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Différents types de vérités (ou de savoirs)

  1. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
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    5 216

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Il y a pourtant des mathématiques qui ont été développées dans l'idée de résoudre des problèmes très concrets. Ca me semble abusif de dire que les mathématiciens qui les ont développées se fichaient totalement de la "maîtrise du réel". Comme exemples on peut citer la méthode des moindres carrés que Gauss a imaginée pour améliorer la construction de cartes topographiques ou la formule de Stokes qui a été développée pour résoudre des questions d'hydraulique (je viens de lire le livre de Michèle Audin!).

    -----

     


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  2. karlp

    Date d'inscription
    avril 2010
    Messages
    2 721

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Que des mathématiciens aient eu à l'esprit la résolution de problèmes concrets n'implique pas que les mathématiques doivent être subordonnées à cette finalité. C'est même en se libérant de ce type de considérations qu'elles peuvent s'engager dans des voies inédites.
    Songez seulement qu'un tel asservissement aurait très probablement donné une assise définitive à la censure des théories sur les transfinis. La "philosophie" n'a rien à dire sur l'orientation des mathématiques.
    "l'essence des mathématiques c'est la liberté" Cantor
     

  3. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
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    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Il y a pourtant des mathématiques qui ont été développées dans l'idée de résoudre des problèmes très concrets. Ca me semble abusif de dire que les mathématiciens qui les ont développées se fichaient totalement de la "maîtrise du réel".
    certes, mais tu fais référence entre autre, à des "actes" passés, tout comme plus haut , qcq a fait référence à Platon.
    et je vois comme une problématique d'implication logique dans ce raisonnement.
    ce n'est pas parce que les maths ( produit de notre réflexion humaine ) ont servit ou servent à "modéliser" ce qu'on essaye de comprendre notre environnement, que par "pseudo-déduction" elles seraient faites pour ça.
    à moins de vouloir le postuler.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  4. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 820

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    minushabens, un mathématicien peut toujours rendre service à un copain si celui-ci ne s'en sort pas, mais, jamais une expérience "réelle" n'invalidera une théorie mathématique, si les méthodes mises au point par Gauss, n'avait pas marché pour le problème concret à résoudre, ces méthodes seraient restées des mathématiques correctes.

    Il va de soi que, comme karlp, je suis d'accord avec Cantor, et j'ajoute ce que disait Hilbert :

    Citation Envoyé par Hilbert
    Personne ne doit nous chasser du paradis créé par Cantor
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  5. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
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    5 216

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    je ne crois pas que Gauss "rendait service à un copain". Je pense que lui, comme Newton et d'autres ont développé des mathématiques dans le but de résoudre des questions, soit de physique soit d'ingénierie, qui les intéressaient eux. Je pense même que cette pratique de la mathématique existe de nos jours. Et donc je pense que ta vision du travail des mathématiciens n'est pas universelle, elle correspond sans-doute à ta pratique et peut-être, mais ce n'est pas certain, à celle d'une majorité de mathématiciens, mais pas de tous.
     


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  6. PlaneteF

    Date d'inscription
    janvier 2012
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    7 570

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Bonjour,

    Citation Envoyé par karlp Voir le message
    "l'essence des mathématiques c'est la liberté" Cantor
    C'est pas les deux frères Gasol qui ont dit ça ? (ah non c'est vrai eux c'est le basket )

    Désolé, pas pu m'empêcher !

    Dernière modification par PlaneteF ; 16/10/2016 à 11h50.
     

  7. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Messages
    16 820

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    je ne crois pas que Gauss "rendait service à un copain".
    Je sais que l'ironie passe mal sur un forum, mais là quand même, il n'y avait pas beaucoup d'hésitations à avoir


    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Je pense que lui, comme Newton et d'autres ont développé des mathématiques dans le but de résoudre des questions, soit de physique soit d'ingénierie, qui les intéressaient eux. Je pense même que cette pratique de la mathématique existe de nos jours. Et donc je pense que ta vision du travail des mathématiciens n'est pas universelle, elle correspond sans-doute à ta pratique et peut-être, mais ce n'est pas certain, à celle d'une majorité de mathématiciens, mais pas de tous.
    Bien sûr qu'un être humain peut être à la fois mathématicien et physicien et/ou n'importe quoi d'autres, bien sûr que l'une de ses personnalités peut déclencher le travail du mathématicien en lui, mais, si jamais, dans ce cas, il arrête son travail, parce que non conforme à "la réalité" (ou toute autre référence extra-mathématique), alors, c'est en physicien (ou toute autre référence extra-mathématique) qu'il réagit, pas en mathématicien. Il s'agit d'archétypes pas de personnes réelles.

    Aucune personne (j'espère) n'est qu'une seule chose, quand j'écris "le mathématicien se fiche de la réalité", cela ne veut pas dire que A. Connes n'est pas un mathématicien, mais qu'il n'est pas que cela, et que certains de ses choix ne sont pas dictés part sa partie de mathématicien
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  8. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 216

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Mais je pense que ce n'est pas juste que Newton était mathématicien et aussi physicien. A mon humble avis ses créations mathématiques sont inspirées par sa pensée physicienne. Je crois que c'est vrai d'autre mathématiciens.
     

  9. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
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    16 820

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Plus vous irez dans le passé et plus cela sera vrai
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  10. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
    Messages
    357

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Bonjour à tous,

    Les mathématiques se distinguent des autres sciences si on considère qu'elles ne portent pas sur le monde, sur la réalité concrète, mais sur des idées.
    La question est donc de savoir quels sont les objets sur lesquels portent les mathématiques, en regard des autres sciences.

    Les autres sciences sont des connaissances qui nous renseignent sur des caractéristiques et des propriétés d'objets du monde réel (même s'ils sont constitués de théories : atome, cellules...). Portant sur le monde, ces connaissances sont changeantes, ce qui est vrai ici n'est pas forcément vrai ailleurs, ce qui était vrai hier ne sera pas nécessairement vrai demain... De plus ces connaissances peuvent être testées par l'expérience.

    En comparaison les mathématiques portent sur des idées et leur mise en relation, "sans dépendre de rien de ce qui existe dans l'univers". Elles ne dépendent pas du contexte, elles sont déconnectées de la réalité comme le dit Médiat.

    Extrait d'un texte de Hume :

    Hume, Enquête sur l’entendement humain, IV, 1, § § 1 et 2

    Tous les objets de la raison humaine ou de nos recherches peuvent naturellement se diviser en deux genres, à savoir les relations d’idées et les faits. Du premier genre sont les sciences de la géométrie, de l’algèbre et de l’arithmétique et, en bref, toute affirmation qui est intuitivement ou démonstrativement certaine. Le carré de l’hypothénuse est égal au carré des deux côtés, cette proposition exprime une relation entre ces figures. Trois fois cinq est égal à la moitié de trente, exprime une relation entre ces nombres. Les propositions de ce genre, on peut les découvrir par la seule opération de la pensée, sans dépendre de rien de ce qui existe dans l’univers. Même s’il n’y avait jamais eu de cerce ou de triangle dans la nature, les vérités démontrées par Euclide conserveraient pour toujours leur certitude et leur évidence.



    Les faits, qui sont les seconds objets de la raison humaine, on ne les établit pas de la même manière ; et l’évidence de leur vérité, aussi grande qu’elle soit, n’est pas d’une nature semblable à la précédente. Le contraire d’un fait quelconque est toujours possible, car il n’implique pas contradiction et l’esprit le conçoit aussi facilement et aussi distinctement que s’il concordait pleinement avec la réalité. Le soleil ne se lèvera pas demain, cette proposition n’est pas moins intelligible et elle n’implique pas plus contradiction que l’affirmation : il se lèvera. Nous tenterions donc en vain d’en démontrer la fausseté. Si elle était démonstrativement fausse, elle impliquerait contradiction et l’esprit ne pourrait jamais la concevoir distinctement.
    Le problème c'est que tout le monde n'est pas d'accord (il me semble) sur la nature des objets sur lesquels portent les maths, et sur la possibilité ou noàn de mener des expériences sur ces objets.

    - Logicisme : certains ont considéré que les mathématiques ne sont qu'une forme de logique particulière. Les objets sur lesquels elles portent sont des relations entre des idées (nombre, ...). Dans ce cas elles sont vides de contenu, par rapport aux autres sciences. Le problème est qu'on ne peut pas s'affranchir d'axiomes qui ne sont pas purement logique, ce qui mais un coup à ceux qui veulent résumer les mathématiques uniquement à la logique.
    - Formalisme : les maths ne sont qu'une manipulation de symboles, ou de "choses" imaginaires. Echec avec le théorème de Gödel.
    - En passant par le "neo-Platonicisme". Extrait d'un site dont j'ai mis le lien ensuite.

    On voit que les approches visant à réduire les objets mathématiques à autre chose (à la logique, à des constructions, à des jeux de symboles arbitraires) rencontrent des difficultés. Et si, finalement, les objets mathématiques existaient réellement ? Non pas de manière concrète dans notre univers, mais peut-être de manière abstraite ?

    C'est ce qu'on appelle le platonisme. Il a connu un renouveau au cours du 20ème siècle suite aux difficultés des autres approches, et était adopté notamment par Gödel. Derrière le platonisme, il y a l'intuition que les mathématiciens ne font pas que construire des systèmes, mais qu'il découvrent des vérités qui pré-existent à leurs raisonnements.

    On peut finalement faire une analogie assez forte avec les sciences naturelles. L'intuition mathématique pourrait se rapprocher de la perception qui sert de support aux sciences naturelles. Tout comme en science, on émet des conjectures et certaines hypothèses sont révisables (comme quand Frege découvre que son principe est contradictoire). Tout comme en science, on juge finalement les axiomes mathématiques à l'aulne de leur succès pour rendre compte de façon simple et économique d'un grand nombre de vérités (ou de choses qui semblent intuitivement vraies).
    Cette vision a aussi ses détracteurs, etc.

    Voici le site, je trouve que le résumé est pas mal :

    http://philosophiedessciences.blogsp...stent-ils.html

    Et un autre article que je n'ai pas eu le temps de lire encore, mais qui a l'air pas mal, sur la vérité de certains axiomes.

    Cdt
    Encore une matinée à me demander comment combler tout ce vide que tu as laissé -M Gims-
     

  11. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 820

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Bonjour,

    En quoi les théorèmes de Gödel (je suppose que vous faites allusion aux théorèmes d'incomplétude) marqueraient l'échec du formalisme ?

    De plus, même le platonicien le plus absolu, sait très bien qu'il ne manipule les objets mathématiques qu'au travers de leur formalisation, tout aussi soumise aux théorèmes de Gödel
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  12. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
    Messages
    357

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Extrait du texte que j'ai mis en copie... Je ne peux pas en dire beaucoup plus pour ma part.

    Gödel mettra fin à ce beau projet [jeu méta-mathématique de Hilbert visant à montrer entre autres la consistance et la complétude de l'arithmétique]. Il montrera que certains énoncés mathématiques sont indécidables, c'est à dire qu'on ne peut prouver ni qu'ils sont vrais, ni qu'ils sont faux à partir des seuls axiomes. On peut même construire de nouveaux systèmes formels divergents à partie de chaque énoncé indécidable : un qui l'accepte et un qui le rejette. Gödel montrera également que l'énoncé correspondant à la consistance de l'arithmétique elle-même fait partie de ces énoncés indécidables. De manière général, aucun système d'axiome au moins aussi puissant que l'arithmétique ne peut démontrer lui-même sa propre consistance, c'est à dire qu'il ne peut prouver qu'il est lui-même cohérent et n'aboutit à aucune contradiction. Il faut, pour le montrer, partir d'un système plus puissant qui englobe le premier en faisant usage de concepts mathématiques avancés (mais ce système lui même ne peut montrer sa propre consistance). Un peu comme des poupées russes...

    Ceci montre que les systèmes formels avancés dépassent en un sens l'arithmétique. Mais le programme de Hilbert, s'il échoue en partie, a également ouvert la voie à des travaux très important sur les fondations des mathématiques et la notion de preuve ou de système formel.

    En dépit du théorème d'incomplétude de Gödel, l'approche formaliste reste a priori viable : peut-être que les mathématiques ne sont que manipulation de symboles. Il faudrait alors accepter qu'il n'existe pas un unique système cadre (l'arithmétique), mais que tous les systèmes formels se valent, et que la vérité d'un théorème ne vaut qu'à l'intérieur d'un système donné qu'on accepte par simple convention. Les théorèmes de l'arithmétique ne seraient vrai qu'une fois qu'on accepte les axiomes de l'arithmétique, tout comme un personnage de fiction n'existe qu'à l'intérieur d'une histoire donnée. Mais les axiomes seraient arbitraires, ou résulterait de considérations pragmatiques.

    On peut douter cependant qu'une telle vision des choses face vraiment justice à la pratique des mathématiciens. On peut douter qu'ils perçoivent leurs énoncés comme dénués de sens, ou leur activité comme un simple jeu formel. Et leurs "personnages de fiction" existent un peu dans toutes les histoires...

    Ensuite il est très fréquent que les mathématiciens discutent de la pertinence des axiomes (par exemple l'hypothèse du continu) comme s'il s'agissait de déterminer quels sont les bons axiomes à adopter. Les axiomes de la théorie des ensembles ne semblent pas être arbitraires : on peut penser que ce sont de bons axiomes qu'il est raisonnable d'accepter, et si par exemple la consistance de l'arithmétique de Peano est indécidable, il semble encore une fois raisonnable de l'accepter comme axiome et de travailler dans des systèmes qui l'acceptent plutôt que l'inverse. Il ne semble pas qu'il s'agisse d'un choix arbitraire.

    Un autre problème se pose, qui est que si les mathématiques ne sont qu'un jeu de manipulation de symboles, si les nombres ne sont que des marques sur du papier, comment alors expliquer la façon dont ils s'appliquent au monde à travers les sciences ? Est-ce que cette application, couronnée de succès, ne suppose pas une certaine réalité des concepts mathématiques ?
    Cet extrait ne vous donne pas vraiment tort... L'autre extrait que j'ai mis en citation dans mon message précédent nous dit que le platonisme était adopté notamment parGödel...

    Pour ma propre pratique, je remarque qu'il est possible de réaliser des expériences pour vérifier des assertions mathématiques. Par exemple on peut facilement réaliser une expérience pour vérifier que l'affirmation suivante est fausse : "deux demi-droites [CD) et [DC) sont confondues"

    Sur le thème de la vérité en mathématiques, avez-vous lu le 2ème document pdf que j'ai mis en lien ?
    Je vais m'y plonger car il m'a l'air intéressant. Je remets le lien :
    http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgy.pdf
    Dernière modification par Juzo ; 17/10/2016 à 18h19.
    Encore une matinée à me demander comment combler tout ce vide que tu as laissé -M Gims-
     

  13. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 820

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Bonsoir

    Entre, "échec du formalisme" et "échec du programme de Hilbert" il y a un monde !

    Quelle expérience avez-vous faite pour vérifier le "théorème de Banach-Tarski"

    Le texte que vous avez mis en lien sur "les vérités essentielles" est un commentaire sur les travaux de Woodin dont j'ai déjà parlé sur ce site, 2 choses à noter, :
    1) Woodin lui-même a changé d'avis sur sa conclusion
    2) Krivine (le plus grand logicien Français) a écrit sur ce sujet :
    Citation Envoyé par Krivine
    Chercher à savoir si CH est vraie ou fausse relève de la discussion sur le sexe des anges.
    (et je suis en parfait accord avec mon ancien professeur )

    Donc, en conclusion, ce n'est pas parce que l'on baptise un concept "vérité essentielle" que cela a le moindre rapport avec la vérité
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  14. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 820

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    J'ai retrouvé le fil : Raisonnement faux à l'infini
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  15. Juzo

    Date d'inscription
    janvier 2016
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    357

    Re : Différents types de vérités (ou de savoirs)

    Citation Envoyé par Médiat
    Entre, "échec du formalisme" et "échec du programme de Hilbert" il y a un monde !
    Je pensais au fait qu'aucun système ne peut démontrer sa consistance. Mais cela ne signe pas un échec du formalisme selon l'auteur du texte.

    Citation Envoyé par Médiat
    Quelle expérience avez-vous faite pour vérifier le "théorème de Banach-Tarski"
    Aucune étant donné ce théorème, mais y a-t-il un théorème faisant l'objet d'une démonstration constructive qui ne peut pas être testé par une expérience ?
    Et l'axiome du choix n'est-il pas sujet à discussion ? (au moins du point de vue philosophique)
    En physique moderne on produit aussi des théories qui ne sont pas testables par l'expérience (théorie des cordes etc.) Bien sûr on peut dire que ce ne sont pas des théories physiques...

    Citation Envoyé par Hilbert
    Personne ne doit nous chasser du paradis créé par Cantor
    Attention, le paradis dans votre citation d'Hilbert me fait penser au monde intelligible de Platon vers quoi tend l'âme, ces "hauteurs où l'âme des dieux a établi sa demeure", où les âmes immortelles "contemplent les réalités qui se trouvent hors du ciel" ! (je blague)
    "L'être qui est sans couleur, sans figure, intangible, qui est réellement, l'être qui ne peut être contemplé que par l'intellect -le pilote de l'âme-, l'être qui est l'objet de la connaissance vraie, c'est lui qui occupe ce lieu."
    Platon, Phèdre
    Encore une matinée à me demander comment combler tout ce vide que tu as laissé -M Gims-
     


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