Le fini est plus compliqué que l'infini !

[Médiat]

Bonjour,
Je vois souvent abordé ici (et ailleurs) le thème de l'infini en mathématiques (le seul domaine où je peux m'exprimer), généralement cette notion est mal connue, mal définie et mal comprise ; des trois maux qui pèsent sur l'infini découle l'impression que l'infini est plus compliqué que le fini.
En tant que logicien (et je ne parlerais ici que de logique classique du premier ordre) et plus spécifiquement modèle-théoriste, c'est exactement le contraire, mais avant d'expliquer pourquoi je vais essayer de résoudre le problème de la définition.
D'abord, je ne parlerai pas ici de l'infini potentiel tel qu'on peut le rencontrer (deux fois) dans l'expressions .

Définition 1 : un ensemble est fini si et seulement si il est équipotent à un segment initial propre de (c'est à dire à un sous-ensemble de de la forme [0 ; n[) (j'aurais pu écrire : équipotent à un ordinal strictement plus petit que )
Définition 2 (Dedekind) : un ensemble est fini si et seulement si il n'est équipotent à aucune de ses parties propres.
Définition 3 (Tarski) : Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l'inclusion.

Ces trois définitions donnant des conditions nécessaires et suffisantes, elles permettent donc de définir le non-fini, c'est à dire l'infini.

La définition 1 a le défaut de nécessiter la définition de (ou de ).
La définition 2 a le défaut de ne correspondre à ce que nous dicte l'intuition qu'avec l'axiome du choix.

Pourquoi affirmé-je que l'infini est plus simple que le fini ?

Tout simplement parce qu'il est très facile d'écrire les axiomes imposant à une théorie de n'avoir que des modèles infinis (si elle a des modèles infinis), il est impossible d'imposer à une théorie de n'avoir que des modèles finis (même si elle en a) !
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[invite6754323456711]

Ces trois définitions donnant des conditions nécessaires et suffisantes, elles permettent donc de définir le non-fini, c'est à dire l'infini.

Ne faudrait-il pas rajouter le terme ensemble. La notion d'ensemble infini est défini par rapport à la notion d'ensemble fini.

La difficulté "intuitive de compréhension" est l'usage simultané des deux termes ensemble et infini. L'infini actuel semble donc contenu par l'objet mathématique qu'est l'ensemble.

Par exemple l'ensemble de tout les ensembles ne peut pas être un ensemble. Pourquoi l'infini serait-il un ensemble ?


Patrick

[Médiat]

Pourquoi l'infini serait-il un ensemble ?

Etre fini ou infini est une caractéristique d'un ensemble, c'est donc un ensemble qui peut être infini et non l'infini qui est un ensemble.

[Les Terres Bleues]

.
Bonjour,

Vous avez soumis à la discussion un thème qui m’intéresse. Celui-ci se trouve exposé dans un cadre mathématique précis (et précisé) dans lequel je ne dispose pas des compétences requises pour m’autoriser à intervenir au niveau qui serait nécessaire. Aussi, et pour ne pas reproduire les malentendus et incompréhensions stériles qui ont émaillés certaines autres discussions, je veux limiter mon intervention à quelques questions :

Ces trois définitions donnant des conditions nécessaires et suffisantes, elles permettent donc de définir le non-fini, c'est à dire l'infini.

Cela nous fournirait en quelque sorte une définition « en creux » de l’infini ? Ou dit autrement, à partir du moment où l’on dispose de conventions permettant de savoir ce qui est fini, ce qui ne l’est pas serait alors l’infini ? Le non-fini étant l’infini, c’est ça ?

Définition 1 : un ensemble est fini si et seulement si il est équipotent à un segment initial propre de (c'est à dire à un sous-ensemble de de la forme [0 ; n[) (j'aurais pu écrire : équipotent à un ordinal strictement plus petit que )
Définition 2 (Dedekind) : un ensemble est fini si et seulement si il n'est équipotent à aucune de ses parties propres.
Définition 3 (Tarski) : Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l'inclusion.

Sont-elles des alternatives l’une à l’autre, ou bien doivent-elles être des conditions simultanément réunies ?

Dans la première définition, le zéro est axiomatisé en préalable à travers (premier axiome de Péano, si j'ai bien compris), donc il faut d'abord passer par lui, ou alors vous dîtes "équipotent à un ordinal strictement plus petit que ", auquel cas, il faudrait passer par l'infini pour définir le "fini" afin de savoir ce qu'est l'infini ? Tout cela n'est pas très clair dans mon idée. Merci d'avance de bien vouloir débroussailler.
Suivant la définition de Dedekind, comment l’ensemble vide est-il considéré ?
Dans la définition de Tarski, la notion d'ensemble vide est-elle également définie en premier comme chez Péano ?

Encore merci et cordiales salutations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Etre fini ou infini est une caractéristique d'un ensemble, c'est donc un ensemble qui peut être infini et non l'infini qui est un ensemble.

Si je comprend bien le sens qui est donné : être vide, fini, infini sont des propriétés qui permettent de caractériser des "suites" d'éléments mathématiques appelés ensemble.

Le concept d'infini ne peut donc être défini à partir de la notion d'ensemble puisqu'il en est une caractéristique ?

De même le cardinal est une propriétés mathématique qui permet la classification des ensembles dénombrable fini et infini selon la relation d'équipotence mais ne peut définir la notion d'infini ?

Patrick

[Médiat]

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Cela nous fournirait en quelque sorte une définition « en creux » de l’infini ? Ou dit autrement, à partir du moment où l’on dispose de conventions permettant de savoir ce qui est fini, ce qui ne l’est pas serait alors l’infini ?

Quand on définit une caractéristique, on définit implicitement son contraire, si je suis capable de définir le blanc, je définit implicitement le non-blanc ; bien sur quand la caractéristique n'a que deux modalités c'est plus simple, une fois défini le fini (resp l'infini), alors l'infini (resp. le fini) est défini.

Le non-fini étant l’infini, c’est ça ?

Donc oui.

Sont-elles des alternatives l’une à l’autre, ou bien doivent-elles être des conditions simultanément réunies ?

La définition 1 correspond à l'intuition, la définition 3 est équivalente à la 1, et la 2 est équivalente aux deux autres avec l'axiome du choix.


Il faut bien comprendre deux choses :

1. La définition de Dedekind a un gros inconvénient lorsque l'on parle "en l'air", puisque avec ou sans axiome du choix la définition 2 donne des résultats différents pour certains ensembles, mais un ensemble fini au sens 1 ou 3 est toujours fini au sens 2, dans l'autre sens il faut l'axiome du choix (j'avoue que je ne connais pas de contre-exemple).
2. Lorsque l'on travaille dans un cadre précis (donc avec ou sans AC), on peut choisir n'importe laquelle des définitions équivalentes en fonction de ce que l'on a à faire.

Dans la première définition, le zéro est axiomatisé en préalable à travers (premier axiome de Péano, si j'ai bien compris), donc il faut d'abord passer par lui,

Oui (stricto sensu) et non ; quand on utilise les segments initiaux de , 0, n'a pas la signification passionnelle vue ailleurs, c'est juste le premier élément, on pourrait le baptiser 1 sans rien changer.

ou alors vous dîtes "équipotent à un ordinal strictement plus petit que ", auquel cas, il faudrait passer par l'infini pour définir le "fini" afin de savoir ce qu'est l'infini ? Tout cela n'est pas très clair dans mon idée.

Oui (stricto sensu) et non ; j'aurais pu dire "équipotent à un ordinal dont tous les ordinaux inférieurs non nul (ou non vide) ou égaux sont des successeurs", et exit de la définition (stricto sensu).

Suivant la définition de Dedekind, comment l’ensemble vide est-il considéré ?

Est-ce qu'il existe une partie propre de qui soit equipotente à ? Trivialement non, donc est fini.

Dans la définition de Tarski, la notion d'ensemble vide est-elle également définie en premier comme chez Péano ?

Oui (stricto sensu) et non ; dans la mesure ou est définissable (avec le schéma de compréhension et la formule ), il n'a pas besoin d'être une constante dont le symbole serait dans le langage (et définit par un axiome), contrairement à Peano.


PS : il existe plusieurs autres définitions plus ou moins équivalentes.

[Médiat]

Si je comprend bien le sens qui est donné : être vide, fini, infini sont des propriétés qui permettent de caractériser des "suites" d'éléments mathématiques appelés ensemble.

Etre vide, fini, infini sont des propriétés qui permettent de caractériser ensembles.

Le concept d'infini ne peut donc être défini à partir de la notion d'ensemble puisqu'il en est une caractéristique ?

C'est pourtant ce que j'ai montré de trois façons différentes.

De même le cardinal est une propriétés mathématique qui permet la classification des ensembles dénombrable fini et infini selon la relation d'équipotence mais ne peut définir la notion d'infini ?

Les cardinaux permettent de définir :

1. le vide :
2. le fini : est fini
3. le dénombrable : est dénombrable
4. l'infini : est infini
5. l'infini non dénombrable est infini non dénombrable

PS pour certains auteurs "dénombrable" inclu le fini, ce n'est qu'une question de définition (et non de concept) qui ne pose aucun problème.

[invite6754323456711]

C'est pourtant ce que j'ai montré de trois façons différentes.

C'est pour cela que je posais la question car j'ai un "ressenti" d'auto-référence. Mais pour l'instant se ressenti est loin d'être clair donc non formel.

Patrick

[Les Terres Bleues]

Quand on définit une caractéristique, on définit implicitement son contraire, si je suis capable de définir le blanc, je définit implicitement le non-blanc ; bien sûr quand la caractéristique n’a que deux modalités c’est plus simple, une fois défini le fini (resp l’infini), alors l’infini (resp. le fini) est défini.

Je vais essayer de traduire ce que j’en comprends, et si vous le voulez bien, vous me direz si je suis ou non dans l’erreur : en fait, c’est simplement la définition elle-même qui définit à la fois l’un et l’autre. Ils ne sont pas là à attendre passivement d’être découverts par le mathématicien, non, ils ne sont perçus que parce qu’on peut les distinguer l’un de l’autre, le fini et le non-fini, le blanc et le non-blanc pour reprendre l’exemple ne pouvant être implicitement appréhendés qu’ensemble par ce qui permet de les différencier l’un de l’autre et qui s’appelle la définition.

Oui (stricto sensu) et non ; quand on utilise les segments initiaux de , 0, n’a pas la signification passionnelle vue ailleurs, c’est juste le premier élément, on pourrait le baptiser 1 sans rien changer.
Oui (stricto sensu) et non ; j’aurais pu dire "équipotent à un ordinal dont tous les ordinaux inférieurs non nul (ou non vide) ou égaux sont des successeurs", et exit de la définition (stricto sensu).
Oui (stricto sensu) et non ; dans la mesure ou est définissable (avec le schéma de compréhension et la formule ), il n’a pas besoin d’être une constante dont le symbole serait dans le langage (et définit par un axiome), contrairement à Peano.

Je bute sur les termes « schéma de compréhension et la formule ) ». Pour le reste, je vous remercie de vos réponses, que j’interprète ainsi (vous voudrez bien me démentir également si je me trompe) : on pose des règles parce qu’il faut pouvoir travailler (et obtenir des résultats) dans un cadre donné, mais il n’y a pas d’absolu, nous ne nous entendons que sur la base de conventions à respecter afin d’être compris par les personnes qui interviennent dans le domaine considéré, ici, les mathématiques.

Est-ce qu’il existe une partie propre de qui soit équipotente à ? Trivialement non, donc est fini.

Quelle est la signification de « être équipotent à » ?

C'est pour cela que je posais la question car j'ai un "ressenti" d'auto-référence. Mais pour l'instant ce ressenti est loin d'être clair donc non formel.

En ce qui me concerne, mais j'ai peut-être compris tout de travers, j'ai l'impression que c'est là que réside la force de la "définition", elle permet de distinguer par convention des notions que, sans elle, nous ne percevrions pas de la même manière. Ce serait la Tour de Babel.

Sans compter que l'auto-référencement sur une question aussi englobante que le fini et l'infini, ça fait très "zen" comme démarche.

Cordiales salutations.

[Médiat]

Je vais essayer de traduire ce que j’en comprends [...]

Oui, c'est bien cela, avec en plus une intuition des mathématiciens (qui se confirme à l'usage) que l'on ne peut parler du fini et de l'infini de la même façon, d'où l'obligation de les distinguer.

Je bute sur les termes « schéma de compréhension et la formule ) ».

Ce n'es pas grave de buter dessus ; le schéma de compréhension fait partie de l'axiomatisation des ensembles, et on peut définir l'ensemble vide en disant qu'il ne contient que des ensembles différent d'eux-même, et bien sûr il n'en existe pas par définition de l'égalité.

On pose des règles parce qu’il faut pouvoir travailler (et obtenir des résultats) dans un cadre donné, mais il n’y a pas d’absolu, nous ne nous entendons que sur la base de conventions à respecter afin d’être compris par les personnes qui interviennent dans le domaine considéré, ici, les mathématiques.

C'est à peu près cela, on donne des axiomes, des définitions et on fait ce que l'on veut/peut avec, si on n'arrive pas à intéresser les autres avec sa super théorie des licornes roses invisibles, aussi cohérente soit-elle, on remet son mouchoir par-dessus.

Quelle est la signification de « être équipotent à » ?

Un ensemble est équipotent à si il existe une bijection entre et (ce qui ne peut se produire que si )

Sans compter que l'auto-référencement sur une question aussi englobante que le fini et l'infini, ça fait très "zen" comme démarche.

Désolé, mais il ne s'agit pas d'un kōan, et il n'ya pas plus d'auto-référencement dans la définition d'ensemble fini sous le prétexte que cette définition utilise les ensembles, qu'il n'y a d'auto-référencement dans la définition d'un angle droit, sous prétexte que cette définition utilise les angles.

Sur la colline désertée, une nuit sans lune, les fleurs du cerisier tombent.

[Les Terres Bleues]

.
Bonsoir,

J’ai l’impression aujourd’hui d’avoir réellement appris quelque chose.
Et j’ai en plus le sentiment que de votre côté, sans mettre d’agressivité, vous avez retrouvé du mordant.
Ce qui est beaucoup plus agréable.

Encore merci et cordiales salutations.

[Médiat]

Et j’ai en plus le sentiment que de votre côté, sans mettre d’agressivité, vous avez retrouvé du mordant.
Ce qui est beaucoup plus agréable.

Puisque vous amenez le débat la-dessus : Quand vous posez des questions, avec sincérité, j'y réponds si c'est dans mon domaine (ce qui serait dommage pour un fil que j'ai initié), mais quand vous assénez péremptoirement, sans aucune justification, ni même sans définir les termes que vous utilisez, des affirmations qui sont au mieux des provocations, au pire de simples âneries, je me sens moins d'humeur pédagogue.

[Les Terres Bleues]

Re-bonsoir,

Il me reste malgré tout un petit point, un dernier point, encore à éclaircir si vous le voulez bien pour avoir l’esprit totalement tranquille. Lorsque vous dites :

Quand on définit une caractéristique, on définit implicitement son contraire, si je suis capable de définir le blanc, je définis implicitement le non-blanc ; bien sûr quand la caractéristique n'a que deux modalités c'est plus simple, une fois défini le fini (resp l'infini), alors l'infini (resp. le fini) est défini.

De la même manière, est-on en droit de considérer que lorsque l’on définit une chose concrète, une étoile par exemple, on définit alors implicitement la non-étoile, c’est-à-dire la totalité du ciel qui l’entoure ? Ça marche ou pas dans ces cas-là ?

Merci d'avance et cordiales salutations.

[Médiat]

Bonjour,

De la même manière, est-on en droit de considérer que lorsque l’on définit une chose concrète, une étoile par exemple, on définit alors implicitement la non-étoile, c’est-à-dire la totalité du ciel qui l’entoure ? Ça marche ou pas dans ces cas-là ?

Quand on essaye d'appliquer à un domaine non mathématique un principe mathématique, il faut prendre de très grandes précautions, la preuve, mon exemple du blanc et du non-blanc est très mauvais, car tel que je l'ai donné il s'applique à "la curiosité" par exemple, comme il y a peu de chance que le critère du blanc s'applique, je serais donc amené à dire que "la curiosité" est non-blanche, il serait plus pertinent de dire que la notion de couleur ne s'applique pas (scientifiquement) à "la curiosité" (poétiquement on peut tout se permettre, y compris de prétendre que "le révolver a des cheveux blancs").

Un meilleur exemple aurait été de dire que lorsque je définis "angle droit", je définis aussi "angle non-droit", montrant ainsi que je ne me demande pas si IN est droit ou non-droit.

Autrement dit, il me paraît essentiel de faire, en premier, lieu le chemin intellectuel qui va du multiple au un (cf. Platon) et ensuite définir une propriété faisant sens pour chacun des uns de ce multiple devenu un.

Dans le cas des étoiles, si on est capable de définir la notion d'objets célestes (dans laquelle on va trouver des étoiles, des planètes, des satelites, des trou noirs, des quasars, etc.) et dans ce "un" on va pouvoir définir des critères pour être une étoile (en faisant attention que les critères en question s'appliquent à tous les objets célestes), ce qui définira implicitement la notion "d'objet céleste qui n'est pas une étoile".

Petit prêche pour ma paroisse : les deux paragraphes précédents sont juste l'application du schéma de compréhension : si x est un ensemble et si P est une propriété qui s'exprime dans le langage de la théorie, alors les éléments de x qui possède la propriété P forment un ensemble (et ceux qui ne la possède pas forment un autre ensemble). Je vous laisse trouver la correspondance entre ces deux façons de dire les choses.

Sujet de bac : la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel est-elle une illustration de la philosophie de Platon ?

[invite6754323456711]

Bonjour,

Autrement dit, il me paraît essentiel de faire, en premier, lieu le chemin intellectuel qui va du multiple au un (cf. Platon) et ensuite définir une propriété faisant sens pour chacun des uns de ce multiple devenu un.

Dans le cas des étoiles, si on est capable de définir la notion d'objets célestes (dans laquelle on va trouver des étoiles, des planètes, des satelites, des trou noirs, des quasars, etc.) et dans ce "un" on va pouvoir définir des critères pour être une étoile (en faisant attention que les critères en question s'appliquent à tous les objets célestes), ce qui définira implicitement la notion "d'objet céleste qui n'est pas une étoile".

Cette approche a de forte ressemblance avec une démarche de conception orienté objet. Les Classes abstraites servent de base à d'autres classes dérivées (héritées) et permettent de définir des comportements (appelés méthodes). Les objets quant à eux sont des instances de classe et ont une existence en soi.

On parlerait plutôt de la classe abstraite Céleste à partir de laquelle on pourrait dériver la classes étoile et un object/élément possible de cette dernière pourrait être le soleil.

Concept souvent utilisé qui est le partitionnement (ou héritage à partir d’une classe abstraite)

La classe est partitionnée en l’ensemble de ses sous-classes directes, et l’union (ensembliste) des instances de ces sous-classes représente l’extension de la classe. Une autre manière de voir le partitionnement est de considérer que la (sur-)classe est une généralisation de ses sous-classes, qui en factorise les/leur propriétés communes.

Ainsi que la spécialisation (héritage à partir d’une classe non abstraite).

Par exemple l’ensemble des figures géométriques (planes) se subdivise (partitionnent) en l’ensemble des figures ouvertes et l’ensemble des figures fermées, ce dernier étant lui-même subdivisé (spécialisation) en l’ensemble des polygones (...), et l’ensemble des ellipses (...)

Patrick

[Les Terres Bleues]

Quand on essaye d'appliquer à un domaine non-mathématique un principe mathématique, il faut prendre de très grandes précautions,

Là, c’est un point important ! En ce qui me concerne j’ai toujours tendance à m’emballer, à manquer de prudence et à finalement mal comprendre ce dont il est question.

la preuve, mon exemple du blanc et du non-blanc est très mauvais, car tel que je l'ai donné il s'applique à "la curiosité" par exemple, comme il y a peu de chance que le critère du blanc s'applique, je serais donc amené à dire que "la curiosité" est non-blanche, il serait plus pertinent de dire que la notion de couleur ne s'applique pas (scientifiquement) à "la curiosité" (…). Un meilleur exemple aurait été de dire que lorsque je définis "angle droit", je définis aussi "angle non-droit", montrant ainsi que je ne me demande pas si IN est droit ou non-droit.

Maintenant, si on suit cette argumentation, il faudrait pratiquement revenir au point de départ, lorsqu’il a été confirmé que la définition du fini cernait celle du non-fini et donc de l’infini, parce qu’en posant le raisonnement en ces termes, ni le « fini moins un » ni le « fini plus un » n’affirment l’infini, non ? Pourtant les trois définitions initiales étant correctes et exprimant bien la finitude d’un ensemble, on s’aperçoit alors qu’un tel ensemble fini diminué (ou augmenté) d’un élément (ou de plusieurs) reste toujours fini, et poursuivre une telle diminution (ou une telle augmentation) du nombre d’éléments constituant ledit ensemble ne change pas sa nature mais tend tout simplement à le mener vers une sorte de limite. Du moins, c’est ce qu’il me semble que l’on devrait déduire.

Autrement dit, il me paraît essentiel de faire, en premier, lieu le chemin intellectuel qui va du multiple au un (cf. Platon) et ensuite définir une propriété faisant sens pour chacun des uns de ce multiple devenu un.
Dans le cas des étoiles, si on est capable de définir la notion d'objets célestes (dans laquelle on va trouver des étoiles, des planètes, des satellites, des trous noirs, des quasars, etc.) et dans ce "un" on va pouvoir définir des critères pour être une étoile (en faisant attention que les critères en question s'appliquent à tous les objets célestes), ce qui définira implicitement la notion "d'objet céleste qui n'est pas une étoile".
Petit prêche pour ma paroisse : les deux paragraphes précédents sont juste l'application du schéma de compréhension : si x est un ensemble et si P est une propriété qui s'exprime dans le langage de la théorie, alors les éléments de x qui possèdent la propriété P forment un ensemble (et ceux qui ne la possèdent pas forment un autre ensemble). Je vous laisse trouver la correspondance entre ces deux façons de dire les choses.

Épreuve-test pour vérifier si j’ai bien assimilé cette notion de « schéma de compréhension ». Dans l’ensemble x des particules de l’univers, P est une propriété ainsi définie : posséder une énergie. Toutes les éléments de x qui satisfont la condition P forment donc un sous-ensemble de x, ceux qui ne la satisfont pas forment un autre sous-ensemble.

Encore merci et cordiales salutations.

[Médiat]

Maintenant, si on suit cette argumentation, il faudrait pratiquement revenir au point de départ, lorsqu’il a été confirmé que la définition du fini cernait celle du non-fini et donc de l’infini, parce qu’en posant le raisonnement en ces termes, ni le « fini moins un » ni le « fini plus un » n’affirment l’infini, non ? Pourtant les trois définitions initiales étant correctes et exprimant bien la finitude d’un ensemble, on s’aperçoit alors qu’un tel ensemble fini diminué (ou augmenté) d’un élément (ou de plusieurs) reste toujours fini, et poursuivre une telle diminution (ou une telle augmentation) du nombre d’éléments constituant ledit ensemble ne change pas sa nature mais tend tout simplement à le mener vers une sorte de limite. Du moins, c’est ce qu’il me semble que l’on devrait déduire.

On peut aller plus loin, si A et B sont finis, alors A union B est fini (mais l'union infinie d'ensembles finis peut être infinie), l'intersection, même infinie, d'ensembles finis est finie.

Pour la notion de limite, c'est exactement pourquoi certains ordinaux s'appellent des ordinaux limites, étant le plus petit.

Épreuve-test pour vérifier si j’ai bien assimilé cette notion de « schéma de compréhension ». Dans l’ensemble x des particules de l’univers, P est une propriété ainsi définie : posséder une énergie. Toutes les éléments de x qui satisfont la condition P forment donc un sous-ensemble de x, ceux qui ne la satisfont pas forment un autre sous-ensemble.

C'est bien cela, et si on ne précise pas, dès le départ, que l'on parle d'un ensemble de particules, on risque de dire n'importe quoi, par exemple que "la curiosité" a (ou n'a pas) une énergie (ce qui serait la porte ouverte à des analogies sans fondements).

[invite6754323456711]

Etre fini ou infini est une caractéristique d'un ensemble, c'est donc un ensemble qui peut être infini et non l'infini qui est un ensemble.

Dans l’ensemble x des particules de l’univers, P est une propriété ainsi définie : posséder une énergie. Toutes les éléments de x qui satisfont la condition P forment donc un sous-ensemble de x, ceux qui ne la satisfont pas forment un autre sous-ensemble.

Je pense que m'a confusion entre ensemble et infini provient que les êtres "primitif/fondamental" mathématiques tel les ensembles ne sont définissable que par des propriétés. Il n'est nul besoin de connaitre l'essence de la notion d'ensemble pour pouvoir raisonner dessus (il faut juste connaître les lois élémentaires qui régissent les ensembles).

La notion de nombre transfini (sens au delà du fini ), qui est un ensemble, m'a induit à l'erreur de confondre ensemble et infini.

Patrick

[Les Terres Bleues]

Épreuve-test pour vérifier si j’ai bien assimilé cette notion de « schéma de compréhension ». Dans l’ensemble x des particules de l’univers, P est une propriété ainsi définie : posséder une énergie. Tous (j’ai rectifié la faute) les éléments de x qui satisfont la condition P forment donc un sous-ensemble de x, ceux qui ne la satisfont pas forment un autre sous-ensemble.

C’est bien cela, et si on ne précise pas, dès le départ, que l’on parle d’un ensemble de particules, on risque de dire n’importe quoi, par exemple que "la curiosité" a (ou n’a pas) une énergie (ce qui serait la porte ouverte à des analogies sans fondements).

J’ai bien conscience que cette discussion dont vous êtes l’initiateur est avant tout une réflexion mathématique, mais je souhaiterais prolonger l’analogie physique amorcée avec les particules et cette propriété de posséder ou pas une énergie. Mais si vous ne vouliez pas répondre et (ou) si vous préfériez qu’un autre le fasse à votre place, sachez que je ne vous en tiendrais pas grief.

Est-il aberrant de postuler le cardinal (si c’est le mot qui convient) de cet ensemble des particules de l’univers comme infini ? Par axiome uniquement bien entendu, car rien ne nous le prouve.
Relativement à la propriété P de posséder ou non une énergie, nous sommes alors en capacité de séparer (conceptuellement) d’un côté un ensemble vide (puisqu’il n’existe pas de particule non dotée d’énergie), et de l’autre un ensemble infini. Est-ce que ce raisonnement tient la route, ou est-ce que je dérape quelque part ?

Merci d’avance et cordiales salutations.

[Médiat]

Mais si vous ne vouliez pas répondre

Il s'agit manifestement de physique, comme je l'ai dit au post #1 :

le thème de l'infini en mathématiques (le seul domaine où je peux m'exprimer)

[Les Terres Bleues]

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Bonsoir,

Oui, d'accord. Pas de problème.

Un dernier truc, là, c'est de nouveau des maths.
En plus, j'ai bien essayé d'apprendre un petit peu dans l'intervalle, mais au lieu de s’éclaircir, les choses ne font que s’embrouiller davantage.

À part lui-même, un ensemble compte toujours au moins un autre sous-ensemble : l’ensemble vide. Ces deux sous-ensembles sont parfois dits « triviaux ».

Si on les en croit, alors l’ensemble vide est nécessairement un sous-ensemble de lui-même. Et ça démolit ma compréhension de la réponse fournie au message #6 :

Un ensemble est équipotent à s’il existe une bijection entre et (ce qui ne peut se produire que si ).

Il existerait donc bel et bien un autre ensemble équipotent à l’ensemble vide qui ne serait pas l'ensemble vide lui-même mais qui serait ce fameux "sous-ensemble trivialement défini".

Si vous disposez d'une réponse simple, allez-y, je vous en prie. Mais s’il est nécessaire de faire appel à de nouveaux axiomes ou à d’autres schémas de compréhension, ce n’est même pas la peine que vous vous fatiguiez. Je renonce.
Hier, je croyais avancer. Aujourd’hui, c'est encore plus confus dans mon esprit .

Merci quand même de tous vos efforts.
Cordiales salutations.

[Médiat]

.
Il existerait donc bel et bien un autre ensemble équipotent à l’ensemble vide qui ne serait pas l'ensemble vide lui-même mais qui serait ce fameux "sous-ensemble trivialement défini".

Sauf que ce fameux sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même (et, d'ailleurs, ce n'est pas un sous-ensemble propre), il n'y a donc aucun problème.

[Les Terres Bleues]

Sauf que ce fameux sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même (et, d'ailleurs, ce n'est pas un sous-ensemble propre), il n'y a donc aucun problème.

Veuillez croire que j'y mets le meilleur de ma volonté, mais ce que je constate, c'est que dans les trois cas, avant de pouvoir définir la notion de "finitude" d'un ensemble, on est forcé de faire un détour préalable pour comprendre celle d'ensemble vide.

Il se contient lui-même, mais il ne contient rien.

Bon, j'accepte ces axiomes sans les discuter, mais je trouverais plus honnête que l'on affiche franchement ce qu'il en est vraiment.

Cordiales salutations.

[shokin]

À part lui-même, un ensemble compte toujours au moins un autre sous-ensemble : l’ensemble vide.

L'ensemble vide serait-il une exception ?



Shokin

[Médiat]

Il se contient lui-même, mais il ne contient rien.

Vous confondez appartenance et inclusion : l'ensemble vide ne contient rien, mais il est inclus dans lui-même (comme tous les ensembles (y compris l'ensemble vide), puisque tous les éléments d'un ensemble (y compris l'ensemble vide) appartiennent à cet ensemble).

Le point délicat à comprendre c'est qu'une propriété universelle (du genre ) est toujours vérifiée par l'ensemble vide, pour s'en convaincre, il suffit de considérer la propriété contraire et de se demander si il existe dans l'ensemble vide un élément qui vérifie (non P), à l'évidence il n'y en a pas !

[Les Terres Bleues]

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Je vous fais davantage crédit qu’à Wikipédia , aussi je replace leur citation de tout à l’heure en ayant mis en rouge les termes qui posent problème et qu’il leur appartiendrait de corriger. (Il leur serait peut-être plus simple de revoir la formulation en entier.)

À part lui-même, un ensemble compte toujours au moins un autre sous-ensemble : l’ensemble vide. Ces deux sous-ensembles sont parfois dits « triviaux ». Par opposition, les autres sous-ensembles sont appelés sous-ensembles propres (on dit aussi partie propre).

Vous confondez appartenance et inclusion : l’ensemble vide ne contient rien, mais il est inclus dans lui-même (comme tous les ensembles (y compris l’ensemble vide), puisque tous les éléments d’un ensemble (y compris l’ensemble vide) appartiennent à cet ensemble).

Est-ce qu'il peut être à la fois un ensemble et un élément ?

Le point délicat à comprendre c’est qu’une propriété universelle (du genre ) est toujours vérifiée par l’ensemble vide, pour s’en convaincre, il suffit de considérer la propriété contraire et de se demander si il existe dans l’ensemble vide un élément qui vérifie (non P), à l’évidence il n’y en a pas !

Ça ne me gêne pas que les choses soient présentées ainsi, mais ça pré-suppose que la définition ou la compréhension de la notion d’ensemble vide soit acquise.

Je ramasse mon argumentation : trois définitions du "fini", trois détours par le zéro ou par l’ensemble vide.

-- Pour Peano, dès le 1er axiome : « l’élément appelé zéro et noté : 0, est un entier naturel. »

-- Pour Dedekind : « un ensemble est fini si et seulement si il n’est équipotent à aucune de ses parties propres. » Toutefois, il a d’abord fallu comprendre l’ensemble vide puisqu’il était nécessaire de vérifier qu’il n’existerait pas dans son cas une de ses parties propres qui lui fût équipotente ? Maintenant, nous avons la réponse :

Sauf que ce fameux sous-ensemble de l’ensemble vide est l’ensemble vide lui-même (et, d’ailleurs, ce n’est pas un sous-ensemble propre), il n’y a donc aucun problème.

-- Pour Tarski : « Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l’inclusion. » L’ensemble vide est stipulé dans la définition, et reste donc incontournable.

Je trouverais logique qu'on dise franchement, on ne peut pas s'en passer quelle que soit la manière dont on veut définir le "fini".

Cordiales salutations.

[Les Terres Bleues]

Wikipédia

Excusez-moi, le lien Wikipédia était mal inséré.

Voir § Inclusion stricte et sous-ensembles propres.

[Médiat]

Est-ce qu'il peut être à la fois un ensemble et un élément ?

Comme tous les ensembles.

Ça ne me gêne pas que les choses soient présentées ainsi, mais ça pré-suppose que la définition ou la compréhension de la notion d’ensemble vide soit acquise.

Que la définition de l'ensemble vide soit nécéssaire à la compréhension d'une propriété de l'ensemble vide me paraît assez normal, non ?

Je ramasse mon argumentation : trois définitions du "fini", trois détours par le zéro ou par l’ensemble vide.

Argument artificiel, comme je l'ai déjà dit.

-- Pour Peano, dès le 1er axiome : « l’élément appelé zéro et noté : 0, est un entier naturel. »

J'ai déjà contesté cet argument.

-- Pour Dedekind : « un ensemble est fini si et seulement si il n’est équipotent à aucune de ses parties propres. » Toutefois, il a d’abord fallu comprendre l’ensemble vide puisqu’il était nécessaire de vérifier qu’il n’existerait pas dans son cas une de ses parties propres qui lui fût équipotente ?

Sophisme absolu : vous dîtes que la définition du fini fait appel au vide puisque le vide est fini

-- Pour Tarski : « Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l’inclusion. » L’ensemble vide est stipulé dans la définition, et reste donc incontournable.

Oui, et alors ? Je répète que l'ensemble vide est définissable et n'est donc pas un objet "premier", de plus l'exclusion du vide porte ici sur la famille et non sur les éléments de la famille, et est rendu nécessaire par la propriété existentielle de cette famille.

Je trouverais logique qu'on dise franchement, on ne peut pas s'en passer quelle que soit la manière dont on veut définir le "fini".

C'est faux dans deux définitions sur trois, mais surtout : et alors ? L'ensemble vide est clairement un élément particulier, il a donc des propriétés particulière (de la même façon que 1 pour la multiplication des entiers naturels a des propriétés particulières et l'analogie va plus loin que ce simple constat).

Je trouverais plus honnête que vous disiez franchement où vous voulez en venir, cela vous éviterait de me forcer à répéter des choses déjà dîtes, vous permettrait d'aller directement au but et surtout d'aller le faire sur un autre fil, puisque ce n'est clairement pas le sujet de celui-ci.

[Les Terres Bleues]

-- Pour Peano, dès le 1^er axiome : « l’élément appelé zéro et noté : 0, est un entier naturel. »

J’ai déjà contesté cet argument.

Plus fort que Wikipédia, je vous l’accorde volontiers. Mieux que Peano ? Je n’irai pas jusque là.

Que la définition de l’ensemble vide soit nécessaire à la compréhension d’une propriété de l’ensemble vide me paraît assez normal, non ?

À moi également. Aucune objection, il s’agissait juste d’une observation. Et je constate que nous n’avons pas de différent sur ce point.

-- Pour Dedekind : « un ensemble est fini si et seulement si il n’est équipotent à aucune de ses parties propres. » Toutefois, il a d’abord fallu comprendre l’ensemble vide puisqu’il était nécessaire de vérifier qu’il n’existerait pas dans son cas une de ses parties propres qui lui fût équipotente ?

Sophisme absolu : vous dîtes que la définition du fini fait appel au vide puisque le vide est fini.

Doit-on considérer que votre réponse implique que, selon Dedekind, l’ensemble vide est non-fini, et remet-elle en selle la définition de Wikipédia sur l’inclusion stricte et les sous-ensembles propres ? Ou bien que vos définitions initiales étant dépourvues de limite explicite entre le fini et l’infini s’avèrent au final non-concluantes ?

Je trouverais plus honnête que vous disiez franchement où vous voulez en venir, cela vous éviterait de me forcer à répéter des choses déjà dîtes, vous permettrait d’aller directement au but et surtout d’aller le faire sur un autre fil, puisque ce n’est clairement pas le sujet de celui-ci.

S’il vous plaît, vous souhaitez ne pas être conduit à répéter des choses déjà dites, croyez bien qu’il en va de même pour moi. Je n’interviens jamais sur aucun des deux forums consacrés aux mathématiques, et si vous avez choisi de placer cette discussion « Le fini est plus compliqué que l'infini ! » en épistémologie, c’est bien afin de questionner ces concepts. Je ne cherche pas autre chose.
Historiquement, le fini était posé comme résultant d’une création d’essence divine. La science s’est affranchie (et nous a affranchi) des dogmes religieux. Sachons rester lucides, nous n’avons que des conventions de compréhension, pas des vérités absolues.
Je reprendrais pour terminer mon intervention, si vous le permettez, la formule que j’ai déjà énoncée dans le message #9 : « C’est simplement la définition elle-même qui définit à la fois l’un et l’autre. Ils ne sont pas là à attendre passivement d’être découverts par le mathématicien, non, ils ne sont perçus que parce qu’on peut les distinguer l’un de l’autre, le fini et le non-fini ne pouvant être implicitement appréhendés qu’ensemble par ce qui permet de les différencier l’un de l’autre et qui s’appelle la définition. »

Bonne continuation sans ma participation, et cordiales salutations.

[Médiat]

Plus fort que Wikipédia, je vous l’accorde volontiers. Mieux que Peano ? Je n’irai pas jusque là.

Soyez attentif, ce n'est pas Peano que je conteste mais votre affirmation que 0 est essentiel à la définition du fini. Il suffit de remplacer "de la forme [0 ; n[)" par "de la forme [17 ; n[)", cequi ne changerait rien à la définition du "fini", pour que vous puissiez affirmer que 17 est essentiel à la définition du fini.

À moi également. Aucune objection, il s’agissait juste d’une observation. Et je constate que nous n’avons pas de différent sur ce point.

Donc vous admettez avoir eu tort d'écrire :

trois définitions du "fini", trois détours par le zéro ou par l’ensemble vide

Nous sommes donc, effectivement, d'accord.

Doit-on considérer que votre réponse implique que, selon Dedekind, l’ensemble vide est non-fini, et remet-elle en selle la définition de Wikipédia sur l’inclusion stricte et les sous-ensembles propres ?

Bien sur que non, voudriez-vous en arriver à dire que l'ensemble vide et donc le 0 ne sont pas fini, donc ils sont infinis et retrouver votre équation favorite entre 0 et infini, mais désolé, cela ne marche pas !.

Ou bien que vos définitions initiales étant dépourvues de limite explicite entre le fini et l’infini s’avèrent au final non-concluantes ?

Ces définitions sont parfaitement concluantes, ce sont des conditions nécessaires et suffisantes.

S’il vous plaît, vous souhaitez ne pas être conduit à répéter des choses déjà dites, croyez bien qu’il en va de même pour moi. Je n’interviens jamais sur aucun des deux forums consacrés aux mathématiques, et si vous avez choisi de placer cette discussion « Le fini est plus compliqué que l'infini ! » en épistémologie, c’est bien afin de questionner ces concepts. Je ne cherche pas autre chose.

Certes, mais si vous ne lisez pas les réponses, vous répétez les mêmes erreurs, ce qui me conduit à me répéter...

Historiquement, le fini était posé comme résultant d’une création d’essence divine. La science s’est affranchie (et nous a affranchi) des dogmes religieux. Sachons rester lucides, nous n’avons que des conventions de compréhension, pas des vérités absolues.

Si vous le dîtes, mais ici, c'est un forum d'épistémologie, ni de théologie, ni de numérologie.

Je reprendrais pour terminer mon intervention, si vous le permettez, la formule que j’ai déjà énoncée dans le message #9 : « C’est simplement la définition elle-même qui définit à la fois l’un et l’autre. Ils ne sont pas là à attendre passivement d’être découverts par le mathématicien, non, ils ne sont perçus que parce qu’on peut les distinguer l’un de l’autre, le fini et le non-fini ne pouvant être implicitement appréhendés qu’ensemble par ce qui permet de les différencier l’un de l’autre et qui s’appelle la définition. »

Euh ... oui ! Vous auriez aussi pu écrire :

Définition : Détermination précise et concrète des caractères distinctifs d'un être
ou encore
Proposition qui met en équivalence un être à définir, avec un ensemble d'attributs qui déterminent ses caractères essentiels

PS : toutes ces digressions ne sont en aucun cas le sujet principal de ce fil.