispose d'un modèle et on en cherche une axiomatisation la plus complète possible.

[invite24327a4e]

Parler de cohérence d'une théorie sans en préciser la logique avec laquelle on l'a juge n'a pas de sens.
La vraie question est, existe t-il plusieurs logiques qui ne sont pas équivalente, ou la seule logique que l'on puisse utiliser est mathématique ?

[invitebe0cd90e]

Parler de cohérence d'une théorie sans en préciser la logique avec laquelle on l'a juge n'a pas de sens.
La vraie question est, existe t-il plusieurs logiques qui ne sont pas équivalente, ou la seule logique que l'on puisse utiliser est mathématique ?

Pour poser cette question il faudrait commencer par définir ce que tu appelles "une logique", je ne suis pas sur que ca soit clair a tes yeux. Et j'ajoute qu'on ne peut pas vraiment parler de "la" logique mathématique.

[Médiat]

Parler de cohérence d'une théorie sans en préciser la logique avec laquelle on l'a juge n'a pas de sens.

Voir le message #13 de ce même fil.
Ceci dit, cela a autant de sens que de dire 1+2=3 sans préciser dans quel ensemble et pour quelle opération et avec quelle égalité, même si chacun sait que 1+2 peut facilement être égal à 0, à 10 ou à beaucoup d'autres choses.

[philname]

Reprenons de 0.

Imaginons que je veuille construire une théorie par moi-même.

Quelle démarche à suivre pour définir les axiomes ?

Puis ensuite assembler les axiomes ?

Si possible j'aimerais un exemple assez compréhensible, donc si possible pas pour un niveau de scientifique.


merci.

[Médiat]

Si possible j'aimerais un exemple assez compréhensible, donc si possible pas pour un niveau de scientifique.

Regarde la section 0) du document joint à ce fil :http://forums.futura-sciences.com/thread232139.html

[philname]

JE veux revenir à la définition d'une formule close.

Une proposition signifie aussi une formule close (c'est-à-dire sans variable libre) ?? Je n'est pas trop compris le sens de variable libre, toutefois sur wikipédia :
"une variable libre est une notation qui spécifie à quelles places dans une expression mathématique une substitution peut avoir lieu"

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%B...%C3%A9matiques)

En mathématiques, on dit qu'un ensemble est clos pour des fonctions ou opérations si ces opérations appliquées à des éléments de l'ensemble produisent un élément de l'ensemble


http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_pr%C3%A9dicats

(partie Prédicats, formules closes, variables libres, variables liées )
Une formule close est une formule dont toutes les variables sont liées. Un prédicat est une formule qui contient une ou plusieurs variables libres.

Il y a tellement de définitions, qu'un "non-mathématicien" s'y perd.

Une théorie peut donc être cohérente seulement si la formule est close avec des variable liées? Une formule closes contient des prédicats, qui eux peuvent contenir des variables libres ??

Ai-je à peu prêt compris ces concepts ?

[invite5456133e]

En général, c'est plutôt le contraire qui se produit, on dispose d'un modèle et on en cherche une axiomatisation la plus complète possible.

Effectivement en général on consruit d'abord la théorie et on définit les axiomes ensuite. Je ne dirais pas qu'on présente tout à l'envers, ce serait trop simple, mais il y a un peu de ça. En tout cas, la présentation n'a rien à voir avec la recherche.
Ce n'est pas loin non plus d'une dissertation. On note des idées, on cherche des références, on ordonne et on structure au fur et à mesure. APrès oui, c'est cohérent avec des axiomes et tout le toutim mais pendant vaut mieux pas aller voir: ce n'est fait que de bric (de briques?) et de broc.

[philname]

Juste une question à propos des axiomes de géométrie !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Projet:...A9om%C3%A9trie


Il est écrit que sur cette page qu'il n'est pas question d'axiomatisation de :
Cette approche axiomatique ne fait appel ni à la notion de dimension, de distance, de mesure, ni même à celle des nombres.

A-t-on déjà donné une axiomatisation des notions citées en italiques ?
Je pense surtout à un axiome des nombres ; la puissance d'un point. Qui pour moi est totalement, philosophiquement parlant, excusez moi du terme : magique .

http://fr.wikipedia.org/wiki/Puissan...3%A0_un_cercle

[invitebe0cd90e]

Il est écrit que sur cette page qu'il n'est pas question d'axiomatisation de :
Cette approche axiomatique ne fait appel ni à la notion de dimension, de distance, de mesure, ni même à celle des nombres.

A-t-on déjà donné une axiomatisation des notions citées en italiques ?

Pour les nombres clairement, c'est l'arithemtique de Peano, ou la theorie des ensembles.

Pour les autres en quelque sorte, avec les structure associée : espace vectoriel, espace metrique ou espace topologique, espace mesurable respectivement.

[philname]

Sur cette page :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...s_mod%C3%A8les

il est écrit :

"Un modèle donne donc la certitude de travailler sur une théorie qui ne débouchera pas sur une contradiction."

A ce que je comprends ici, on peu créer une infinité de modèles, avec nos axiomes.
Ici théorie = "assemblage des axiomes" ?

Enfait quand on parle de consistance d'une théorie, c'est la non-contradiction des axiomes, et non la cohérence (pour moi assemblage des axiomes) de la théorie.

Donc toujours d'après cette phrase, on pourra donc créer n'importe quel modèle avec des axiomes prédéfinis qui ne se contredisent pas dans ce modèle ? Tout modèle sera donc "juste" seulement si ces axiomes sont bien "assemblés". Un modèle sera donc un modèle sans définition de cohérence du "tout", puisque ce modèle est donc le tout. Il est donc absurde de prouver sa cohérence, puisque seul l'assemblage des axiomes non contradictoire défini ce modèle. Il serait aussi absurde de se demander si ce modèle est complet ou incomplet.

[Médiat]

"Un modèle donne donc la certitude de travailler sur une théorie qui ne débouchera pas sur une contradiction."

Oui, c'est le fameux théorème de complétude (pour la logique classique du premier ordre) de Gödel dont baguette et moi ne cessons de dire qu'il est extrêmement important.

Tout ce que je vais dire ne concerne que la logique classique du premier ordre.

A ce que je comprends ici, on peu créer une infinité de modèles, avec nos axiomes.

Il faudrait définir ce que veux dire modèles différents, si on veut dire "modèles non isomorphes", acception habituelle, alors ce n'est pas obligatoire, par exemple la théorie des groupes à un élément n'a qu'un seul modèle.
Par contre dès que l'on aborde le domaine des modèles de cardinal infini, alors le théorème de Löwenheim Skolem assure qu'il existe au moins un modèle en chaque cardinal infini (plus grand qu'un certain minorant), donc une infinité.

Ici théorie = "assemblage des axiomes" ?

En général Théorie = ensemble de formules clos par inférence.

Enfait quand on parle de consistance d'une théorie, c'est la non-contradiction des axiomes, et non la cohérence (pour moi assemblage des axiomes) de la théorie.

C'est pareil, puisque que cohérence = non-contradiction

Donc toujours d'après cette phrase, on pourra donc créer n'importe quel modèle avec des axiomes prédéfinis qui ne se contredisent pas dans ce modèle ?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

Tout modèle sera donc "juste" seulement si ces axiomes sont bien "assemblés". Un modèle sera donc un modèle sans définition de cohérence du "tout", puisque ce modèle est donc le tout. Il est donc absurde de prouver sa cohérence, puisque seul l'assemblage des axiomes non contradictoire défini ce modèle.

Je ne sais pas ce que veux dire "Modèle juste". Je ne comprends pas le reste.

Il serait aussi absurde de se demander si ce modèle est complet ou incomplet.

Exact, la théorie d'un modèle est toujours complète.