Toujours pas clôt le débat de l'hypothése du continu dans ZFC, la recherche va toujours bon train. Il est par conséquent délicat de postuler que c'est un fait acquis.Envoyé par Bob Trebor
Là désolé, je n'y vois plus logique ou mathématique et je m'interroge de nouveau sur des expressions telles que : esprit humain, état DIT de veille, relation entre "substances" ?
Bonne journée
Ok; supposons maintenant que j'arrive à démontrer pourquoi on ne peut pas définir "l'hypothèse du continu" dans ZFC (c'est pour moi un point acquis), mais que "l'hypothèse du continu" reste toujours valable avec une autre théorie que nous n'aurions pas encore.
Quelles seraient les conséquences ?
Euh... si, c'est acquis, HC est indécidable dans ZFC (Gödel en 38 + Cohen en 63).
Cependant les travaux de Woodin sur ce sujet sont très intéressants.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut Mediat,
Acquis ??
Ce que ce cher Kurt Gödel nous dit, c'est effectivement que c'est indécidable, et précise que l'hypothèse du choix n'infirme en rien la cohérence de ZFC (qui, s'il n'était pas cohérent invaliderait ipso facto ZF !)
ps Je ne connais guère la méthode de forçage de Cohen
A moins que je me gours-je à fond (ce qui est aussi possible)
Salut baguette
Pour être précis :
Gödel a montré que ZFC + HC est tout aussi consistant que ZFC, ce qui n'est pas l'indécidabilité.
Cohen a montré (25 ans plus tard) que ZFC + non HC est tout aussi consistant que ZFC, ce qui n'est pas l'indécidabilité.
En mettant ensemble ces deux résultats, on, obtient que HC est indécidable dans ZFC.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Et nous sommes entièrement d'accord.
Mais, je me suis peut être très mal exprimé, ce que je n'accepte pas c'est l'assertion suivante de bob.trebor : "L'important est que "l'hypothèse du continu" ne se situe pas dans la théorie des ensembles, même ZFC, et que celle-ci est indécidable dans cette théorie (Gödel)."
Ben si, on ne peut pas l'éliminer d'un revers de main en choisissant ce qui plaît, on peut ne pas l'utiliser, certes, mais nul n'interdit de l'utiliser (ou alors il va falloir revoir la notion d'indécidable).
Je t'avoue que je n'ai pas répondu à cette partie parce que tirer des conclusions sur l'état de veille à partir de "HC est indécidable dans ZFC", sont du même ordre, pour moi, que la litanie sans fin des aberrations générés par les théorèmes d'incomplétude de Gödel (convoqué encore ici, et à tort en plus puisque c'est Cohen qui a signé l'indécidabilité de HC dans ZFC et non Gödel).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci de cet éclaircissement.
On est bien d'accord...
Moi aussi je m'exprime mal, je voulais dire que HC comme vous le dites "on peut ne pas l'utiliser, certes, mais nul n'interdit de l'utiliser".
Là ce qui importe, c'est pourquoi on ne peut pas utiliser HC et comment pourrait-on l'utiliser ou l'exprimer avec "autre chose" qui dépasse ZF. Cela revient à monter d'un cran le niveau d'abstraction à utiliser.
Pouvez-vous me dire dans quel genre de travaux on essaie ou, où on serait susceptible d'être amener à utiliser HC (en la "forçant") dans ZF soit dans "autre" que ZF ?
C'est incompréhensible comme manière de s'exprimer. Ca veut dire quoi "dépasser ZF", "niveau d'abstraction", "autre que ZF"Là ce qui importe, c'est pourquoi on ne peut pas utiliser HC et comment pourrait-on l'utiliser ou l'exprimer avec "autre chose" qui dépasse ZF. Cela revient à monter d'un cran le niveau d'abstraction à utiliser.Pouvez-vous me dire dans quel genre de travaux on essaie ou, où on serait susceptible d'être amener à utiliser HC (en la "forçant"
C'est à se demander si tu comprends de quoi tu parles!
HC est un axiome existentiel. Si on veut travailler en faisant l'hypothèse d'un ensemble de cardinal strictement entre celui de N et celui de P(N), eh bien on peut le faire dans le cadre de la théorie des ensembles, et étudier ces ensembles. L'indécidabilité dit qu'on ne pourra pas construire ces ensembles à partir des axiomes ZFC, comme on le fait pour N, pour P(N), pour R et bien d'autres, qu'on aura que l'axiome existentiel comme base de départ. Où peut bien être le "niveau d'abstraction" ou le "dépassement" dans cette histoire
L'indécidabilité est une notion assez simple, pourquoi en fait-on si couramment un roman?
As-tu seulement réalisé que tout axiome de ZFC peut être présenté de manière à être indécidable dans la théorie ZFC moins cet axiome? Et quelles conclusions fumeuses te permets-tu d'en tirer?
Cordialement,
Mais on peut parfaitement
Il suffit de le décréter
Encore une fois il suffit de le décréter, mais je peux ajouter deux points :
Travailler sur les cardinaux dans ZF au lieu de ZFC n'est pas la solution la plus usuelle, la plus pratique ni la plus riche (on peut cependant démontrer que ZF + HGC (hypothèse généralisée du continu) démontre AC).
Les travaux de Woodin montrent que la "bonne idée" est de travailler avec non HC, il va de soi que Woodin définit parfaitement ce que veux dire "bonne idée" dans ce contexte (ses travaux sont faciles à trouver sur le net, y compris en français).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est plutôt non HC qui est existentiel.
Depuis le temps que je me bats pour faire comprendre cette idée (encore une bêtise due à l'incompréhension des théorèmes d'incomplétude de Gödel).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Arghhh... Désolé pour la "faute de frappe"!
Cordialement,
Puis-je m'avancer en disant que c'est similaire à dire que "c'est une bonne idée de travailler avec l'axiome de l'infini", c'est à dire que ça va dans le sens de fabriquer une théorie "intéressante", "riche", "susceptible d'apporter des méthodes utiles", etc. ? Et que ça n'a strictement rien à voir avec "vrai" et autre idée de la même farine?
Cordialement,
Je ne le dirasi pas ainsi, la raison qui en fait une bonne idée est beaucoup plus technique que cela (elle est liée à la méthode du forcing) ; bien sur, une raison technique est toujours pilotée par un besoin plus fonctionnel, mais difficilement accrochable à "intéressante", "riche", "susceptible d'apporter des méthodes utiles", puisqu’il s’agit de déterminer les propriétés qui seront invariantes par forcing.
Là, par contre, je suis tout à fait d’accord ; dans le cas de HC je dirais que Woodin a montré que le forcing rend non HC plus légitime que HC.
Cordialement,
Médiat
Je suis Charlie.
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Après lecture de vos messages ma question serait plutôt: Peut-on déduire HC de ZF et inversement ?
Bonjour,
juste une petite référence, à peu près accessible, sur la HC et l'omega-logique de Woodin : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Talks/DxgF.pdf
L'alpha et l'omega, ça va plaire aux poètes...
Tu poses une telle question après tes textes péremptoires sur l'indécidabilité?
Cordialement,
Je sais bien que la réponse est non.Tu poses une telle question après tes textes péremptoires sur l'indécidabilité?
Maintenant, si on arrivait dans l'axiome du choix, à mettre une valeur sur un ensemble non-vide d'une famille non-vide à qui l'on applique la fonction de choix, ne pourrait-on pas décrire alors comment on construit cet ensemble
Pouvez-vous me confirmer que dans:
• Theoreme: (Godel, 1938) Si ZFC est non contradictoire, alors
¬HC est non prouvable a partir de ZFC.
• Theoreme: (Cohen, 1963) Si ZFC est non contradictoire, alors HC est non prouvable ` a partir de ZFC.
Le paramètre essentiel est "ZFC non contradictoire" ?
Ps: Bardamu, merci pour le lien.
Tu as lu le message 125 ???????
Dans la mesure où une théorie contradictoire peut prouver n'importe quoi, y compris (HC et non HC), sans cette hypothèse les travaux de Gödel et et Cohen seraient tout simplement faux !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Et qu'est-ce que cela veut dire ?Maintenant, si on arrivait dans l'axiome du choix, à mettre une valeur sur un ensemble non-vide d'une famille non-vide à qui l'on applique la fonction de choix, ne pourrait-on pas décrire alors comment on construit cet ensemble
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Justement, "tout" c'est "n'importe quoi", au sens propre.
Que je veux passer par une théorie contradictoire.
Connaîtriez-vous des exemples de théorie contradictoire qui "démontre" HC et non-HC et/ou ni l'un ni l'autre ?
Merci.
Salut
Je pense que tu n'as pas compris ce qu'était une théorie contradictoire.
Une théorie contradictoire ne représente aucun intéret puisque dans une telle théorie tout et son contraire sont démontrable.
Qu'est ce que tu veux faire d'une théorie dans laquelle tu peux démontrer HC et en même temps démontrer non-HC ??
Que ferais tu d'une théorie qui dit : le théorème de Fermat est juste ET le théorème de Fermat est faux.
(Tu tends une telle perche que je ne peux m'empêcher de la prendre.) C'est exactement comme cela que j'avais compris l'approche décrite par tes messages
(C'est une mauvaise blague, je sais...)
Cordialement,
Montrer comment dans un contexte global on obtient une "continuité de la discontinuité".
"continuité de la discontinuité"
Passons....
Tu n'as toujours pas compris ce qu'est une théorie contradictoire.
Dans une telle théorie tout est démontrable, elle n'a donc aucune valeur/intérêt.
1=2 ,,
Si, si. Avec une telle théorie, on peut aligner des dizaines de messages sans aucun risque de dire quelque chose qu'on ne pourrait pas démontrer.
Cordialement,
Etant adepte d'Arrabal et fan de la confusion constructive, je dirais au contraire : On peut TOUT faire avec une théorie contradictoire (à tel point que certains logiciens utilisent "All" à la place de "False")
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Mais siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii.
Je me place d'un point vue ontologique en tant que l'ontologie fait partie de la métaphysique. Quand je dis qu'il faut monter le niveau d'abstraction d'un cran, c'est passer de l'ontologie à une méta-ontologie.
Le cadre de toutes théories se place dans le cadre de la pensée conceptuelle. R. Ruyer à montré comment l'expérience mentale se déroule sur un mode utopique, que "l'acte conscient est utopique au sens étymologique du mot". D'une autre façon, Gabriel Marcel montre comment, la relation à mon corps ne peut se définir ni en termes d'être ni en termes d'avoir.
"L'acte conscient utopique", c'est quand mes théories, mes modèles, sont appliqués à "le monde qui est mon monde", le monde qui est mien, celui du "je". Ce fonctionnement du "je", c'est le mode "non-contradictoire", il est binaire. C'est celui du "même" et de "l'altérité" dans une attitude jusqueboutiste.
Je suis d'accord avec Nishida quand il dit qu'"une vérité doit s'affirmer en se niant".
Même le holisme ne dépasse pas la substance. Son "tout relationnel" garde en son fond Un universel, une unité abstraite quand il donne une identité à la relation.
Parce que c'est le point de vue de "mon monde" (fonctionnement que nous partageons tous), c'est le point de vue exprimé du "je" qui est AU monde pas le point de vue d'expression DU monde. Du point de vue DU monde, la vérité est double, à la fois contradictoire est non-contradictoire mais "je" choisis de n'en garder qu'une. Et d'un point de vue méta-ontologique, c'est seulement là où s'exprime en même temps et dans un même espace, à la fois ce que "je est" et ce que "je n'est pas" (ce qui présuppose dans ce contexte global d'intégrer le "contradictoire" et le "non-contradictoire"), là que s'exprime une réalité qui englobe ce que substantiellement, le "je non-contradictoire" qualifie soit d'absolue soit d'absolument relative dans son "mode utopique". Cet englobant, Nishida le nomme métaphoriquement "universel de l'universel".
Toute seule non, mais en ce positionnant d'un point vue de global (contradictoire et non-contradictoire) j'estime qu'on devrait arriver à avoir au moins un début de démonstration de comment ZFC et HC sont interdépendantes. Ontologiquement, il est tout à fait naturel que l'on passe du discret au continu par un saut.
Bonjour
Petite question à Médiat dans la veine des Méta vues ; ma réponse aux posts précédents fait neuf pages , à la demande générale , je l'écourte comme suit :
N'est il pas concevable d'introduire dans le formalisme une relation inusitée dont le statut serait d'équivaloir à une relation de type transfini , permettant donc pour une théorie donnée exprimée dans quelque langage que ce soit , de l'étendre axiomatiquement en introduisant axiomatiquement la relation C dans sa signature et en produisant axiomatiquement la définition récursive suivante :
Pour T une théorie donnée et L l'ensemble infini dénombrable des langages de types entiers fini dans laquelle elle pourrra être exprimée :
pour P exprimé dans un langage Ln ,appartenant à T ,
C(P): C(P)=P ssi P est décidable dans le langage Ln où elle est exprimée
non C(P): nonC(P)= c(P ) ssi il existe un métalangage Ln+1, et P' une proposition exprimée dans ce métalangage , appartenant à T, telle que P'= «*P est indécidable*»
(ou quelque chose comme ça , mais j'ai bien peur que c ne puisse pas être une relation , car cc(P)= C(P) , alors que cc(P) ne peut être égal à c(c(P)) sous peine de rendre l'expression de la théorie dans ce formalisme contradictoire ; je pense que c a à voir avec le changement d'état , et qu' il est le point faisant diverger le formalisme physique et mathématique ) .
Toute bonne âme acceptant de répondre de façon constructive à ma question me permettrait de soigner ma Gödelite . Je pense tout comme vous que je reste dans une grave incompréhension du formalisme que j'essaye de manier , merci de m'aider .
Bien à vous .
