tautologies, axiomes et règles

[Médiat]

C'est l'interprétation que je fais de "G exprime l’idée que la formule G ne peut pas être démontrée à partir des axiomes mathématiques"

S. Hawking simplifie énormément la démonstration de Gödel (qui ne tient pas en 5 lignes), et la numérotation de Gödel ne permet pas de créer un code pour une formule qui utilise son propre code (c'est plus subtile que cela, et j'ai déjà répondu à une question sur ce point, mais je ne sais plus dans quel fil ...).

En fait votre phrase précédente me fait plutôt penser au deuxième théorème d'incomplétude, mais il nécessite des conditions précises.

Par exemple, je ne vois pas quel sens donner à :
"La théorie des ordres totaux denses sans extremums ne peut se démontrer elle-même".

Et pourtant je n'ai fait qu'adapter votre affirmation à un cas particulier.
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[invite6754323456711]

c'est plus subtile que cela

C'est ce qui me semble. J'en reste alors à ma vision basique que l'on pourra toujours étendre les théories qui assureraient la fondation des mathématiques.

Patrick

[karlp]

Pas de problème j'ai l'original.

Encore une illustration du mauvais usage du mot "vrai".

Horreur ! (JY Girard utilise le même vocabulaire, mais de toute façon, je ne l'aime pas )



Je reprécise ma position :

1) "Proposition Vraie" n'a de sens que sémantique (sinon on dit un théorème, ou une proposition démontrable)
2) "La proposition p est vraie dans le modèle M de la théorie T" est une phrase non ambigüe, et parfaitement licite.
3) "La proposition p est vraie dans la théorie T" ne devrait être utilisée que pour dire que cette proposition est vraie dans tous les modèles de T
4) Les platoniciens utilisent souvent la forme "La proposition p est vraie" pour signifier que p est vraie dans le modèle standard de la théorie T.
5) Je trouve inconsistante l'utilisation précédente du mot vrai, surtout que cela ne coute rien de préciser "La proposition p est vraie dans le modèle standard"
6) Je peux comprendre que pour un platonicien, seul le modèle standard soit intéressant.
7) Je n'arrive pas à comprendre comment on peut affirmer que le modèle standard existe et pas les modèles non-standard.
8) Est-ce que vous diriez que la commutativité est vraie dans la théorie des groupes sous le seul prétexte que votre groupe préféré est commutatif ?
9) Quelle est la définition de "modèle standard" ? (En tant que formaliste, j'en ai une assez bonne idée, mais là c'est aux platoniciens de se manifester)
10) Que se passe-t-il pour les théories n'ayant pas de modèle standard ?
11) Comment peut-t-on dire (j'économise les pré-requis de chaque théorème) "une proposition est vraie si et seulement si elle est démontrable" (théorème de complétude) et "dans les théories telles que [...] il existe des propositions vraies mais non démontrables" (théorème d'incomplétude), sans avoir le fort sentiment d'avoir exprimé une contradiction flagrante ?

Cordialement

Je poursuis donc, puisque vous me le permettez aimablement.

3 C'est clair pour moi.

4 Je ne sais pas ce qu'est la théorie dîte "standard". J'ai lu des articles sur les nombres appelés nombres non standards (les infinitésimaux) mais c'est tout ce que ce mot m'évoque.

Je connais par ailleurs Platon et sa position sur l'existence des objets mathématiques. Je crois qu'on peux dire que Frege était Platonicien; Cantor aussi dans la mesure où il affirme que les transfinis existent dans l'entendement divin et qu'il n'a fait que les découvrir (Cantor refusait par ailleurs l'existence des infinitésimaux sous prétexte qu'ils ne sont pas archimédiens). Gödel aussi l'était (cf. "Les démons de Gödel" de Pierre Cassou-Noguès).

Mais vous semblez faire allusion à une catégorie bien spécifiques de platonicien:
Je partage votre point de vue exprimé en5,6,7 en vertu de l'argument 8
Gödel se serait vraisemblablement montré plus "prudent", admettant un hiatus possible entre les mathématiques humaines et les mathématiques du lieu intelligible.

9 Vous provoquez ma curiosité, n'ayant aucune connaissance sur ce sujet.
Je crois connaître les idées de base du "formalisme". Hilbert en était un si je ne m'abuse. Pourrions nous résumer les idées de base ainsi: dès lors que les nouveaux objets sont rigoureusement définis à partir de connaissances déjà établies, qu'ils n'engendrent aucune contradiction et qu'ils se révèlent non stériles, ont peux les admettre, en dehors de la question de leur existence en un autre lieu (intelligible) ?

11 Cette expression est effectivement contradictoire.

[Médiat]

4 Je ne sais pas ce qu'est la théorie dîte "standard". J'ai lu des articles sur les nombres appelés nombres non standards (les infinitésimaux) mais c'est tout ce que ce mot m'évoque.

Faute de frappe sans doute, je parlais bien du "modèle standard", qui, quand on parle de l'arithmétique n'est autre que IN.

Mais vous semblez faire allusion à une catégorie bien spécifiques de platonicien:

Les mathématiciens que vous avez cités sont bien des platoniciens, on peut y ajouter Alain Connes, par exemple. Je ne faisais pas allusion à une catégorie particulière de platonicien (sauf à considérer que ceux qui parlent de logique forme une catégorie particulière ).

9 Vous provoquez ma curiosité

C'était bien le but .

Je crois connaître les idées de base du "formalisme". Hilbert en était un si je ne m'abuse. Pourrions nous résumer les idées de base ainsi: dès lors que les nouveaux objets sont rigoureusement définis à partir de connaissances déjà établies, qu'ils n'engendrent aucune contradiction et qu'ils se révèlent non stériles, ont peux les admettre, en dehors de la question de leur existence en un autre lieu (intelligible) ?

Absolument, et encore la clause de non stérilité est discutable, ce n'est pas parce que dela ne sert à rien que ce n'est pas indispensable (n'injurions pas l'avenir )

11 Cette expression est effectivement contradictoire.

Donc vous comprenez mes réactions épidermiques quand je lis des expressions comme celle de Delahaye (vulgarisateur bien connu (donc dangereux ), ou comme Girard :

Si T est "suffisamment expressive" et consistante, il existe une formule G, qui est vraie, mais non provable dans T.

Heureusement il a un sursaut

Remarquons que Gödel préfère parler de formule indécidable dans T, ce qui a l'effet d'éviter la notion épistémologiquement suspecte de vérité.

Malheureusement, comme j'espère l'avoir montré, ce n'est pas le seul défaut de cette façon de dire les choses ; et j'insiste encore : alors qu'il y a une façon simple d'être clair qui est aussi une façon clair d'être simple.

[karlp]

si je vous ai bien compris, le modèle standard de l'arithmétique serait celui qui est le plus en vogue ? Effectivement je ne crois pas que la popularité ou la vraisemblance d'un modèle puisse être invoqués comme preuve de sa réalité, à l'exclusion des autres modèles. C'est là un argument épistémologiquement très faible.

Concernant l'usage du terme "vérité", je crois que je commence à comprendre.
Je saisi bien en quoi les formules vraies des langages du deuxième ordre ne sauraient être confondues avec les tautologies du premier ordre.
Par ailleurs je crois que l'usage qui est fait du terme "vérité" par tous les auteurs que j'ai mentionné est métaphorique et ambigu, ce qui n'est pas souhaitable dans le champ des disciplines formelles.

Il me semble alors que lorsque ces auteurs parlent de propositions indémontrables (dans le cadre du système où elles s'expriment) mais "vraies", ils veulent dire : "qu'un sujet humain admettrait comme vraies"; ce qui est très différent de la vérité telle qu'elle est définie dans l'exemple que je vous ai proposé et que vous avez, pour ma plus grande joie, validé.

Ou bien : peut-être veulent -ils dirent que ces mêmes propositions seraient démontrables et vraies dans le cadre d'un système plus puissant ?

-en tous cas il m'est très agréable de voir ainsi une de mes erreurs être en passe d'être corrigée, merci encore-

[Médiat]

si je vous ai bien compris, le modèle standard de l'arithmétique serait celui qui est le plus en vogue ? Effectivement je ne crois pas que la popularité ou la vraisemblance d'un modèle puisse être invoqués comme preuve de sa réalité, à l'exclusion des autres modèles. C'est là un argument épistémologiquement très faible.

C'est effectivement le plus populaire, mais la raison pour laquelle il est standard est quand même un petit peu plus mathématiques (et entraine la popularité) :
Popularité : pour la très grosse majorité des gens, y compris la plupart des mathématiciens, lorsque l'on parle d'arithmétique, il est sous-entendu qu'ils parlent de IN (le modèle standard), pour un nombre plus restreint, (mathématiciens pour la plupart) il est sous-entendu qu'ils parlent de l'arithmétique de Peano, et pour une minorité, ils parlent des modèles possibles de l'arithmétique de Peano, voire d'arithmétiques exotiques, vous trouverez des exemples de telles arithmétiques dans : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1980944
Mathématique : le modèle standard de l'arithmétique de Peano se plonge élémentairement dans tous les modèles de l'arithmétique de Peano (et cette définition est généralisable, c'est celle d'un modèle premier, mais bon, je ne suis qu'un formaliste ).

Ou bien : peut-être veulent -ils dirent que ces mêmes propositions seraient démontrables et vraies dans le cadre d'un système plus puissant ?

Toute proposition indécidable p d'une théorie consistante T peut devenir démontrable dans une théorie plus puissante il suffit de considérer (T U{p}), (c'est presque la définition d'indécidable) et donc sont vraies dans tous ses modèles.
Il y a un cas intéressant, c'est celui de Woodin qui considère que non HC est vraie (et je condamne toujours ce vocabulaire) parce qu'il a trouvé une caractérisation des théories plus puissantes que ZF telle que les plus intéressantes (pour un certain critère) démontrent non HC.
Je ne résiste pas au plaisir de vous citez le professeur qui m'a donné envie de laisser tomber les mathématiques "usuelles" au profit de la logique :

Et c’est ainsi que, dans des articles comme celui-ci [note : il s'agit de l'article de Woodin sur HC], on discute du sexe des anges pour savoir si HC est vraie ou fausse (!) ; au lieu de poser le seul véritable, et fort difficile, problème :
écrire un programme qui corresponde à HC et comprendre ce qu’il fait.

Krivine est un spécialiste de Curry-Howard

[karlp]

Mon inculture va vous faire rire: je croyais que IN était à entendre dans le sens d'opposé à "out".
J'ai quelque vague souvenir de l'arithmétique de Peano, sans plus.

Quand vous évoquez HC (ou plus exactement non HC) : faîtes vous référence à l'hypothèse du continu ?
Si c'est le cas, il me semble pourtant que Cohen a démontré l'indécidabilité de cette hypothèse dans le cadre de l'axiomatique de Zermelo Fraenkel... mais j'ai le sentiment que HC désigne autre chose ici ?

[karlp]

Après vérification, j'ai constaté qu'il s'agissait bien de l'hypothèse du continu.

Je ne peux en effet souscrire à l'affirmation de Woodin: ce serait méconnaître la dépendance des théorèmes vis à vis des axiomes ou, pire encore, faire semblant d'oublier que rien ne nous permet d'affirmer la définitive supériorité d'une axiomatique sur toute autre axiomatique possible

[Médiat]

Après vérification, j'ai constaté qu'il s'agissait bien de l'hypothèse du continu.

Je vous le confirme.

Je ne peux en effet souscrire à l'affirmation de Woodin: ce serait méconnaître la dépendance des théorèmes vis à vis des axiomes ou, pire encore, faire semblant d'oublier que rien ne nous permet d'affirmer la définitive supériorité d'une axiomatique sur toute autre axiomatique possible

Disons que Woodin a trouvé un argument intéressant pour choisir non HC plutôt que HC (ce choix est possible grace à Gödel et Cohen qui ont démontré que HC est indécidable dans ZFC).

En tant que formaliste la seule façon de dire les choses est bien "choisir", pour un platonicien, le choix des mots est plus délicat puisqu'il lui faut trouver la "vérité de ce qui existe" (une bonne raison pour laquelle je ne suis pas platonicien).

Woodin a présenté les choses comme un platonicien (ou comme un journaliste en mal de sensationnel ?), mais au dernière nouvelles il semblerait qu'il prépare un article où il prendrait une position tout à fait opposée (ce qui ne me choque pas, en tant que formaliste).

[karlp]

Je vous avoue être quelque peu étonné par cette volonté de certains platonicien de "réduire" ainsi la "réalité" mathématique, en fonction de critères dont il faudrait préalablement s'assurer qu'ils sont eux mêmes "vrais".

Pourtant d'autres platoniciens se sont montrés beaucoup plus "ouverts"

Cantor disait bien que "l'essence des mathématiques c'est la liberté" et ses critères n'étaient pas différents des critères du formalisme.

De même Gödel reconnaissait, dans le cadre de sa métaphysique, une possible différence entre les mathématiques humaines et les mathématiques "celestes"; laissant ainsi ouverte la possibilité aux mathématiciens de travailler librement.

Je me demande alors d'où vient ce besoin ou ce désir d'endiguer le développement des disciplines formelles, en prétendant statuer sur ce qui est "vrai"(en utilisant le terme d'une façon qui, je le comprends grace à vous, est très contestable et très différente de l'usage qui prévaut dans le champ logico-mathématique) ?

[mh34]

Serait-il possible d'expliquer simplement à quelqu'un ne possédant pas de culture mathématique autre que celle apprise au lycée il y a 30 ans ( ) donc pas mal oubliée...ce qu'est cette hypothèse du continu?

Merci beaucoup.
Si ça ne l'est pas, n'ayez pas de scrupules à me le dire!

[Médiat]

Serait-il possible d'expliquer simplement à quelqu'un ne possédant pas de culture mathématique autre que celle apprise au lycée il y a 30 ans ( ) donc pas mal oubliée...ce qu'est cette hypothèse du continu?

Bonjour (et bienvenue)

La question de l'hypothèse du continu (HC) porte ce nom car à l'origine la question provient de la différence entre l'ensemble des rationnels et l'ensemble des réels. L'ensemble des rationnels étaient considéré comme "non -continu", ou encore plein de trous, contrairement à l'ensemble des réels considéré comme continu.

Le fait d'être non continu pour les rationnels voulant dire (il y plein de façons de l'exprimer) que certains sous-ensembles sont majorés mais ne possèdent pas de borne sup, par exemple {x / x² < 2} est dans ce cas : si on prend un nombre appartenant à cet ensemble, il est toujours possible d'en trouver un plus grand qui soit encore dans cet ensemble (donc le premier n'est pas un majorant), et si on prend un nombre n'appartenant pas à cet ensemble, il existe toujours un nombre strictement plus petit qui ne soit toujours pas dans cet ensemble (ce nombre n'est pas la borne sup). Dans IR, la borne sup est tout bêtement la racine de 2.

Cela pour expliquer le vocabulaire.

Maintenant, la signification de cette hypothèse : L'ensemble des rationnels est infini (dénombrable, comme IN), et IR est aussi infini, mais non dénombrable, c'est à dire que l'on peut démontrer qu'il n'existe pas de bijection entre IN et IR (c'est le fameux argument de la diagonale de Cantor).

On se retrouve donc avec deux infinis différents, d'où la question qui vient immédiatement à l'esprit (du mathématicien tordu qu'on appelle aussi logicien) : existe-t-il d'autres infinis entre ces deux là ?

On peut aussi poser la question autrement : est-ce que tout sous-ensemble de IN est soit fini, soit en bijection avec IN (dénombrable) soit en bijection avec IR (non dénombrable), ou bien est-ce qu'il y a d'autres cas ?

Ce problème s'est révélé beaucoup plus compliqué qu'il n'y paraît, et il a fallu attendre une théorie des ensembles digne de ce nom (en l'occurence celle de Zermelo et Fraenkel avec axiome du choix, ZFC pour les intimes) pour que cette question se formalise parfaitement et pour que Gödel, puis Cohen démontrent (1963, ce n'est pas si vieux) qu'en fait cette hypothèse du continu est indécidable dans ZFC, c'est à dire que l'on peut ajouter, à son choix, HC ou non HC aux axiomes de ZFC sans modifier sa consistance (cohérence).

Si cette réponse vous paraît claire dans un premier temps, je pourrais compléter avec une vision purement ensembliste.

Si je ne suis pas assez précis, ou si je jargonne un peu trop, n'hésitez pas à poser toutes les questions que vous voulez

Cordialement

Médiat

[invite7863222222222]

Bonjour,

il semblerait qu'il prépare un article où il prendrait une position tout à fait opposée (ce qui ne me choque pas, en tant que formaliste).

Au moins, son travail aura permis de proposer deux visions et des arguments contre et pour.

[invité576543]

Il me semble que cela va bien plus loin que juste HC vs. NHC (si c'était ce qu'il fallait comprendre).

Dans d'autres cas, comme l'axiome de l'infini, il semble "naturel" de choisir d'une certaine manière. Mais pourquoi ? A ce que j'en comprends les travaux de Woodin pourrait éclairer cette question d'une manière satisfaisante. Une tierce voie entre platoniciens et formalistes?

[invité576543]

On peut aussi poser la question autrement : est-ce que tout sous-ensemble de IR est soit fini, soit en bijection avec IN (dénombrable) soit en bijection avec IR (non dénombrable), ou bien est-ce qu'il y a d'autres cas ?

Je me permets de suggérer la correction en rouge.

Cordialement,

[Médiat]

Je me permets de suggérer la correction en rouge.

C'est parfaitement justifié, merci.

Dans d'autres cas, comme l'axiome de l'infini, il semble "naturel" de choisir d'une certaine manière. Mais pourquoi ? A ce que j'en comprends les travaux de Woodin pourrait éclairer cette question d'une manière satisfaisante.

C'est bien, exactement, comme cela que je comprends les travaux de Woodin (bien que lui (et/ou ses commentateurs) les présente(nt) autrement). Pour moi, les travaux de Woodin, je l'ai d'ailleurs déjà écrit, peut-être vous en souvenez-vous, sont une mise en place d'une argumentation (je n'ai volontairement pas écrit "ne sont que", car c'est loin d'être négligeable comme intérêt) pour orienter un choix (celui-ci n'ayant pas les mêmes raisonnances et résonnances pour un platonicien et un formaliste).

Une tierce voie entre platoniciens et formalistes?

Là, par contre, je ne vois pas les choses ainsi, trouver une argumentation pour orienter le choix permet au platonicien de "se rapprocher de la vérité", et au formaliste de choisir la solution qui correspond "à un choix raisonné, non ponctuel".

La présence de guillemets dans le § précédent signifie que j'ai bien conscience de caricaturer, mais j'espère est plus clair en grossissant le trait.

[invité576543]

Pour moi, les travaux de Woodin, je l'ai d'ailleurs déjà écrit, peut-être vous en souvenez-vous, sont une mise en place d'une argumentation (je n'ai volontairement pas écrit "ne sont que", car c'est loin d'être négligeable comme intérêt) pour orienter un choix (celui-ci n'ayant pas les mêmes raisonnances et résonnances pour un platonicien et un formaliste).

Pour parler à la première personne, je m'en souviens très bien, j'avais lu en conséquence divers autres textes et sources, et ce point de vue m'avait convaincu.

Là, par contre, je ne vois pas les choses ainsi, trouver une argumentation pour orienter le choix permet au platonicien de "se rapprocher de la vérité", et au formaliste de choisir la solution qui correspond "à un choix raisonné, non ponctuel".

Je ne voulais pas dire que cela permettrait de rapprocher les positions. Mais n'y a-t-il pas une différence entre "non choix" (caricature des formalistes) et "choix raisonné". Et cette différence ne pourrait-elle suffire à faire changer d'opinion ne serait-ce qu'une petite partie de ceux à tendance platonicienne ?

Le manque de raison apparente au choix ne peut-il être vu comme une raison pour voir dans le choix effectif (parce qu'il y a bien choix des axiomes) une transcendance (au sens philo) ?

Cordialement,

[mh34]

Tout d'abord merci de prendre le temps de mettre ces notions à ma portée.

Le fait d'être non continu pour les rationnels voulant dire (il y plein de façons de l'exprimer) que certains sous-ensembles sont majorés mais ne possèdent pas de borne sup,

Cela signifie que la borne sup n'est pas considérée comme faisant partie du sous-ensemble?
Si c'est le cas, j'ai compris votre exemple.

L'ensemble des rationnels est infini (dénombrable

Qu'est-ce qu'un infini dénombrable?

on peut démontrer qu'il n'existe pas de bijection entre IN et IR

Ok

On se retrouve donc avec deux infinis différents, d'où la question qui vient immédiatement à l'esprit (du mathématicien tordu qu'on appelle aussi logicien) : existe-t-il d'autres infinis entre ces deux là ?

Ok.

est-ce que tout sous-ensemble de IR est soit fini, soit en bijection avec IN (dénombrable) soit en bijection avec IR (non dénombrable), ou bien est-ce qu'il y a d'autres cas ?

Si deux ensembles sont en bijection, cela ne signifie-t-il pas qu'ils contiennent le même nombre d'éléments?

Une petite question de curiosité ; lequel des deux ensembles ( celui des réels et celui des rationnels) a été "trouvé" en premier?

[karlp]

Qu'est-ce qu'un infini dénombrable?

Le cardinal d'un ensemble infini dénombrable est "aleph zero"
Il désigne le cardinal de l'ensemble des entiers naturels (qui entre en bijection avec celui des rationnels)

[karlp]

Une petite question de curiosité ; lequel des deux ensembles ( celui des réels et celui des rationnels) a été "trouvé" en premier?

Les grecs connaissaient les rationnels .
La légende raconte que le pythagoricien qui a découvert "l'irrationalité" de racine de 2 se serait suicidé ou aurait été assassiné.

L'écriture de l'ensemble des irrationnels est impossible sans le système de numération hérité des indiens (les chiffres dits "arabes") qui contenait le zéro, permettant la numération de position.

[invité576543]

L'écriture de l'ensemble des irrationnels est impossible sans le système de numération hérité des indiens (les chiffres dits "arabes") qui contenait le zéro, permettant la numération de position.

La notation positionnelle ne permet pas d'écrire les irrationnels ! (Pas assez de place sur une feuille !).

Dans le temps comme maintenant, on pouvait travailler avec les irrationnels par des écritures symboliques.

Le nombre pi a été étudié par les grecs bien avant la notation positionnelle par exemple. Même s'ils ne savaient pas qu'il était irrationnel, ils l'avaient défini précisément.

Cordialement,

[karlp]

Serait-il possible d'expliquer simplement à quelqu'un ne possédant pas de culture mathématique autre que celle apprise au lycée il y a 30 ans ( ) donc pas mal oubliée...ce qu'est cette hypothèse du continu?

Merci beaucoup.
Si ça ne l'est pas, n'ayez pas de scrupules à me le dire!

C'est ici la réponse d'un amateur (de vulgarisations). Mais Médiat saura donner à ceci plus de rigueur (en tous cas je l'espère avec impatience).

Dans l'ouvrage que JP Belna consacre à Cantor, on trouve deux façons de formuler l'hypothèse du continu

-Le cardinal de l'infini dénombrable est aleph zero; celui des réels est aleph 1: est-ce que aleph 1 est égal à 2 puissance aleph0 ?

- Peut-on construire/découvrir un infini qui soit plus grand que aleph zero et plus petit que aleph 1.

[karlp]

1 La notation positionnelle ne permet pas d'écrire les irrationnels ! (Pas assez de place sur une feuille !).

Dans le temps comme maintenant, on pouvait travailler avec les irrationnels par des écritures symboliques.

2 Le nombre pi a été étudié par les grecs bien avant la notation positionnelle par exemple. Même s'ils ne savaient pas qu'il était irrationnel, ils l'avaient défini précisément.

Cordialement,

1Absolument ! Est-ce que le calcul infinitésimal est concevable avec l'écriture grecque ?
Et est-ce qu'il est possible de penser les réels dans leur totalité sans cette numération de position (c'est à dire sans le zero) ?

2 En un sens ils le "savaient" . La légende qui se rapporte à la découverte de racine de 2 justifie la fin tragique du pythagoricien par le fait que l'infini (ou plutôt "indéfini" apeiron) représente l'anti thèse absolue de l'Un (considéré comme à l'origine de tout)

[invité576543]

Et est-ce qu'il est possible de penser les réels dans leur totalité sans cette numération de position ?

Je sais que je n'arrive pas à penser les réels dans leur totalité même avec la notation positionnelle

Mais j'ai l'impression que si j'y arrivais, j'y arriverais aussi bien avec la notation par fraction continues, pour ne prendre qu'un exemple.

Cordialement,

[karlp]

Je sais que je n'arrive pas à penser les réels dans leur totalité même avec la notation positionnelle

Il est sans doute impossible de l'imaginer; pas de le concevoir ?

Mais j'ai l'impression que si j'y arrivais, j'y arriverais aussi bien avec la notation par fraction continues, pour ne prendre qu'un exemple.

C'est une idée plutôt intéressante !
Faîtes vous allusion à la possibilité de construire les réels à partir des rationnels ?

[invite6754323456711]

Il est sans doute impossible de l'imaginer; pas de le concevoir ?

Si on ne peut l'imaginer je vois mal comment le concevoir

Patrick

[Médiat]

Mais n'y a-t-il pas une différence entre "non choix" (caricature des formalistes) et "choix raisonné". Et cette différence ne pourrait-elle suffire à faire changer d'opinion ne serait-ce qu'une petite partie de ceux à tendance platonicienne ?

En tout état de cause la position épistémologique platonicien/formaliste n'ayant qu'un très léger impact sur la façon de faire des mathématiques (puisque essentiellement au niveau du vocabulaire), et même sur le choix des axiomes, même si les motivations sont différentes ; si u platonicien fait un choix parce qu'il a de bonnes raisons de penser que ce choix correspond à une certaine vérité d'un modèle particulier, il y a de grandes chances qu'un formaliste pense que ce choix est intéressant, même s'il n'utilise pas le vocabulaire de la vérité pour le justifier.

Le manque de raison apparente au choix ne peut-il être vu comme une raison pour voir dans le choix effectif (parce qu'il y a bien choix des axiomes) une transcendance (au sens philo) ?

Absolument, mais je ne connais pas d'exemple où l'absence de raison du choix ne soit qu'apparente.

[Médiat]

Cela signifie que la borne sup n'est pas considérée comme faisant partie du sous-ensemble?
Si c'est le cas, j'ai compris votre exemple.

La borne sup n'a pas obligation à être dans le sous ensemble, si vous prenez le sous-ensemble [0; 1[, 1 est la borne sup et elle n'est pas dans le sous ensemble, si vous prenez [0; 1], 1 est la borne sup et elle est dans le sous ensemble.

Qu'est-ce qu'un infini dénombrable?

C'est le cardinal de IN et de tous les ensembles pour lesquels il existe une bijection entre cet ensemble et IN (on dit ensembles équipotents).

Si deux ensembles sont en bijection, cela ne signifie-t-il pas qu'ils contiennent le même nombre d'éléments?

Avec une détail de vocabulaire, en disant "nombre d'éléments", on se raccroche à la compréhension finie de cette expression et c'est la source de bien des résistance : il est facile de faire comprendre que les entiers et les entiers pairs ont le même cardinal (il existe une bijection entre les deux), mais beaucoup de gens soutiendront qu'il y a deux fois plus d'éléments dans IN que dans les entiers pairs (alors que le nombre d'éléments n'est pas une notion définie (ou alors par le cardinal)).

Une petite question de curiosité ; lequel des deux ensembles ( celui des réels et celui des rationnels) a été "trouvé" en premier?

Les rationnels, les grecs appelaient les irrationnels les nombres incommensurables (qui ne peut être mesuré).

[Médiat]

-Le cardinal de l'infini dénombrable est aleph zero; celui des réels est aleph 1: est-ce que aleph 1 est égal à 2 puissance aleph0 ?

- Peut-on construire/découvrir un infini qui soit plus grand que aleph zero et plus petit que aleph 1.

Le plus petit cardinal infini est bien , c'est le cardinal de IN par exemple, par contre le cardinal ds réels n'est pas , mais .

On note le cardinal successeur de , autrement dit

On note , le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble de cardinal .

L'hypothèse du continu consiste à poser

Je pensais parler de cet aspect de choses après que mh34 nous ait dit avoir bien compris la première description, car il se cache certaines subtilités la dessous, concernant la notion même d'ensemble des parties.

[invite7863222222222]

si u platonicien fait un choix parce qu'il a de bonnes raisons de penser que ce choix correspond à une certaine vérité d'un modèle particulier, il y a de grandes chances qu'un formaliste pense que ce choix est intéressant

A mon avis, un platonicien ne fait pas de choix parcequ'il a de bonnes raisons de penser que ce choix correspond à une certaine vérité d'un modèle particulier, il fait ce choix car il pense que c'est ce qui mène à la vérité. Sinon, j'ai du mal à identifier la différence avec un formaliste.