Pour un débutant il me semble pourtant plus simple d'abord d'étudier les ensembles finis que d'étudier les ensembles quelconques.Envoyé par Médiat
L'étude du transfini, partie de la théorie des ensembles qui traite des nombres cardinaux et des nombres ordinaux a elle été accepté immédiatement sans polémique par les mathématiciens ?
Patrick
Bien sur, mais c'est pour cela qu'affirmer le contraire a un intérêt
Non, mais ce n'est pas là le sujet, ici la question porte sur fini/infini en logique du premier ordre (la logique la plus utilisée pour le langage le plus utilisé par les autres sciences (exactes ou dures) : les mathématiques).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On a bien commencé par les notions "fondamentales" minimales. Par exemple Peano pour essayer de définir les nombres entiers "ordinaire".Bien sur, mais c'est pour cela qu'affirmer le contraire a un intérêt
Si je me raccroche à mon "filtre culturel" pour comprendre la notion de classe on ne débute pas par la notion de classes abstraite même si elle est plus fondamentale.
Je dois encore faire une confusion. Pour moi fini correspond aux entiers "ordinaires" et l'infini aux nombres transfinis.
Cela pose par contre effectivement un problème : Quel elle la meilleure démarche/méthode pour une compréhension des concepts fondamentaux (amont/primitif).
Par exemple pour un ensemble fini on peut confondre la notion de cardinal avec les notions de taille/quantité/nombre d'éléments. Ce qui n'est plus le cas pour les ensembles infinis.
Patrick
Bonjour,
Avec le recul historique que nous avons pourquoi ne pas commencer par enseigner les concepts "primitifs" des mathématiques afin de nous familiariser avec leur sens et ainsi éviter toutes mauvaises habitudes.
Ou alors ces concepts nous ne les avons pas encore (tous) découverts/inventés ?
Patrick
Tu proposes d'expliquer l'indépendance de l'axiome du choix dès le CP ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Non pour l'instant je me pose des questions. Comment capitaliser au mieux tous ce que nous découvrons ? Pourquoi (à partir de quel moment je n'en sais rien) ne pas enseigner en parallèle l'histoire des mathématiques ?
De mes souvenir scolaire ce que je retiens est souvent liées à un complément d'enseignement s'appuyant sur un historique/une épistémologie.
Patrick
On occulte bien souvent la transpiration et la souffrance qui ont conduit aux concepts qui font autorités aujourd'hui.
Patrick
Il est assez difficile de comprendre pourquoi on peut exprimer l'infinitude mais pas la finitude dans la logique du 1er ordre.
Toute théorie qui à des modèles finis a forcement au moins un modèle infini est-ce démontrable (compacité ?) ?
Patrick
Non, puisque c'est faux.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je n'ai fait que traduire ce que j'ai cru comprendre de :
et comme ce qui n'est pas fini est infini donc si une théorie a des modèles finis elle a aussi au moins un modèle infini.
Patrick
Traduction = Trahison.
La théorie des groupes à un élément est facile à écrire et n'a aucun modèle infini, par contre la théorie des groupes finis n'existe pas (en logique classique du premier ordre).
Si on veut faire une hiérarchie de complexité (sous l'angle que j'ai adopté)
"un fini" est plus simple que "infini" qui est plus simple que "fini".
La bonne phrase aurait été "Toute théorie qui à des modèles en cardinal fini au moins aussi grand que je veux a forcément des modèles infinis" (version 1 du théorème de Löwenheim-Skolem)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Qu'elle différence il y a t'il ? La structure algébrique des groupes n'est elle pas définie par un système formel axiomatique ? Un modèle fini possible étant un groupe à un seul élément (le neutre).
Patrick
Essaye d'écrire les axiomes de la théorie des groupes finis ... Le langage des groupes est L = (*, e, =) ; et encore la constante n'est pas obligatoire.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On ne sait pas axiomatiser le groupe symétrique (permutation muni de la composition d'applications) d'un ensemble fini E ?
Patrick
Ce n'est pas la question, on sait écrire les axiomes de la théorie des groupes à 654513215432165432146543541685 465468746313463543213546543213 54320 éléments (mais cela risque de prendre un peu de temps) mais on ne sait pas écrire les axiomes de la théorie des groupes finis (c'est à dire que la théorie des groupes finis n'existe pas (en tant que théorie classique du premier ordre)).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il en est de même alors pour les corps fini ? La théorie des corps fini n'existe pas ?
Patrick
Non : cf. le post #1 de ce fil
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je suis alors largué. C'est quoi une théorie ? Peut on dire que la théorie des ensemble est une théorique bien qu'il n'existe pas de modèle (d'après une de tes remarques sur un fil que je ne retrouve pas)
On parle de théorie lorsque l'on a un système formel consistant ?
Patrick
Je doute que tu le retrouves, car je n'ai surement pas dit cela, si ZF est consistante (ce que l'on ne sait pas) alors elle a des modèles (théorème de complétude de Gödel), par contre ce que j'ai pu dire c'est que l'on ne sait pas construire un tel modèle, sinon on saurait qu'elle est consistante (par contre, à partir d'un modèle supposé exister, on peut en construire d'autres).
Littéralement une théorie est un ensemble de formules (du premier ordre ici), mais, clairement, si elle n'est pas consistante elle n'a pas beaucoup d'intérêt.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je vais donc essayer de revenir au fondamental pour comprendre ton post #1
un langage L du 1er ordre c'est : un ensemble de symboles de constantes, , un ensemble de symboles de fonctions, un ensemble de symboles de relations.
On peut construire :
un ensemble de terme et un ensemble de formule atomique
Puis avec l'aide des quantificateur on peut construire des formules. Expressions bien construite.
Parmi toutes les expressions bien construire on en retient certain qui sont les axiomes sur lequel on va construire notre théorie.
Donc Langage + Axiome "famille d'expression bien construite de L" + règle de déduction on forme des expressions bien construite (admissible)
Le langage est fini. C'est quoi qui est obligatoirement infini ?
Patrick
Bonjour,
Autrement dit : il n'existe pas de système formel (au sens logique du premier ordre) permettant de théoriser les groupes finis ?
Affirmation découlant découlant de la version 1 du théorème de Löwenheim-Skolem ?
Patrick
Quantificateurs et connecteurs.
Le post #1 le dit clairement : les modèles.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Un modèle c'est un domaine et une interprétation. Le langage des prédicat ne permettrait donc pas de limiter le domaine à un ensemble fini ?
Patrick
Si il s'avère que ZF est inconsistante pourrions nous dire qu'elle n'aura eu aucun intérêt ?
Patrick
Pourquoi poser une telle question ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est tout simplement une question "de logique" que je me pose. On ne sait pas si ZF est consistance. Par contre si une théorie est inconsistance on peut démontrer tout et son contraire.
Donc au vu de l'utilité apporté par ZF elle ne peut être que nécessairement consistante indépendamment de tout théorème de Gödel.
Patrick
Même si on n'utilise pas de variable pour décrire une théorie on aura toujours des modèles infinis qui la satisfont ? exemple Peano
Patrick
Ite missa est !Amen !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Comme la théorie du groupe à 1 élément par exemple ?
J'aurais pu écrire "des groupes à 1 élément", mais comme ils sont tous isomorphes...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La loi interne fait que l'on peut aussi trouver des modèles à plus d'un éléments non ?
Patrick
