Un peu de sarcasme dans le titre de ce fil !

Je voudrais soulever ici la question de la pertinence de la démonstration de Gödel pour aboutir à son théorème concernant l'incomplétude.

Il y a notamment un point que j'ai du mal à comprendre. A un moment de sa démonstration (je ne connais en vérité qu'une version simplifiée, donc je dois être un peu naïf, pardonnez moi), il est admis qu'il a construit une nouvelle formule qui est "évidemment vraie", alors qu'il est impossible de le démontrer.

Voir par exemple http://membres.lycos.fr/godel/theoreme_plus_pres.html
J'espère que cette présentation reproduit "honnêtement" la démonstration de Gödel. Si c'est le cas, il est écrit à un moment donné :
Citation Envoyé par le site web en question
"La formule de nombre de Gödel g1 est démontrable par la suite de formules de nombre de Gödel g2."
Dans la suite, nous appellerons cette formule G.
...

"n : Il n'existe aucun nombre de Gödel qui représente une suite de formule qui soit la démonstration de la formule portant le nombre de Gödel n ."
Cette affirmation métamathématique (disant que G est indémontrable) est manifestement vraie, comme nous venons de le voir. Et elle est representée par une formule arithmétique, selon la methode de Gödel, qui est donc vraie elle aussi...
Gödel a donc au final construit une fomule arithmétique qui est vraie, et qu'on ne peut pas démontrer en utilisant un système formel de l'arithmétique si celui-ci est consistant.
En fait, il y a une autoréférence gênante, qui pourrait laisser penser que la démonstration d'incomplétude n'est valable que si on autorise cette autoréférence dans les formules. Si on ne l'autorise pas, est-ce que le théorème ne tient plus ? Et donc, dans ce contexte sans autoréférence possible, le système formel de l'arithmétique pourrait être consistant et complet ?

Autre chose, si en autorisant l'autoréférence on obtient quelque chose d'inconsistant, on peut parfois démontrer une formule et son contraire. Mais du coup, que devient le théorème sur l'incomplétude ?

Enfin, si on modifie le système formel de l'arithmétique de la façon suivante : on introduit un nombre entier théorique gamma et la formule suivante : quel que soit x appartient à N, x < gamma
(en gros, on empêche l'accès à l'infini, tout en autorisant les grandes valeurs)
Est-ce que le théorème de Gödel est invalidé ?
(il me semble que oui, car tout peut être démontré par induction, non ?)