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Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

  1. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Bonjour,

    Je voudrais revenir sur quelques réflexions sur le concept de nombre naturel, et en particulier sur les raisons pouvant justifier que 0 et 1 ne furent pas considérés comme des nombres comme les autres pendant très longtemps (au moins jusqu’au XVIième siècle).

    Lorsque nous voyons un « tas de 2 pommes », nous le percevons, quasiment, tous ainsi, c'est-à-dire que nous partageons les concepts de :
    1. « Tas » (pris ici dans un sens très large)
    2. « 2 »
    3. « Pommes »

    Ainsi que quelques concepts, mieux cachés ici, comme celui d’identité, qui permet de percevoir que plusieurs « tas de 2 pommes » sont identiques, bien que fondamentalement distincts, alors qu’un « tas de cailloux » et un « tas de pommes » ne sont, a priori, en rien identiques.
    Un « tas de 2 pommes » ou un « tas de 2 pink ladies » ou « un tas de 2 fruits » sont des descriptions également acceptables d’un même tas, descriptions qui peuvent dépendre de la connaissance de la personne faisant la description (un même tas constitué d’une pomme et d’une poire pourra être vu comme un « tas de 2 trucs », un « tas de deux desserts », un « tas de 2 fruits d’un rosaceae » etc.) ; en tout état de cause, il est possible de réduire une description en fonction des points communs (même s’ils ne sont pas partagés par l’ensemble des spectateurs) des objets individuels constituant les tas (les « uns » qui font le « multiple » dirait Platon) et des compétences de celui qui désigne.
    On peut mettre en évidence un point commun entre un « tas de 2 pommes » et un « tas de 2 cailloux » : on peut poser chacune des pommes sur un caillou, de telle sorte que chaque pomme soit sur un et un seul caillou, et que chaque caillou porte une et une seule pomme (bijection entre les tas) ; j’aurais aussi pu prendre une pomme dans chacune de mes mains de telle sorte que chaque pomme soit dans une main et une seule, et que chaque main contiennent une pomme et une seule, et, bien sûr, j’aurais pu faire la même chose avec le « tas de 2 cailloux » (bijection dans les deux cas avec une référence). Dés que le tas devient de taille plus importante le nombre de mains, même de doigts, devient insuffisant, mais il est facile de trouver des substituts (une corde avec des nœuds, par exemple). En mettant en évidence, par ces bijections, que des « tas de 2 trucs » partagent une propriété commune, on définit le nombre 2 (cette propriété commune).

    Un « tas de 1 pomme » est plus difficile à concevoir dans toutes ses subtilités, non à cause de la définition (au sens du dictionnaire) de « tas » qui exclut généralement le 1, (encore que ce point soit réel, et pas par hasard, cf. infra), mais parce qu’il faut plusieurs « uns » pour les englober dans un « multiple » : il n’existe plus de point commun entre les différents éléments d’un tas qui permettent de le concevoir comme un « tas de … », il devient plus difficile de qualifier un « tas de 1 pomme » et un « tas de 1 caillou », puisque rien ne peut me permettre de justifier le regroupement (c’est bien la notion de « tas » qui pose problème) ; malgré cet inconvénient, il est toujours possible de mettre en place des bijections comme celles vues ci-dessus, en appariant une pomme avec un caillou, ou avec une référence, par exemple en mettant la pomme dans sa bouche.
    On peut noter qu’un « tas de 1 pomme » ne peut être confondu avec un « tas de 1 caillou », de la même façon qu’on ne peut pas confondre « un tas de 2 pommes » avec un « tas de 2 cailloux ».

    Le concept du « tas de 0 pommes » est d’une complexité d’un autre ordre de magnitude, puisque s’il n’est pas possible de confondre un « tas de 1 pomme » avec un « tas de 1 caillou », il n’y a littéralement aucune différence entre un « tas de 0 pomme » et un « tas de 0 caillou ». D’ailleurs le mot « tas », qui répugne à qualifier 1 objet, est franchement réticent à décrire … rien.
    Ici, même la notion de bijection devient plus difficile à définir (les propriétés usuelles, deviennent moins intuitives quand on les applique à l’ensemble vide), ce qui ne veut pas dire (au contraire, qu’elles n’existent pas).
    Il est possible de manger un « tas de 2 pommes », pas un « tas de 2 cailloux », il est possible de manger un « tas de 1 pomme », pas « un tas de 1 caillou », il paraît normal d’affirmer qu’il est possible de manger un « tas de 0 pomme », mais pas un « tas de 0 caillou », alors que ces deux tas sont parfaitement identiques (dans un restaurant on peut très bien dire « je ne prendrai pas de dessert » ce qui est équivalent à « je mangerai 0 dessert », je ne connais personne qui dirait à un maître d’hôtel « Je ne prendrais pas de caillou en fin de repas », bien que cela soit, généralement, le cas). Il y a beaucoup de « tas de 2 trucs », même de « tas de 2 pommes », alors qu’il n’y a qu’un seul « tas de 0 truc »
    En tout état de cause les « tas de cailloux » sont moins nourrissant que les « tas de pommes », sauf quand il y en a 0 de chaque, puisque dans ce cas leur pouvoir nourrissant sont strictement identiques).

    Un autre concept (indirectement relié aux nombres), il y a toujours un moment, où on peut être amené à parler d’un « tas de beaucoup de pommes » (un gros tas de pommes), ou un « tas de beaucoup de grains de sable » (une plage par exemple), ce genre de tas est plus compliqué à appréhender puisque la mise en évidence des bijections devient quasiment impossible, mais cette idée de « beaucoup » comme nombre est utilisée régulièrement par les enfants en bas âge, certains langages (Heiltsuk ou Guana), et chacun d’entre nous suivant les circonstances. Ce nouveau nombre, « beaucoup » possèdent quelques inconvénients : même en partant d’une grande plage et en enlevant les grains de sable un par un, il y aura bien un moment où il ne restera plus « beaucoup » grains, mais un nombre directement perceptible (ne serait-ce que 1), ce qui nous ramène au paradoxe sorite.
    Les mathématiques ont trouvé la parade : la notion de « tas d’une infinité de grains de sable » (mais développer plus avant cette idée, nous éloignerait du sujet principal de ce fil).

    Ces réflexions sont nourries de celles de Wittgenstein, et bien sûr, des concepts de la logique mathématique.

    -----

    Dernière modification par Médiat ; 24/04/2014 à 15h32.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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  2. Les Terres Bleues

    Date d'inscription
    janvier 2008
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    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Zéro est le seul entier naturel à être défini par axiome, tous les autres le sont par la fonction successeur, cela jusqu’à oméga qui sans être un ordinal clôt l’ensemble des entiers naturels.
    Il ne paraît donc pas anormal que zéro soit doté de quelques propriétés particulières, et oméga aussi (qui est dépourvu de prédécesseur) soit dit en passant.

    Un jour sur ce forum, je ne me souviens plus dans quelle discussion, j’ai voulu attirer l’attention sur cette particularité du zéro. Je me souviens très bien par contre m’être fait incendier par vous-mêmes comme une vieille voiture un soir de nouvel an.
    Je n’en garde aucune rancune, c’est de cette manière que j’ai appris des choses.

    Cordiales salutations
     

  3. invite6754323456711
    Invité

    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par Les Terres Bleues Voir le message
    Zéro est le seul entier naturel à être défini par axiome,
    Si on ouvre le bal alors ...

    Dixit Médiat : « Tas » (pris ici dans un sens très large) http://www.linternaute.com/dictionna...efinition/tas/

    Les paradoxes qui en découlent : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_sorite

    Utilisation de cette notion de "tas" dans l'exemple donné est juste un bruit sur lequel il ne faut pas porter son attention ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,
    non à cause de la définition (au sens du dictionnaire) de « tas » qui exclut généralement le 1
    ....
    (c’est bien la notion de « tas » qui pose problème)
    Ou faut-il y porter une attention toute particulière ?

    Patrick
     

  4. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par Les Terres Bleues Voir le message
    Zéro est le seul entier naturel à être défini par axiome, tous les autres le sont par la fonction successeur,
    Ils sont donc tous définis par axiome, et on pourrait parfaitement, avec un autre jeu d'axiomes, ne définir que 1 (ou 42) par une constante et 0 par axiome, une fois de plus, vous cherchez des significations là où il ne peut y en avoir.

    Citation Envoyé par Les Terres Bleues Voir le message
    cela jusqu’à oméga qui sans être un ordinal clôt l’ensemble des entiers naturels.
    Comme j'ai l'impression que vous pensez à l'arithmétique de Péano (cf. ci-dessus), ceci est faux.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  5. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Utilisation de cette notion de "tas" dans l'exemple donné est juste un bruit sur lequel il ne faut pas porter son attention ?

    Ou faut-il y porter une attention toute particulière ?
    Ce n'est clairement pas le fond du sujet, mais on ne peut pas évacuer la question car c'est ce concept qui initie le concept suivant, celui de nombre.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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  6. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Fresnes
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    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Je ne surpris par la spécificité du 0, mais par celle du 1.
    Je ne serais pas surpris d’un de nos ancêtre revienne dans sa grotte en disant qu’il a vu UN loup, et pas un groupe de loups réduit à un individu.
    ( le concept de tas me surprend un peu )
    Pour le zero, j’en saisi d’avantage l’inutilité apparente, on ne compte par naturellement ce qui n’existe pas.
    -As-tu vu un loup ? :
    -non.
    L’absence se substitue à l’existence d’un zero intuitivement inutile.
    Ps : je croyais que son apparition était néanmoins antérieur au sciècle que tu annonces.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  7. invite10421055

    Date d'inscription
    février 2011
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    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    A partir de quel moment un ensemble de grains de sable devient un "tas de sable" ? Le rajout d'un grain de sable, ne permet pas de faire
    d'un non-tas de sable, un tas de sable, par conséquent quelque-soit le nombre de grain de sable déposés, il ne se transformera jamais en tas de sable...
     

  8. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    Ps : je croyais que son apparition était néanmoins antérieur au sciècle que tu annonces.
    Je ne parlais pas de l'apparition du 0 et du 1, mais de leur acceptation comme nombre comme les autres, pour le 1, il a fallu attendre Simon Stevin (1548 - 1620), pour que cette idée se répande vraiment, et ce malgré Chrysippe de Soles (-279 a -206 environ) qui avait affirmé la même chose.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  9. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
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    16 828

    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par Ouroboros Voir le message
    A partir de quel moment un ensemble de grains de sable devient un "tas de sable" ? Le rajout d'un grain de sable, ne permet pas de faire
    d'un non-tas de sable, un tas de sable, par conséquent quelque-soit le nombre de grain de sable déposés, il ne se transformera jamais en tas de sable...
    Et oui, c'est le paradoxe sorite auquel je faisais allusion, mais ce n'est pas le sujet ici.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  10. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
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    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Pour mettre mon grain de sable, je rapproche ce type de réflexion d'une notion plus générale qui est la dualité entre "même" et "différent". Pour les nombres 2 et plus, il faut à la fois une similitude et une différence. Pour compter deux pommes, il faut à la fois un concept groupant les deux pommes (celui de pomme) et une distinction entre les deux pommes.

    Cette tension entre même et différent ne peut s'exercer qu'à partir de deux, elle n'a pas de sens pour un (pas de notion de "différent", et forte imprécision de la classe), et encore moins pour 0 (arbitraire total de la classe).

    D'une certaine manière cette combinaison entre même et différent est fondamentale dans tout le mode de pensée humain. Et le concept de "deux" (et de tout nombre naturel à partir de deux) résume à lui seul le principe. Dire deux objets sont différents est un pléonasme, et parler de deux "quelque chose" implique la classe (une notion de "même"), celle à laquelle réfère le terme "quelque chose".

    Ce que je trouve intéressant avec cette approche est qu'elle est "pré-mathématique", elle "précède" la notion de nombre, tout en l'engendrant, du moins pour les nombres à partir de deux.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
     

  11. invite6754323456711
    Invité

    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Ce que je trouve intéressant avec cette approche est qu'elle est "pré-mathématique", .
    Ou pré-quantique

    Nous sommes tous différents les uns des autres
    - Non, pas moi ! Monty Python, La vie de Brian.

    si l’on inverse la situation, la citation devient :

    - Nous sommes tous les mêmes
    - Non, pas moi !

    un être qui n’est pas différent de tous les autres qui le sont entre eux, seule la Mécanique Quantique "peut le faire" ....

    Patrick
     

  12. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 828

    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Nous sommes tous différents les uns des autres
    - Non, pas moi ! Monty Python, La vie de Brian.
    J'aime beaucoup les Monty Python, mais aussi Pierre Desproges :

    On peut reconnaître un con rien qu'à sa façon de s'habiller. La caractéristique vestimentaire du con consiste en un besoin irrésistible de s'habiller comme tout le monde. Faites le test suivant : mettez dix personnes dans une pièce. Observez bien ces dix personnes, il y en a au moins une qui est habillé comme les autres : c'est un con.
    Surtout ne voyez là aucune intention malicieuse, juste le rapprochement entre Monty Python et Pierre Desproges.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  13. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 828

    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Bonjour,

    je rapproche ce type de réflexion d'une notion plus générale qui est la dualité entre "même" et "différent".
    Vous avez d'autant plus raison que je me suis décidé à publier ces réflexions que parce qu'elles ont surgies au cours de réflexions sur la notion d'"identité".


    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    cette approche [...] est "pré-mathématique", elle "précède" la notion de nombre, tout en l'engendrant, du moins pour les nombres à partir de deux.
    Vous avez parfaitement compris mon intention, le passage à 1, et pire à 0, demande des efforts supplémentaires de conceptualisation.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  14. Les Terres Bleues

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Localisation
    Partout
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    1 676

    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ils sont donc tous définis par axiome, et on pourrait parfaitement, avec un autre jeu d’axiomes, ne définir que 1 (ou 42) par une constante et 0 par axiome, une fois de plus, vous cherchez des significations là où il ne peut y en avoir.
    Avec vous, on a vite l’impression que les maths sont un véritable amusement pour l’esprit.

    Comme j’ai l’impression que vous pensez à l’arithmétique de Péano (cf. ci-dessus), ceci est faux.
    Effectivement, je fais cette confusion parce que je suis ignorant. Mais avec vous, j’apprends.
    J’espère que vous avez apprécié de voir comment la discussion a décollé d’un seul coup.
     

  15. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    21 358

    Re : Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Vous avez parfaitement compris mon intention, le passage à 1, et pire à 0, demande des efforts supplémentaires de conceptualisation.
    Oui.

    Le un semble encore, au moins partiellement, "pré-mathématique", via les notions de "seul", "qu'un", etc (que je distingue du concept de "un"). Une sorte de contra-factualité: la classe est reconnue, et il pourrait y avoir au moins deux instances de la classe (le "que"), mais ce n'est pas le cas. Ce qui est intéressant est le choix de la classe: s'il y a une seule personne dans une pièce, on dira rarement "une seule femme", et encore plus rarement "un seul être animé". (La même réflexion s'applique à deux et plus, mais là on met l'accent sur les propriétés communes, les similarités ; pour "un seul" l'arbitraire du choix est plus manifeste.)

    Par contre le 0 est quelque part "absurde" comme nombre naturel, la référence à toute classe devenant arbitraire. Il n'est pas clair pour moi si on peut le conceptualiser autrement que par la soustraction (le nombre d'allumettes quand on enlève la dernière), ce qui le regrouperait avec les entiers négatifs. Le langage commun se contente des concepts de "rien" et d'absence (il n'y a pas de...), le premier étant un refus (justifié!) de préciser une quelconque classe, et le second n'étant pas conceptuellement lié au concept de "nombre"
    Dernière modification par Amanuensis ; 26/04/2014 à 14h04.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
     


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