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indécidabilité de la décidabilité

  1. Schrodies-cat

    Date d'inscription
    avril 2015
    Messages
    1 014

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Considérons un mathématicien qui travaillerait à démontrer la non contradiction de l'arithmétique, de Peano, voire de ZF , dans l'arithmétique de Peano .
    Chacun dira qu'il perd son temps.
    Sur quoi repose ce jugement ? Pour justifier ceci, il faut bien admettre que les théorèmes de Gödel parlent de quelque chose.
    "en mathématiques, on ne sait pas de quoi on parle ..." , soit, mais on parle de quelque chose même si on ne sait pas précisément quoi .
    C'était le coin du platonicien réformé.

    -----

    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .
     


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  2. ilelogique

    Date d'inscription
    mai 2008
    Âge
    46
    Messages
    469

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Re,
    en fait, du coup, je suis en train de douter d'une des assertions que j'affirme : c'est lorsque je considère l’énoncé theo(A).
    En effet je dis que theo(A) est un énoncé affirmant que que A est un théorème de T, c'est à dire que A est conséquence sémantique et syntaxique de T (A vraie dans tout modèle de T et il existe une suite finie de formules terminant par A qui sont déduites les unes des autres à partir des formules de T par les règles de déductions / ces deux notions sont bien les mêmes par le théorème de complétude).
    Or je ne sais pas si un tel énoncé est effectivement constructible ?
    Ce sont mes souvenirs qui me font dire ça,
    aussi, pensez-vous, pour commencer, qu'il y a bien, pour toute formule A, une formule (du premier ordre) theo(A) ??
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une
     

  3. pelkin

    Date d'inscription
    septembre 2009
    Âge
    64
    Messages
    2 981

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    "en mathématiques, on ne sait pas de quoi on parle ..." , soit, mais on parle de quelque chose même si on ne sait pas précisément quoi .
    C'était le coin du platonicien réformé.
    J'apprécie beaucoup, je suis sur que Médiat va apprécier énormément aussi d'ailleurs ; apprendre que cela fait quarante ans que l'on ne sait pas précisément de quoi on parle fait toujours plaisir

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Pour justifier ceci, il faut bien admettre que les théorèmes de Gödel parlent de quelque chose.
    C'est la phrase la plus idiote que j'aie jamais entendu sur LES théorèmes de Gödel, on l'aura décidément mis à toutes les sauces ce pauvre Kurt, y compris pour ne rien dire.
    Spécialisé en sadanthropomicrobitubulabibaquophtalmologie
     

  4. ilelogique

    Date d'inscription
    mai 2008
    Âge
    46
    Messages
    469

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Allons allons, restons dans le sujet, la logique, svp, la décidabilité de la décidabilité....
    La réalité et/ou l'utilité des maths et des théorèmes de Kurt sont un autre sujet, même si certes passionnantes et propices à de fortes et justifiées oppositions d'idées...
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une
     

  5. mike.p

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    961

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par ilelogique Voir le message
    Nous savons grâce à Gödel que pour tout énoncé A de l'arithmétique (notée AP) il existe un prédicat Théo(A) qui code le fait que A soit un théorème de AP (on peut coder «*théo(A)=il existe une preuve Y de A*») donc le prédicat «*Dec(A)=théo(A) ou théo(nonA)*» est un prédicat affirmant que A est décidable dans AP, il devrait être codable aussi.
    Salut,

    ce code n'est il pas déjà "Dec(A)=théo(A) ou théo(nonA)" et donc décidabilité^n(A) = décidabilité(A) ?

    n'a t on pas décidabilité(P ou Q) = décidabilité(P) et décidabilité(Q) ?
    Dernière modification par mike.p ; 31/03/2016 à 11h36.
     


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  6. mike.p

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    961

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    je précise :
    si on admet que
    décidabilité(P ou Q) = décidabilité(P) et décidabilité(Q)
    et
    décidabilité(non P ) = décidabilité(P)
    et que la notation suivante est valide
    décidabilité(théo(P)) = décidabilité(P)

    alors
    décidabilité(décidabilité(A)) = décidabilité( théo(A) ou théo(nonA) )
    = décidabilité( théo(A) ) et décidabilité(théo(nonA) )
    = décidabilité(théo(A))
    = décidabilité(A)

    décidabilité^n(A) = décidabilité(A)

    Ce n'est valable que si les 3 hypothèses n'en sont pas dans la théorie et son formalisme. Qu'en est il ?
     

  7. Schrodies-cat

    Date d'inscription
    avril 2015
    Messages
    1 014

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par mike.p Voir le message
    je précise :
    si on admet que
    décidabilité(P ou Q) = décidabilité(P) et décidabilité(Q)
    et
    (...)
    Hum, hum cela commence mal ...
    l'usage du signe = me fait un peu tiquer mais passons ...
    si on remplace dans votre axiome ou schéma d'axiomes Q par (non P).
    on obtient:
    décidabilité(P ou non P) = décidabilité(P) et décidabilité(non P)
    Or dans la logique classique (si vous vous placez dans un cadre, intuitionniste dites le mais je ne suis pas sur que cela va arranger les choses).
    (P ou non P) est toujours démontrable (par simple application d'un axiome de la logique) donc décidable par définition de la décidabilité.
    Donc (P est Décidable) ou (Non p est décidable), ce qui donne, sachant que ces deux propriétés sont équivalententes:
    Toute énoncé est décidable ! ce qui fait que votre notion de décidabilité ne présente aucun intérêt .

    Il ne suffit pas de jeter des axiomes au hasard pour faire une théorie intéressante.
    Dernière modification par Schrodies-cat ; 05/04/2016 à 09h48.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .
     

  8. Schrodies-cat

    Date d'inscription
    avril 2015
    Messages
    1 014

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Diable ! Je viens de m'apercevoir que j'en était à 666 messages !
    J'en reposte un immédiatement !
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .
     

  9. Schrodies-cat

    Date d'inscription
    avril 2015
    Messages
    1 014

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Je referme la porte que j'avais à peine entr'ouverte:
    Dans un cadre intuitionniste, si P est démontrable et Q indécidable, alors (P ou Q) est démontrable .

    Quant à la définition de l'indécidabilité en intuitionnisme, il faudrait peut-être plusieurs degrés d'indécidabilité.
    Dernière modification par Schrodies-cat ; 05/04/2016 à 11h17.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .
     

  10. mike.p

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    961

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Hum, hum cela commence mal ...
    l'usage du signe = me fait un peu tiquer mais passons ....
    je peux utiliser "=", la décidabilité étant une fonction ( binaire ). "et" et "ou" sont des opérations sur des bits.

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    si on remplace dans votre axiome ou schéma d'axiomes Q par (non P).
    ...
    Il ne suffit pas de jeter des axiomes au hasard pour faire une théorie intéressante.
    c'est votre théorie là ...

    Pour ma part j'ai essayé d'inférer à partir du message auquel je réponds en utilisant 3 suppositions d'ignorant et en demandant si elles ne sont pas inutiles ou au contraire explicitement fausses. Sauriez vous une réponse ?

    J'ai un soupçon sur la véracité de :
    et que la notation suivante est valide
    décidabilité(théo(P)) = décidabilité(P)
    En fait, je ne sais plus 1) si on suppose que l'indécidabilité peut dans certains cas être démontrée ou si c'est toujours l'incapacité de montrer la décidabilité, 2) si on suppose qu'il existe un algorithme universel pour la décidabilité ( sans lequel on ne peut inférer sur la décidabilité du code de la décidabilité de A ) ...
     

  11. Schrodies-cat

    Date d'inscription
    avril 2015
    Messages
    1 014

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par mike.p Voir le message
    (...)
    c'est votre théorie là ...
    (...)
    Je n'ai pas émis de théorie personnelle, simplement réfuté la Vôtre.
    En conséquence ...
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .
     

  12. mike.p

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    961

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Je n'ai pas émis de théorie personnelle, simplement réfuté la Vôtre.
    En conséquence ...
    je ne suis pas convaincu qu'il y ait eu quoi que ce soit à réfuter ou non ... Mais si ça vous fait plaisir, n'en parlons plus.
     


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