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Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

  1. #1
    muzoter

    Cool Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Bonjour.

    Me demandais dernièrement ce qu'est un nombre aléatoire

    Ai trouvé une définition dans un lexique que je trouve par trop bizarre :

    Dans une urne contenant 100 billes numérotées de 1 à 100, on pige au hasard une bille. Cette expérience est une expérience aléatoire. Le nombre pigé est alors un nombre aléatoire.

    https://lexique.netmath.ca/nombre-aleatoire/


    N'est-elle pas aléatoire cette définition d'un nombre aléatoire

    Est-ce la définition officielle

    Merci.

    -----

    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  2. Publicité
  3. #2
    Deedee81

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Salut,

    Il n'y a pas, à ma connaissance, vraiment de définition officielle.

    Et ça dépend de ce que tu entends par aléatoire. Si tu parles d'un nombre entier généré aléatoirement, alors oui, c'est simplement ça : aléatoire signifie généré aléatoirement.
    Ceci dit, c'est imprécis car il n'existe pas de distribution uniforme pour l'ensemble des nombres entiers. Donc il faut en principe indiquer quelle est la distribution (gaussienne, poissonnienne, ou uniforme entre 0 et 100 dans l'exemple donné, etc.)

    Il y a aussi les nombres réels avec des décimales aléatoires (ou tout suite d'entiers). Là ça signifie que chaque décimales a une valeur qui est indépendante des précédentes dans le sens qu'il n'y a pas d'algorithme fini permettant de générer les décimales ou encore on peut dire que la complexité de Kolmogorov de la suite de décimales est maximale.
    Qu'on me corrige si j'ai été imprécis.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  4. #3
    invite34915237

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Bonjour,

    Mais il y a bien une définition officielle d'une suite finie de nombre aléatoire, avec la complexité de Kolmogorov, mais cette définition est aléatoire (changeante...).

    Bonne journée.

  5. #4
    ansset

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Citation Envoyé par muzoter Voir le message
    Me demandais dernièrement ce qu'est un nombre aléatoire

    Ai trouvé une définition dans un lexique que je trouve par trop bizarre :
    .
    ce que tu cites est un exemple d'énoncé mathématique.
    et en général, ( en prolongement de ce qu'a dit Deedee ) , on précise le cadre quand on emploi le mot.
    Cdt

    ps : De plus l'expression "ce qu'est un nombre aléatoire" est peu mathématique.
    on parle de tirage, de variable, d'échantillon, etc ......
    Dernière modification par ansset ; 28/03/2017 à 10h25.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    Deedee81

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Ah, tiens, j'avais pas vu.

    Futura a une définition :
    http://www.futura-sciences.com/tech/...leatoire-1778/

    Typiquement dans le sens "tirage aléatoire uniforme dans un intervalle [0 - X]
    avec pseudo-aléatoire v.s. "vrai" aléatoire (j'ai déjà vu des systèmes basés sur le bruit thermique par exemple).
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  7. #6
    muzoter

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Ah vi vu z'avais pas, vu hi hi

    Merci de ces éclairages : je suis très éclairé aidé => merci de m'avoir aidé
    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  8. #7
    minushabens

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Citation Envoyé par muzoter Voir le message
    Est-ce la définition officielle
    non, c'est juste un exemple d'expérience aléatoire produisant un nombre.

    La définition générale est celle de variable aléatoire, à valeurs dans un ensemble de nombres. Si par "nombre" tu entends un entier naturel, alors la définition de nombre aléatoire est celle d'une variable aléatoire à valeurs dans l'ensemble des entiers naturels. Je n'en vois pas d'autre.

  9. #8
    ansset

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Re-
    je ne vois pas de définition dans ton lien.
    juste un titre.....dont l'expression brute me dérange tj.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    muzoter

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Il y a aussi les nombres réels avec des décimales aléatoires (ou tout suite d'entiers). Là ça signifie que chaque décimales a une valeur qui est indépendante des précédentes dans le sens qu'il n'y a pas d'algorithme fini permettant de générer les décimales ou encore on peut dire que la complexité de Kolmogorov de la suite de décimales est maximale.
    ... est-ce à dire que pour un nombre donné - brut ou issu d'opérations genre division dans des corps genre (R, +,.) ou (C,+,.) - il faut trouver ou ne pas trouver, des relations possibles entre les chiffres qui le composent, pour savoir s'il est ou non ... "aléatoire"

    => en ce sens Pi serait qualifié d'"aléatoire"

    Dans tous les cas un nombre brut, isolé, n'est pas aléatoire ni pas aléatoire : il est ce qu'il est, tout simplement
    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  11. #10
    muzoter

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Ai trouvé un lien sur pi, qui contient des définitions possibles de ce que pourrait être un nombre "aléatoire" => en somme nul n'a l'air de trop savoir si Pi est aléatoire ou pas aléatoire


    B.1 - Définition de "Aléatoire"

    Un nombre sera dit aléatoire si la taille du programme minimal générant n décimales du nombre est au moins de taille n. Intuitivement, cela signifie que l'on ne peut compresser l'information contenue dans ce nombre.

    Plus précisément, cette approche est liée au fait que puisque la probabilité de tirer une suite précise de décimales est nulle, on ne peut facilement utiliser la théorie de la mesure. On peut par contre passer par la théorie de la calculabilité mise au point dans les années 40 par Gödel, Turing, Church et Kleene. Celle-ci indique que toutes les suites de nombres ne sont pas programmables, donc calculables par machine. A l'issue de ces travaux, d'autres menés par Kolmogorov, Solomonoff, Chaitin et Martin-Löf dans les années 60 ont précisé la définition d'un nombre aléatoire au sens de Martin-Löf comme un nombre ne possédant pas de propriété exceptionnelle que l'on puisse effectivement vérifier.

    On retombe sur la théorie de la mesure en définissant une propriété exceptionnelle comme une propriété qui n'est presque sûrement pas vérifiée. Pour ne pas se faire piéger par des cas un peu spéciaux mais que l'on ne pourrait pas déceler, on rajoute la condition de vérification effective. Elle signifie que l'on peut vérifier la propriété par programme avec un risque de se tromper s'amenuisant avec le degré de vérification.

    ( http://www.pi314.net/fr/statistique.php )
    Bonne journée.
    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  12. #11
    pm42

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Citation Envoyé par muzoter Voir le message
    Ai trouvé un lien sur pi, qui contient des définitions possibles de ce que pourrait être un nombre "aléatoire" => en somme nul n'a l'air de trop savoir si Pi est aléatoire ou pas aléatoire
    Non, ça c'est une définition comme une autre, la complexité de Kolmogorov.
    Avec cette définition, pi n'est pas aléatoire puisqu'on peut écrire un programme relativement court qui va générer autant de décimales que l'ont veut.

    Avec d'autres définitions, on ne sait pas en effet.
    Plus de détails ici :

    https://www.pi314.net/sitepdf/statistique.PDF

  13. #12
    LeMulet

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Si on veut jouer à ce petit jeu on peut dire qu'un nombre aléatoire est un nombre qui a la propriété intrinsèque de ne pas pouvoir être calculé...(après il faut définir ce que l'on entend par là)
    Ce qui se rapproche le plus de cette définition, à mon avis, (qui vaut ce qu'elle vaut) ce sont les nombres Oméga.

    Voir ici pour une première approche :
    http://www.pourlascience.fr/ewb_page...mega-25004.php

    Plus détaillé ici (voir page 9 : Tous les nombres Oméga sont aléatoires au sens mathématique le plus fort (le terme consacré est "aléatoire au sens de Martin Löf" en l'honneur du mathématicien suédois qui introduisit ce concept en 1966).
    https://www.cs.auckland.ac.nz/~cristian/delahaye.pdf
    Bonjour, et Merci.

  14. #13
    muzoter

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    ... concept compliqué d'autant qu'essayer de générer des "nombres aléatoires" ça a l'air de revenir à modéliser le hasard or, par principe ou définition, le hasard est imprévisible :

    Générer des nombres aléatoires sur ordinateur revient à créer une suite d'entiers :


    In+1 = f(In)

    où f est une fonction qui doit être choisie judicieusement pour que la répartition des nombres In ne puisse pas être distinguée de ce que donnerait le hasard. On parle alors de nombres pseudo-aléatoires.



    ( https://www.unilim.fr/pages_perso/je...dom/random.htm )
    Le hasard est une notion assez compréhensible en Physique, autrement plus difficile à comprendre en Mathématiques.

    Les Mathématiques simulent le mouvement physique par la magie des opérations exemple si j'écris 14 = 13 + 1 au départ j'ai 13, en fin de ligne j'ai 14 : du changement a l'air de s'être opéré !

    Ou si j'écris 2 = 1+1/2+1/4+1/8 ... j'approche 2 par une sorte de sommation à l'infini de nombres en nombre infini : du mouvement perpétuel semble s'opérer par la magie de l'addition dans R ou C.

    Et si c'est un ordinateur qui se charge de cela du mouvement s'opère dans l'ordinateur, des électrons se meuvent => pour additionner 13 et 1 ça s'est mû ça a bougé, du changement réel s'est produit là-dedans.

    Dans tous les cas difficile, par principe ou définition, de modéliser "le hasard"
    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  15. #14
    pm42

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Comme d'hab, du nawak de quelqu'un qui se parle à lui même.

  16. #15
    LeMulet

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Citation Envoyé par muzoter Voir le message
    Le hasard est une notion assez compréhensible en Physique, autrement plus difficile à comprendre en Mathématiques.
    En tous cas, en mathématiques la définition se rapproche assez bien de celle de la physique.

    Citation Envoyé par Delahaye, page 4
    Qu’entendons-nous par connaître? En mathématiques depuis que la logique a permis au début du XXe siècle la formalisation de théories puissantes, les mathématiciens on pris l'habitude d'indiquer (au moins implicitement) dans quelle théorie on raisonne et avec quel langage on écrit les preuves qu'on propose.

    La théorie des ensembles ZFC (Zermelo-Fraenkel avec l’axiome du choix) est une théorie satisfaisante pour pratiquement toutes les mathématiques et elle sert d'ailleurs de base au grand traité de mathématiques de Nicolas Bourbaki.
    Les preuves que nous évoquerons ici sont des preuves formulables dans ZFC et il nous suffira de penser que lorsque nous disons "nous pouvons connaître P", cele signifie: il existe une preuve de ZFC qui démontre P. Cette remarque étant formulée, nous n’y reviendrons pas: quand nous affirmerons qu’une tell propriété est démontrable, nous sous-entendrons "avec les axiomes de ZFC".

    Les nombres oméga de Chaitin sont des nombres réels parfaitement définis, qui, comme nous le verrons dans la suite, non seulement ne sont pas calculables (aucun programme ne peut en égrainer les chiffres, comme c’était déjà le cas pour t) mais dont nous ne connaîtrons qu'un nombre fini de chiffres.

    La théorie mathématique est incapable de donner des précisions sur les chiffres des nombres oméga que pourtant elle définit parfaitment!
    https://www.cs.auckland.ac.nz/~cristian/delahaye.pdf
    Bonjour, et Merci.

  17. #16
    ansset

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    @LeMulet:
    très intéressant ces nb Oméga.
    mais je crains que cela n'éclaire pas Muzoter , qui semble déjà en pleine confusion.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #17
    LeMulet

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Ce qui d'ailleurs intéressant ici (d'après ce que je suis en mesure de comprendre) c'est de constater que la notion d'aléa dans un cadre scientifique n'est pas reliée à une inconnaissance totale (sinon on ne saurait même en parler), mais à l'inconnaissance reconnue comme telle par le fait qu'on sait quelque-chose d'une chose et que l'on sait que sur cette base il existe quelque-chose de cette chose qui ne peut être connue.
    Bonjour, et Merci.

  19. #18
    muzoter

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Justement qu'est-ce qui est inconnu ou inconnaissable :

    - du point de vue physique,

    - du point de vue mathématique ?

    Modélisation (une parmi d'autres possibles) physique du hasard :

    d'une urne contenant 1000 boules numérotées de 1 à 1000, tirages avec remises de 10 boules puis confection du nombre obtenu par concaténation des nombres tirés => il y a N possibilités de 10 boules (N=1000^100 sauf erreur, si c'est faux désolé) et tous les tirages sont équiprobables (une chance sur N de se produire) : 12345678910 peut advenir comme tout autre nombre, le hasard n'interdit rien, pas même qu'il advienne K milliards de fois consécutivement. Ce qui est connu c'est ce qui peut advenir. Ce qui est inconnu c'est ce qui va advenir.

    Modélisation mathématique via des nombres dits "aléatoires" :

    D'après ce que je lis parce que c'était la question que je posais au début, un nombre aléatoire en math ce serait un nombre parfaitement bien défini et approchable mais "incalculable" ou "inconnaissable" a priori !



    => chacun peut voir ce faisant la distinction qu'il y a lieu de faire entre "aléatoire" au sens physique du vocable et "aléatoire" au sens mathématique via cette notion, plutôt tordue je trouve, de "nombre aléatoire"

    - d'un point de vue physique tous les possibles sont connus d'avance.

    - d'un point de vue mathématique via cette notion tordue de "nombre aléatoire", les nombres "aléatoires" seraient les seuls à ne pas pouvoir être connus à l'avance
    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  20. #19
    f.oreste

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    ça n'a surtout pas de sens de faire un être, un résultat dont l'être est relatif... (être = définition)

    un nombre est un nombre, peu-importe de la manière dont on l'obtient, c'est le signifiant d'une quantité q...

    or parcequ'un nombre(suite de chiffre) ne code que des quantités "finie" et ne saurait faire référence à plusieurs quantité "en même temps" ... le vocable "nombre aléatoire" est assez antinomique avec l'être premier du terme nombre...

    au mieux c'est une figure de style, un oxymore, au même titre que l'on parle en poésie de soleil noir (et non de trou noir qui est un pléonasme, un trou n'étant jamais lumineux de nature (donc sombre a minima))...

    sans doute qu'en mathématique l'on à pris soin de ne pas nommer tout un tas de nouvelles graphies nécessaire a leurs études et qui sont dénommé "nombre" alors qu'il ne saurait en être...

    pi est-il un nombre, un chiffre, ou bien autre chose ? plutôt un coéficiant ? non plus qu'une quantité finie (en tout cas ) idem pour √2 ? nombre alors qu'il n'est pas constructible au compas et à la règle ??

  21. #20
    Médiat

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Record de n'importe quoi et d'erreurs en un minimum de lignes pulvérisé !

    (En 4ième on sait construire racine(2) à la règle et au compas !)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #21
    pm42

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Record de n'importe quoi et d'erreurs en un minimum de lignes pulvérisé !
    Et il y a de la concurrence. Parfois, j'ai l'impression de lire de la philosophie plutôt que de la science. Et pas de la bonne philo...

  23. #22
    Dlzlogic

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Bonjour,
    Je donnerai ma propre définition "un nombre aléatoire est un nombre qui ne dépend que du hasard".
    Il faut donc définir le hasard. Jacques Hartong y a consacré un chapitre entier dans son livre "Probabilités et statistiques".
    Pour simplifier, on peut dire que le hasard est unique et qu'il répond à des lois précises.
    Si cela n'était pas vrai, les statistiques n'auraient aucune justification.
    Il n'y a rien de philosophique, juste des notions très importantes qui ont justifié la modifications des programmes. Ces notions sont connues depuis deux siècles, mais probablement pour simplification, certains n'en ont gardé que les résultats.

  24. #23
    Dlzlogic

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    12345678910 peut advenir comme tout autre nombre, le hasard n'interdit rien, pas même qu'il advienne K milliards de fois consécutivement.
    Ce n'est pas tout à fait exact. Ce nombre 12345678910 parut advenir comme tout autre nombre, par contre il intervient avec une fréquence bien connue, voir l'inégalité de Bienaymé, qui constitue une limité infranchissable.
    Il n'y a naturellement aucune différence de définition d'un nombre aléatoire, que ce soit en physique, en mathématique, en économie, en météorologie etc.

  25. #24
    invite34915237

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (En 4ième on sait construire racine(2) à la règle et au compas !)
    Faux, on construit une approximation de racine(2), en effet les réels sont une abstraction mathématique qui n'existe pas dans notre monde (physique).
    Je n'ai encore jamais vu un mètre qui fasse vraiment 1 mètre.

    Bonne journée.

  26. #25
    Médiat

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Donc vous ne savez même pas ce que veut dire l'expression "constructible à la règle et au compas", cela ne vous fait que 2400 ans de retard ;

    Les trolls ayant envahi ce fil, le mieux serait de le fermer !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #26
    Deedee81

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Salut,

    Citation Envoyé par Dattier Voir le message
    Faux, on construit une approximation de racine(2), en effet les réels sont une abstraction mathématique qui n'existe pas dans notre monde (physique).
    Construire à la règle et au compas ne signifie pas avoir une valeur numérique infiniment précise (ni même la moindre valeur numérique d'ailleurs). Tu devrais éviter d'être aussi affirmatif (ton mot laconique "faux") sans même te renseigner sur la signification.

    Citation Envoyé par Dattier Voir le message
    Je n'ai encore jamais vu un mètre qui fasse vraiment 1 mètre.
    Il y en avait un mais il ne fait plus exactement un mètre. Toutefois, il n'y a pas si longtemps, ce mètre faisait exactement un mètre. Près de Paris. Je te laisse chercher où
    (Autant finir ce fil sur une petite énigme. Très simple il est vrai )
    Dernière modification par Deedee81 ; 31/03/2017 à 07h13.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  28. #27
    Deedee81

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Près de Paris
    Oups, pardon, ce n'est pas près, mais à Paris. Reste à savoir où exactement
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  29. #28
    pm42

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Donc vous ne savez même pas ce que veut dire l'expression "constructible à la règle et au compas", cela ne vous fait que 2400 ans de retard ;
    Les trolls ayant envahi ce fil, le mieux serait de le fermer !
    Je trouve aussi. La mauvaise foi du discours sur racine(2) est effrayante.

  30. #29
    mh34

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?

    Effectivement, ce fil devient totalement incompréhensible.
    On arrête les dégâts.
    Fermeture.
    νοὗσοι δ'ἄνθρώποισιν φέρουσαι σιγῇ, ἔπει φωνὴν ἕξειλετο μητιστα Ζεύς

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