la fin des mathématiques?

[tyrotyz]

Bonjour à tous,

Est-ce que vous pensez qu'un jour, l'homme aura complètement "découvert" le monde des mathématiques?
Pour mieux borner la question, j'ai eu un jour un professeur de mathématiques qui nous avait dit que les maths reposaient sur deux postulats: on ne peut pas diviser par 0 et un autre que j'ai oublié ( ; si d'ailleurs quelqu'un connait cette idée de la construction mathématiques, je suis intéressé). Est-ce qu'un jour viendra où de ses deux postulats, il n'y aura plus de problèmes ouverts?
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[Médiat]

Bonjour,

Est-ce que vous pensez qu'un jour, l'homme aura complètement "découvert" le monde des mathématiques?

Gödel a démontré que les mathématiciens ne seront jamais au chômage, même s'ils se retreignent à l'étude de l'arithmétique

on ne peut pas diviser par 0

Mais si on peut !

[invite9dc7b526]

j'aurais dit que les mathématiciens ne seront jamais au chômage parce que, (même dans des systèmes très simples) on peut énoncer une infinité de propositions (ou plutôt on ne peut pas, mais quel que soit le nombre fini de propositions déjà connues on peut en énoncer une nouvelle). Le fait que ces propositions soient démontrables ou pas ne joue aucun rôle selon moi.

[Médiat]

Ce n'est pas faux, mais pas juste à 100%, par le biais de schéma de théorèmes (modulo les tautologies logiques), un exemple, donné par l'arithmétique de Robinson :

On ne peut pas démontrer :
On peut démontrer, pour tout et tout entiers : (ce qui représente bien une infinité de théorèmes)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Une petite précision : se demander s'il y a une fin aux mathématiques est un préjugé platonicien, cette question n'a pas de sens pour un formaliste.

[tyrotyz]

@Mediat
"Une petite précision : se demander s'il y a une fin aux mathématiques est un préjugé platonicien, cette question n'a pas de sens pour un formaliste."

Ma question va sans doute être naïve: pour faire des mathématiques, il faut bien qu'il y ait un problème à résoudre. Si il n'y a plus de problèmes, les mathématiques ne sont-elles pas finis?

[jiherve]

Bonjour
Il reste déjà beaucoup de problèmes à résoudre et chaque jour il en apparait de nouveaux.
Donc pas de chômage à court et moyen terme.
JR

[Bergur2]

Les mathématiques sont à la fois une science et un langage.

-En tant que science,si on en juge par le passé, toutes les sciences en progressant répondent à des questions, mais en même temps en posent de nouvelles (souvent en plus grand nombre), il est probable qu'il en sera de même pour les mathématiques. Donc il y a de grande chances pour que, au moins à notre échelle, il n'y ait pas de fin.

-En tant que langage:
Si les langages courants sont des véhicules tous-terrains qui permettent d'aller sur n'importe lequel des chemins de l’imagination, le langage mathématique, lui, est un train qui construit ses rails au fur et à mesure qu'il avance. On peut choisir d'avancer avec le train mais on ne sait pas où mène la voie ferrée qui se construit.

Désolé pour ceux qui ont déjà vu mes réponses sur d'autres forum de sujets connexes mais ça reste vrai:

Le langage mathématique a deux particularité stupéfiantes :

- Comme constaté par tous les physiciens et autres scientifiques depuis Galilée, on n’a pas trouvé de langage plus efficaces pour décrire et utiliser les lois fondamentales du monde physique dans lequel nous sommes plongés, et cela est très probablement dû à la deuxième particularité ci-dessous.

- Non seulement le langage mathématique permet, comme les autres langages, de décrire et de communiquer, mais de plus il agit comme un filtre, car sa structure interdit de formuler des propositions contradictoires entre elles.

[Médiat]

Ma question va sans doute être naïve: pour faire des mathématiques, il faut bien qu'il y ait un problème à résoudre. Si il n'y a plus de problèmes, les mathématiques ne sont-elles pas finis?

Les mathématiciens ont la capacité d'inventer de nouvelles logiques, de nouvelles théories, de nouveaux axiomes pour des théories non complètes (et il y en aura toujours, merci Gödel), ils peuvent donc inventer de nouveaux problèmes tous les jours

[tyrotyz]

@Mediat

Comment ça inventer de nouvelles logiques?
Avant de poster ce sujet, j'ai un peu regardé sur le net (en amateur) et vu que par exemple, on pouvait construire des géométries différentes selon qu'on accepte ou pas l'axiome des parallèles, ou des logiques différentes selon que nonnonA=A ou pas; mais j'en avais déduis qu'il en existait un nombre limité.
Je me basais sur une échelle de temps de 10.000-20.000 ans, en référence à certains romans de SF comme Fondation par exemple. Je ne réfléchis pas en terme d'emploi pour moi.
Parce que le fait qu'il existe différentes sortes de géométries, ce n'est vieux que de 150 ans après tout.

Et merci pour vos réponses.

PS: d'autant plus qu'au fur et à mesure que les recherches avanceront, il faudra plus de temps aux nouveaux mathématiciens pour comprendre un sujet jusqu'au limite laissé par leurs prédécesseurs, et une vie humaine n'est pas infini.

[invitee724fe2f]

Bonjour,

Je laisse les spécialistes vous expliquer comment on invente de nouvelles logiques ...

On peut imaginer dans un futur lointain un système électronique expert capable de répondre à n'importe quelle question à laquelle pourrait répondre un mathématicien ou capable d'explorer un pan théorique. A priori, rien ne l'interdit. Ca ne veut pas dire qu'il sera infiniment performant.

PS: d'autant plus qu'au fur et à mesure que les recherches avanceront, il faudra plus de temps aux nouveaux mathématiciens pour comprendre un sujet jusqu'au limite laissé par leurs prédécesseurs, et une vie humaine n'est pas infini.

Ca c'est déjà le cas ! beaucoup monitorent déjà leurs lectures.

[Médiat]

Bonjour,

Comment ça inventer de nouvelles logiques?

Existent déjà :
La logique du premier ordre (ou deuxième ordre ou ...) pour les langages finis
La logique du premier ordre (ou deuxième ordre ou ...) pour les langages infinis
Les logiques avec des quantificateurs exotiques
Les logiques avec conjonction /disjonction infinie
La logique positive (ie. sans négation)
La logique floue
La logique catégorique
Les nombreuses logiques modales
La logique linéaire
La logique minimale
La logique intuitionniste
Les logiques multivaluées
Les logiques topologiques
et j'en oublie surement

Parce que le fait qu'il existe différentes sortes de géométries, ce n'est vieux que de 150 ans après tout.

Ce n'est pas un problème de logiques différentes, mais d'axiomatiques différentes