Différence entre "appartenance" et "inclusion"

[karlp]

Nous ne nous méfierons jamais assez, même étant "avertis", de ce que le langage courant peut induire comme erreurs de compréhension et comme confusions.

J'apprends, ici même sur FS, de la plume de Médiat, que les termes d'"appartenance" et d'"inclusion" s'appliquent tous deux aux ensembles, mais qu'ils n'ont pas la même signification.

Quelles sont elles ?
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[Médiat]

Re-bonjour très cher karlp,

La théorie des ensembles dite de Zermelo Fraenkel (ZF pour les intimes) est une théorie égalitaire (utilisant le symbole avec ses axiomes habituels) du premier ordre avec un symbole de relation binaire () dont les objets sont appelés ensembles, c'est à dire que lorsque l'on écrit , et sont des ensembles. Bien sûr vérifie un certains nombres d'axiomes (cf. wikipedia ou Dehornoy, par exemple).

La relation d'inclusion () est aussi une relation entre ensembles, mais elle est définissable à partir de , l'inclusion ne fait donc l'objet d'aucun axiome, juste une définition : .
Cette définition montre bien que toute formule où apparaît peut être remplacée par une formule équivalente où n'apparaît pas

[karlp]

Tout cela est parfaitement clair !! merci infiniment !
(en consultant wiki j'ai remarqué que mon illusion s'y trouvait confortée)

Il n'y a qu'en utilisant le langage mathématique que cela peut être clair

[Médiat]

Toute petite remarque en passant, afin de décourager toute tentative de catégorisation en "éléments" (la notion d'"élément" n'est pas intrinsèque dans ZF) et "ensembles" : on peut très bien avoir conjointement et , par exemple si
et Exemple un peu facile puisque est inclut dans tous les ensembles, je donne donc un autre exemple :

et

Exemples pris parmi les entiers de Von Neumann qui sont des cas particuliers d'ensembles transitifs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[karlp]

Exemples pris parmi les entiers de Von Neumann qui sont des cas particuliers d'ensembles transitifs.

L'écriture que vous employez ici était celle qu'un de mes profs de math avait utilisée pour la construction des ordinaux de Cantor (j'ai pu vérifier dans le texte original queCantor adoptait une autre écriture; mon vénérable professeur nous disait que Cantor n'était pas très "formaliste" (dans le sens où son écriture était peu formalisée)).
(Je dois reconnaître qu'il me faut réviser la notion d'ensembles transitifs)

[karlp]

Très cher Médiat,

Puis-je abuser de votre patience ?

Vous écriviez

[l'ensemble des rationnels] est inclus dans l'ensemble des réels mais ne lui appartient pas

(et ça m'a réveillé cette nuit)

Je comprends bien en quoi il est inclus; mais pas pourquoi il ne lui appartient pas.

Faut-il que je regarde du côté des axiomes de l'appartenance ?

[Médiat]

Bonjour très cher karlp

Abusez, je vous en prie, c'est toujours un plaisir.

Pour que l'ensemble des rationnels appartienne à l'ensemble des réels (pour que ), il faudrait que "l'ensemble des rationnels" soit un nombre réel.

Afin de rester sain d'esprit : ne pas lire ce qui suit :

 Cliquez pour afficher

(un esprit tordu comme celui d'un logicien pourrait trouver un cadre (encore plus tordu) dans lequel on pourrait dire que "l'ensemble des rationnels" correspond canoniquement (dans ce cadre tordu) à un réel, ce qui peut autoriser un abus de langage usuel et dire que "l'ensemble des rationnels" est un réel).

[karlp]

Je cherchais une solution très tordue !

La solution est infiniment simple !!
Merci encore

[invite6754323456711]

Il n'y a qu'en utilisant le langage mathématique que cela peut être clair

Difficile à constater pour un "œil" externe non ?

Je comprends bien en quoi il est inclus; mais pas pourquoi il ne lui appartient pas.

Réponse

il faudrait que "l'ensemble des rationnels" soit un nombre réel.

Il me semble que la on comprend plus rapidement non ?

Patrick

[karlp]

Bonjour à tous , bonjour Patrick

Pardonnez moi, je ne saisi pas du tout ce que vous voulez dire.

[invite6754323456711]

Bonjour à tous , bonjour Patrick

Pardonnez moi, je ne saisi pas du tout ce que vous voulez dire.

Comme toi j'ai été interpellé par le fait que l'ensemble des rationnels est inclus dans l'ensemble des réels mais ne lui appartient pas, quand bien même je connaissais (du moins j'avais connaissance) de la différence entre inclusion et appartenance. Revoir l'expression formelle d'inclusion ne m'a pas aider immédiatement, ce n'est qu'a la lecture de la réponse écrite en Français que cela m'a éclairé.

Donc est-ce vraiment qu'Il n'y a qu'en utilisant le langage mathématique que cela peut être clair ?

Patrick

[karlp]

D'accord, je comprends mieux

Je crois qu'en l'occurence le langage courant permet de raccorder au sens commun quelque chose qui ne se définit correctement et rigoureusement que dans un langage mathématique.

Mais il est parfaitement exact que ce qui n'est pas intuitif nous semble difficile.
Quand je disais que le langage courant rendait difficiles certaines expressions ou idées c'est dans la mesure où son équivocité "naturelle" vient entacher la rigueur requise pour les notions en cause.

A moins d'avoir une structure mentale qualifiée parfois de "psychotique", je crois qu'il y a une limite au delà de laquelle le caractère non intuitif d'une expression nous est insoutenable (je ne suis pas catégorique du tout, et j'avance là une hypothèse : j'ai à l'esprit l'exemple de la lecture de Joyce