tautologies, axiomes et règles

[invite7863222222222]

Absolument, mais je ne connais pas d'exemple où l'absence de raison du choix ne soit qu'apparente.

Je ne comprends pas, l'absence de raison du choix est manifeste alors ?
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[Médiat]

A mon avis, un platonicien ne fait pas de choix parcequ'il a de bonnes raisons de penser que ce choix correspond à une certaine vérité d'un modèle particulier, il fait ce choix car il pense que c'est ce qui mène à la vérité.

Effectivement j'ai écrit comme si j'étais formaliste, mais c'est normal, je suis formaliste .

En écrivant "d'un modèle particulier" je pensais bien à celui qu'un platonicien appelle la vérité.

Sinon, j'ai du mal à identifier la différence avec un formaliste.

C'est simple, en tant que formaliste, je ne sais pas ce qu'est la vérité ; quand un platonicien affirme HC est vraie (ou HC est fausse), je n'ai aucune idée de ce que cela peut vouloir dire ; quand un platonicien affirme j'ai trouvé de bonnes raisons de penser que HC est vraie (ou fausse), je comprends qu'il a trouvé des arguments pour que le choix (qui reste celui du mathématicien, et pas celui du grand mammamouchi, ou de la "nature", ou de la "réalité") d'étudier ZFC + HC (ou + non HC) soit plus intéressant que le contraire (mais n'invalide pas définitivement le choix contraire, à l'opposé du platonicien (puisqu'il a la "vérité")). J'aurais pu reprendre l'exemple de Woodin.

Que les platoniciens de passage ici ne s'offusquent pas, j'ai bien conscience de caricaturer.

[Médiat]

Absolument, mais je ne connais pas d'exemple où l'absence de raison du choix ne soit qu'apparente.

Je ne comprends pas, l'absence de raison du choix est manifeste alors ?

J'ai écrit le contraire de ce que je voulais exprimer : je voulais dire : il y a, à ma connaissance, toujours une raison pour un choix (le Grand Formaliste ne joue pas aux dés ).

[invite7863222222222]

C'est simple, en tant que formaliste, je ne sais pas ce qu'est la vérité

Je ne sais pas mais on peut dire que c'est ce qui pousse le platonicien à faire des mathématiques. Car pour un platonicien les mathématiques doivent être utiles dans le sens où elles doivent expliquer quelque chose, ici en l'occurence le monde des idées.

Pour un formaliste sans notion de vérité, comment fonde-il ses choix ? Surfe-t-il juste sur la vague des platoniciens ? Comment accepter d'être aussi tributaire des platoniciens sans l'être un petit peu et surtout avec si peu de scrupules ?

[Médiat]

Pour un formaliste sans notion de vérité, comment fonde-il ses choix ? Surfe-t-il juste sur la vague des platoniciens ? Comment accepter d'être aussi tributaire des platoniciens sans l'être un petit peu et surtout avec si peu de scrupules ?

Vous prenez les formalistes pour des imbéciles incapables de prendre une décision ?
D'autant plus que l'on pourrait complètement inverser votre phrase :

Pour un platonicien sans vérité (je vois bien ce qu'un platonicien appelle la "vérité" de l'arithmétique, et donc sa référence, je ne vois pas du tout ce qu'il appelle la "vérité" de la théorie des ensembles), comment fonde-il ses choix ? Surfe-t-il juste sur la vague des formalistes ? Comment accepter d'être aussi tributaire des formalistes sans l'être un petit peu et surtout avec si peu de scrupules ?

La phrase précédente est parfaitement illustré par les mots que Cantor envoie à Dedekind après avoir démontré qu'il y a autant de points dans un segment de droite que dans le carré bati sur cette droite : "Je le vois, mais je ne le crois pas" (il croyait que la "vérité" était contraire au résultat formel qu'il venait d'établir, c'est pourtant bien le résultat formel qui est adopté par tout le monde (le monde mathématique), y compris Cantor, même si j'ai déjà fait part de mes humeurs sur l'expression "nombre de points".

Demandez-vous d'où viennent les axiomes, d'où vient cette nécessité d'ajouter une brique particulière à un édifice ? En choississant suffisamment d'exemples vous verrez qu'il n'y a aucune raison de donner la suprématie mathématique aux platoniciens ou au formalistes ; on peut d'ailleurs très bien être un excellent mathématicien en ne se posant jamais la question platonicien/formaliste (d'autant plus que l'on réduit toujours plus ou moins la question à cette dualité, alors qu'il y a autant de positions différentes que de mathématiciens (plus les philosophes qui se posent la question)).

[invité576543]

Faîtes vous allusion à la possibilité de construire les réels à partir des rationnels ?

Non.

La notation positionnelle n'est qu'une notation, et elle se voit comme les coefficients entiers d'une certaine série, dont on considère qu'elle dénote la limite, supposée exister dans R, de cette série dans R. La notation ne construit pas R.

(Le "supposée exister" n'est pas accessoire. Par exemple, il existe une notation positionnelle du genre ...11111.0 qui représente -1)

Les fractions continues correspondent à un autre type de série, permettant de noter, sous la forme d'une suite d'entiers, tous les réels comme limite. Dans cette notation, tous les rationnels sont notés par une série dont les coefficients sont nuls à partir d'un certain rang, une propriété que n'a pas la notation positionnelle...

Cordialement,

[mh34]

Merci à tous de vos explications, particulièrement à Médiat.
Je pense avoir maintenant compris correctement votre message n° 42.

les grecs appelaient les irrationnels les nombres incommensurables (qui ne peut être mesuré).

Et c'est vrai, d'une certaine façon, non?

Je suppose qu'il y a une suite?

[Médiat]

Bonjour,

Et c'est vrai, d'une certaine façon, non?

D'autant plus que les instruments de mesure utilisés aujourd'hui ne mesurent que des rationnels (et encore, on pourrait même dire : que des entiers, et encore, on pourrait préciser "que très peu d'entiers").

Je suppose qu'il y a une suite?

La suite est une version purement ensembliste, ce qui veut dire que l'on se place dans le cadre de la théorie des ensembles la plus utilisée : ZFC ; cette théorie (de logique classique égalitaire du premier ordre) repose sur quelques axiomes et quelques schémas d'axiomes.

Ces axiomes permettent de démontrer qu'il existe un ensemble ne possédant aucun élément (l'ensemble vide), un autre axiome dit qu'à partir de deux ensembles a et b on peut construire la paire {a, b}, (etc.) ; un axiome important (celui de l'infini) permet de construire un ensemble infini (notons le IN), et l'axiome de l'ensemble des parties (l'ensemble des parties de chaque ensemble qui existe, existe aussi) permet de construire un nouvel ensemble que l'on peut noter IR, qui par définition ont pour cardinal respectif :
Card(IN) = (ceci est la définition de )
Card(IR) = (ceci par application de la définition de l'exponentielle des cardinaux).

La question reste la même : existe-t-il un cardinal strictement compris entre et ?

Si, par définition on décide de noter le plus petit cardinal qui soit strictement plus grand que , la question peut se poser de la façon suivante : est-ce que ?

Il peut paraître étrange qu'une question qui a l'air aussi précise (pas d'ambiguité sur la définition de IN et pas plus d'ambiguité sur l'ensemble de ses parties, c'est à dire IR) soit indécidable c'est à dire ne soit pas conséquence des axiomes de ZFC et son contraire non plus.

En fait, j'ai fait un gros mensonge dans le § précédent !

Pour un habitué de ZF ou pour quelqu'un qui a déjà lu certaines de mes interventions, le mensonge est assez gros et facile à détecter, sinon, je vous laisse y réfléchir un peu (dans un but pédagogique, bien sur).

[karlp]

Si on ne peut l'imaginer je vois mal comment le concevoir

Patrick

Descartes déjà relevait qu'on peut concevoir un polygone à mille côtés mais qu'il était impossible d'en produire une "image" mentale.

On ne peut pas "imaginer" un ensemble infini. On peut parfaitement le "définir", donc(?) le concevoir.

Mais tout dépend de ce que vous mettez derrière "imaginer" et "concevoir"

[invite7863222222222]

Vous prenez les formalistes pour des imbéciles incapables de prendre une décision ?

Je ne voulais pas paraitre méprisant, et je m'en excuse.

comment fonde-il ses choix ?

Pour un platonicien, il y a vérité dans telle ou telle théorie mais il ne s'agit pas de la vérité du platonicien. Celle du platonicien, c'est celle du monde des idées. Les théories mathématiques telles que nous les connaissont ne sont que les ombres des ces idées qui ont une structure autonome, c'est le mythe de la caverne.

J'ai tenté d'expliquer le point de vue platonicien, mais finalement ma question est restée en suspens : je ne sais toujours pas bien sur quels critères en tant que formaliste, vous justifiez travailler sur telle théorie plutôt que telle autre ? Dit autrement pourquoi telle théorie out elle théorie plait plus ou moins à un formaliste ?

[karlp]

Non.

La notation positionnelle n'est qu'une notation, et elle se voit comme les coefficients entiers d'une certaine série, dont on considère qu'elle dénote la limite, supposée exister dans R, de cette série dans R. La notation ne construit pas R.

Peut-être me suis-je mal exprimé ? Je ne pense pas avoir dit qu'on pouvait "construire" les réels grace à l'écriture positionnelle, mais qu'on pouvait l'écrire (pour peu qu'on ait une feuille assez grande) grace à cette numération et qu'on pouvait , toujours grace à elle, "penser" l'ensemble des réels.

Comment faîtes-vous pour démontrer que 0,99999999... est égal à 1 sans cette écriture ?

Les fractions continues correspondent à un autre type de série, permettant de noter, sous la forme d'une suite d'entiers, tous les réels comme limite. Dans cette notation, tous les rationnels sont notés par une série dont les coefficients sont nuls à partir d'un certain rang, une propriété que n'a pas la notation positionnelle...

Cordialement

Je croyais précédemment que vous faisiez allusion à la construction des réels à l'aide des suites de Cauchy non convergentes dans IQ.

Pouvez vous illustrer ce dont vous parlez ?

[invite7863222222222]

A me relire je trouve mon ton encore un peu agressif et pas très clair. C'est surement à cause du fait que je n'arrive pas à exprimer mon intérrogation, donc merci de ne pas prendre mon message pour comptant en attendant que j'arrive à exprimer et avoir les idées claires sur ma question.

[karlp]

Pour un platonicien, il y a vérité dans telle ou telle théorie mais il ne s'agit pas de la vérité du platonicien. Celle du platonicien, c'est celle du monde des idées. Les théories mathématiques telles que nous les connaissont ne sont que les ombres des ces idées qui ont une structure autonome, c'est le mythe de la caverne.

Pas exactement, (et c'est d'ailleurs ce qu'on peut reprocher à Platon?)

Les théories mathématiques ne sont pas les "ombres" des Idées (je préfère la traduction de "Eidos" par Forme).
Platon distingue les "objets mathématiques en eux mêmes" qui appratiennent au lieu intelligible et les représentation sensibles de ces objets.

Mais les réalités mathématiques sont pour lui "en dessous" des Formes... quoique les uns et les autres appartiennent au lieu intelligible.
Platon n'accorde qu'un intérêt propédeutique et pédagogique aux études mathématiques.

-ceci n'a toutefois qu'un intérêt historique, sans incidence sur vos intentions démonstratives-

[invité576543]

Pouvez vous illustrer ce dont vous parlez ?

Ce n'est pas la place pour expliquer les fractions continues, suffit d'ailleurs de rechercher sur la toile. C'était juste un exemple, j'essaierai d'en trouver un autre.

[Médiat]

je ne sais toujours pas bien sur quels critères en tant que formaliste, vous justifiez travailler sur telle théorie plutôt que telle autre ? Dit autrement pourquoi telle théorie out elle théorie plait plus ou moins à un formaliste ?

Par exemple parce que la théorie est plus féconde par rapport à une intuition ou à un but que l'on a en tête, mais surtout, pour un formaliste pur jus le choix n'est pas toujours une obligation ; par exemple en partant de ZF, pourquoi choisir ZFC plutôt que ZF (je ne connais pas de résultat associé à ZF + non AC), ici la réponse est simple pour un formaliste : il essaye de démontrer un maximum de résultats sans utiliser AC (ni non AC), et quand il se rend compte qu'il a absolument besoin de AC pour obtenir un résultat "intéressant" (ce qui est subjectif), il lui suffit de dire qu'il choisit de travailler dans ZFC, par exemple la notion de cardinal existe sans AC, mais elle est très pauvre, on ne peut même pas démontrer que les cardinaux sont toujours comparables (par la relation d'ordre naturelle (par l'existence d'une injection, par exemple)), alors qu'avec AC on peut définir plein de choses avec les cardinaux.

Un exemple encore plus flagrant : l'axiome de fondation et l'axiome d'anti-fondation donnent 2 théories ayant leur intérêt, personnellement je ne ressens pas le besoin d'affirmer que l'une est plus "vraie" que l'autre, et je ne vois pas quel critère appliquer pour prendre une telle décision.

[karlp]

Si je comprends bien Médiat : le formaliste ne s'impose aucune contrainte a priori dans le choix de l'axiomatique (c'est ce qu'il désire produire ou trouver qui va orienter ce choix) ; tandis que le platonicien serait a priori limité par ce qu'il estime être "vrai" ou faire partie de la réalité intelligible.

[Médiat]

Si je comprends bien Médiat : le formaliste ne s'impose aucune contrainte a priori dans le choix de l'axiomatique (c'est ce qu'il désire produire ou trouver qui va orienter ce choix) ; tandis que le platonicien serait a priori limité par ce qu'il estime être "vrai" ou faire partie de la réalité intelligible.

C'est exactement comme cela que je comprends ces deux positions, même si je suis plus à l'aise pour l'option formaliste, puisque c'est mon orientation épistémologique, mais c'est bien ainsi que les platoniciens le font comprendre les raisons de leur choix en parlant de "vérité", cf. les phrases de Delahaye et Girard.

[invite7863222222222]

il lui suffit de dire qu'il choisit de travailler dans ZFC, par exemple la notion de cardinal existe sans AC, mais elle est très pauvre, on ne peut même pas démontrer que les cardinaux sont toujours comparables (par la relation d'ordre naturelle (par l'existence d'une injection, par exemple)), alors qu'avec AC on peut définir plein de choses avec les cardinaux.

Merci de la réponse.

J'ai l'impression que les choix (pouvoir utiliser la notion de comparaison, et toutes les autres choses que l'on peut dire si on fait le choix avec AC), sont fait par rapport à la possibilité d'appliquer des notions qui préexistent et que l'on essaie d'étendre aux nouveaux objets mathématiques.

Donc d'après ce que j'ai compris et les définitions qui me sont propres de platonicien (pour moi démarche platonicienne = démarche qui place les idées les concepts comme priorité et comme pouvant fonder des choix), en mathématique, un formaliste est un platonicien par le bas (il utilise des concepts qui préexistent) et ce qu'on désigne par platonicien est un platonicien par le haut, dans la mesure où il recherche une vérité transcendantale.

[invite7863222222222]

Si je comprends bien Médiat : le formaliste ne s'impose aucune contrainte a priori dans le choix de l'axiomatique (c'est ce qu'il désire produire ou trouver qui va orienter ce choix) ; tandis que le platonicien serait a priori limité par ce qu'il estime être "vrai" ou faire partie de la réalité intelligible.

Voir ma dernière réponse pour comprendre ce que je veux dire.

[Médiat]

un formaliste est un platonicien par le bas (il utilise des concepts qui préexistent)

Si vous le dîtes.

[karlp]

La position de Gödel peut alors apparaître comme une position "médiane".
Il admet une réalité mathématique intelligible, mais reconnaît que, tant que "l'âme est prosionnère du corps" (nous nageons en pleine métaphysique), celle ci n'a aucune assurance de trouver la "bonne" axiomatique, ce qui laisse la possibilité de les considérer toutes comme étant a priori susceptible d'être "vraies".
Finalement la différence qui subsiste n'affecte plus le travail du mathématicien; seule sa croyance, inopérante dans le travail, est différente.
Je crois qu'un autre type de position "médiane" peut s'observer chez Cantor, puisque ses critères sont exactement les mêmes que ceux des formalistes (cohérence, rigueur des définitions produites à partir de définitions déjà connues)... si ce n'est qu'il a besoin de localiser les propositions mathématiques dans l'entendement de dieu

[invité576543]

N'y a-t-il pas un parallèle étroit entre d'un côté l'opposition platonicien/formaliste telle que décrite, et de l'autre l'opposition entre morale absolue et morale relative ?

(J'imagine que cela peut sembler bizarre de rapprocher ainsi philosophie des mathématiques et philosophie morale, mais je pose la question quand même.)

[invite7863222222222]

Si vous le dîtes.

Non je ne prétends pas que si je le dis c'est vrai, j'essaie de voir ce qui fondent épistémologiquement les mathématiques (et seulement cela). Je peux me tromper complètement étant donné que ce ne sont que des propositions.

Finalement, la question de départ reste encore en suspens.

[invité576543]

Finalement, la question de départ reste encore en suspens.

Celle de ilelogique ?? Il me semble qu'elle a été oubliée depuis pas mal de messages, non?

[ilelogique]

Rebonjoir...
Je déplore fort que le forum ne m'ait pas prévenu des toutes vos réponses comme je croyais qu'il le ferait !
Il faut dire (et on s'en est rendu compte avec mes difficultés à écrire : "" ) que je ne suis pas expert dans le maniement des fonctionnalités offertes ici (et soit dit en passant mon correcteur d'orthographe souligne chacun de mes mots, faut-il écrire en Danois avant qu'il ne traduise lui même ?).
Bon.
Donc vous avez beaucoup écrit, et je ne vous cache pas que je n'ai eu le temps que de parcourir en diagonale ce sur quoi vous venez de parler. Cependant, et sans trop vouloir vous interrompre, je m'immisce à nouveau pour revenir sur ma question...
J'étais à Jussieu pour mes études de logique mathématiques et me souviens bien que Girard et Krivine (le grand Schtroumpf) avaient leurs bureaux dans les couloirs. Personnellement j'ai épluché le Cori-Lascar à l'époque du DEA, ces pauvres livres sont usés jusqu'à la tranche. Je n'ai fait qu'une année de thèse ensuite avec Vincent Danos en théorie de la démonstration.
Aussi, même si mes souvenirs sont un peu loin, je me remémore des noms comme Gentzen et Curry Howard.
Si je vous raconte ma vie ici c'est pour mieux vous situer ce que j'attends comme style de réponse...
En effet, je fais depuis dans le spectacle scientifique (voir www.ilelogique.fr) et les besoins d'un bon travail de fond pour l'écriture dramatique de certains passages me mènent à devoir clarifier cette distinction que je soulève dans mon titre (la formulation est-elle la bonne ? Je le saurai sûrement quand j'aurai trouvé ma réponse...) :

J'ai dans mes souvenirs que la logique des prédicats nous donnait un langage (connecteurs, quantificateurs, prédicats, variables constantes...), grâce auquel on construisait des termes puis des formules par induction. Ces formules étaient closes ou non. Je cesse de parler au passé, c'est pompeux et je parie que c'est encore présent... Vient ensuite la théorie des modèles qui donne enfin un point de vue sémantique sur cette syntaxe, en interprétant les énoncés dans des réalisations concrètes du langage. On finit alors en apothéose avec Gödel, etc.
La question du vrai (mettons pour une formule close) était donc liée à sa réalisation dans les modèles ou non (Universellement valide si close et réalisée partout).
Puis le calcul des séquents (Gentzen non ?) qui ouvrit d'ailleurs la voie aux lambda calcul (Girard ?) et à ces fameuses correspondances preuves-programmes de Curry-Howard par les éliminations des coupures etc., est quant-à lui un point de vue dynamique sur le fait de démontrer.

Je vois donc plusieurs choses :
- Les tautologies du calcul propositionnel qui ont des "un" partout dans leurs tables. Mais ceci est conséquence des tables de base (celles des connecteurs "non" et "ou" par exemple) dont le choix est arbitraire : on pourrait très bien prendre d'autres tables de boole ! Donc les tautologies sont conséquences d'un choix de base, fondamental de départ.
- Les axiomes sont de deux sortes implicitement : ceux de la logique qu'on utilise (et qui reposent donc sur les tables, on prend ou non le tiers exclu etc) et ceux de la théorie dont on compte parler (celle des ensembles ou de la géométrie Euclidienne par exemple). Encore une fois des choix fondamentaux de départ.
- Enfin les règles : je les vois comme des systèmes dynamiques : elles décrivent la façon dont on peut déduire effectivement des choses d'autres choses. On part des axiomes et grâce aux règles on établit des théorèmes, les conséquences syntaxiques des axiomes. Ces règles sont aussi des choix, on pourrait très bien ne pas introduire le quantificateur universel à droite de cette façon etc.

Ces trois choses ont donc de commun que ce sont des "vérités supposées", des "méta-hypothèses".
Passe-t-on de l'un à l'autre ? Pourquoi trois formes et non une seule ?

Je vais considérer le modus ponens (à cause de ses qualités non-triviales et célèbres), on doit pouvoir en faire autant avec le principe d'identité ou le tiers exclu non ?

-(A et A=>B)=> B est une tautologie du calcul propositionnel démontrable, en ce sens que sa table de vérité ne contient aucun 0.


- (A et A=>B) B En ce sens que tout modèle de la première formule est un modèle de la seconde.

- A..... A B
-------------------------------------------------------- règle de déduction démontrable aussi.
B

- Le syllogisme enfin dit toujours la même chose.

Pourquoi trois formulations ? Toutes ces choses ont-elles le même sens.
Je sens comme une sorte de brouillard et c'est pour cela que je pose ma question...
Je ne sais pas si j'ai été clair...

Merci.

[invite7863222222222]

Celle de ilelogique ?? Il me semble qu'elle a été oubliée depuis pas mal de messages, non?

Non non, la question de comprendre le mécanisme qui fait de l'épistémologie formaliste une épistémologie qui définisse une mathématique qui soit dynamique, et qui a des choses à nous apprendre.

[karlp]

Ilélogique

Il est vrai qu'au niveau de la "signification" ou de l'"intuition" , tout celà paraît semblable.
Mais l'écriture marque une différence dans le statut épistémologique (sémantique vs syntaxe par exemple)

[invite7863222222222]

N'y a-t-il pas un parallèle étroit entre d'un côté l'opposition platonicien/formaliste telle que décrite, et de l'autre l'opposition entre morale absolue et morale relative ?

si la question est la même : ce qui montre que cette question est plus philosophique que scientifique et qu'on s'éloigne donc du sujet initial d'illélogique.

[karlp]

si la question est la même : ce qui montre que cette question est plus philosophique que scientifique et qu'on s'éloigne donc du sujet initial d'illélogique.

Bouveresse nous accuserait d'abuser des facilités offertes par l'analogie

[invite7863222222222]

Bouveresse nous accuserait d'abuser des facilités offertes par l'analogie

En attendant Bouveresse n'est pas là pour confirmer votre hypothèse.