[Maths] [TS] Calcul d'intégrales

**benjy_star** · 31/10/2006 - 10h00

Exercice 1 :

Soit la fonction définie sur I = ]-1 ; +l'infini[ :

$f(x) = \frac{1}{x+1}$

Calculer l'aire du domaine situé sous la courbe et délimité par les droites d'équation x = 0 et x = 1.

Exercice 2 :

Sur le même intervalle I, on a la fonction :

$f(x) = \frac{-2x^3 + 3x + 3}{x+1}$

a) Vérifier que $f(x) = -2x^2 + 2x + 1 + \frac{2}{x+1}$

b) En déduire l'aire sous la courbe entre x = -1/2 et x = 3/2

Seirios · 31/10/2006 - 14h59

Calculer l'aire du domaine situé sous la courbe et délimité par les droites d'équation x = 0 et y = 1.

Ce ne serait pas x = 1 au lieu de y = 1 ?

Sinon pour l'exercice deux, je ne vois pas comment intégrer $\frac{2}{x+1}$ ...Ca reviendrait à intégrer $\frac{1}{u(x)}$ et je n'ais pas trouvé comment le déterminer.

**benjy_star** · 31/10/2006 - 15h01

Oui oui, j'ai corrigé mon exercice.

Alors c'est une primitive de type u'/u pour être plus précis... Si ça ne te dit rien, je te donne un indice supplémentaire, j'ai peur d'être "hors programme" bien que du sois déjà toi même bien hors programme...

martini_bird · 31/10/2006 - 15h02

Salut,

la quadrature de l'hyperbole passe par le logarithme, qui est transcendant...

En termes modernes, une primitive de 1/x est le logarithme népérien.

Cordialement.

PS : quant à y=1, je suppute de même une coquille.

EDIT : les logarithmes sont vus en TS, donc aucun hors-programme.

**benjy_star** · 31/10/2006 - 15h04

Merci martini d'avoir salopé mon exercice avec des phrases incompréhensible !

Et inutile de balancer les collègues, je ne vois aucune erreur dans l'énoncé !

martini_bird · 31/10/2006 - 15h12

Ingrat !

**benjy_star** · 31/10/2006 - 15h19

Ben vu l'age de Phys2, j'ai toujours peur de le heurter !

Nicolas666666 · 31/10/2006 - 18h13

même si c'est faisable, je pense qu'intégrer 2/(x+1) n'est pas vraiment au programme de terminale S, il faut penser à la primitive de U'/U (désolé, je n'ai pas trouvé comment donné moins d'informations..

)

**benjy_star** · 31/10/2006 - 18h26

Si si, c'est largement au programme des TermS.

Seirios · 01/11/2006 - 09h44

Alors voilà ce que j'ai trouvé :

Envoyé par benjy_star

Exercice 1 :

Soit la fonction définie sur I = ]-1 ; +l'infini[ :

$f(x) = \frac{1}{x+1}$

Calculer l'aire du domaine situé sous la courbe et délimité par les droites d'équation x = 0 et x = 1.

Soit $A$ l'air que l'on recherche.
On a la fonction $f$ continue sur $I$ , donc nous pouvons l'intégrer.

On a $A = \int^1_0 f(x)dx = [\ln{(x+1)}]^1_0 = \ln2 - \ln1 = \ln2$

Au final, on a donc la valeur de $A$ qui est égale à $\ln2$ unités d'air

Exercice 2 :

Sur le même intervalle I, on a la fonction :

$f(x) = \frac{-2x^3 + 3x + 3}{x+1}$

a) Vérifier que $f(x) = -2x^2 + 2x + 1 + \frac{2}{x+1}$

b) En déduire l'aire sous la courbe entre x = -1/2 et x = 3/2

a) Nous pouvons poser, d'après l'énoncé :

$\frac{-2x^3+3x+3}{x+1} = ax^2+bx+c+\frac{d}{x+1}$

Après multiplication des deux membres par $(x+1)$ et réduction, on obtient :

$-2x^3+3x+3 = ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+(c+d)$

On sait donc que $a=-2$ , $a+b=0$ , $b+c=3$ et $c+d=3$

D'où $a=-2$ , $b=2$ , $c=1$ et $d=2$

Donc on a bien $f(x)=-2x^2+2x+1+\frac{2}{x+1}$

b) Soit $A$ l'air que nous cherchons à déterminer.
On a la fonction $f$ continue sur $I$ ; on peut donc l'intégrer.

On a $A=\int^{\frac{3}{2}}_{-\frac{1}{2}} f(x)dx = \int^{\frac{3}{2}}_{-\frac{1}{2}} (-2x^2+2x+1+2\frac{1}{x+1})dx = [-\frac{2}{3}x^3+x^2+x+2\ln{(x+1 )}]^{\frac{3}{2}}_{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{3} + 2\ln25$

Donc au final, on a la valeur de $A$ qui vaut $\frac{5}{3}+\ln25$ unités d'air.

Seirios · 01/11/2006 - 09h48

Voilà, normalement tout est juste : j'ai vérifié les calculs.

Envoyé par Nicolas666666

il faut penser à la primitive de U'/U (désolé, je n'ai pas trouvé comment donné moins d'informations...)

C'est pas grave, ça a déjà été mentionné plus haut

Un exercice un peu plus dur

?

**benjy_star** · 01/11/2006 - 10h35

Phys2 : c'est tout juste. Par contre, pour le a) de l'exercice 2, tu perds du temps pour rien. Fais gaffe, au BAC, on doit pas en perdre du temps !

Bon, je cherche un autre exo !

**benjy_star** · 01/11/2006 - 10h46

Exercice 3 :

a) $I = \int^\pi_0 x.cos^2x.dx$

b) $J = \int^\pi_0 xsin^2x.dx$

Exercice 4 :

1. a) Démontrer que pour tout t de [0 ; 1],

$\frac{t}{1+t^2} \leq t$

b) En déduire que $\int^1_0\frac{t}{1+t^2}d t \leq \frac{1}{2}$

2. Démontrer les inégalités suivantes.

a) $\int^4_1 cos(t^2)dt \leq 3$

b) $\int^1_0 t^2sin(t)dt \leq \frac{1}{3}$

Seirios · 01/11/2006 - 17h26

Voilà ce que j'ai trouvé :

Envoyé par benjy_star

Exercice 3 :

a) $I = \int^\pi_0 x.cos^2x.dx$

b) $J = \int^\pi_0 xsin^2x.dx$

a) On a $x.\cos^2x=x\frac{1+\cos2x}{2}= \frac{1}{2}(x+x.\cos2x)$

Donc $I=\frac{1}{2}\int^\pi_0x+x.\co s2x dx=\frac{1}{2}[\frac{x^2}{2}]^\pi_0+\frac{1}{2}\int^\pi_0x. \cos2x dx$

En faisant une intégration par partie, on obtient :

$I=\frac{1}{2}[\frac{x^2}{2}]^\pi_0+\frac{1}{2}[x(\frac{1}{2}\sin2x)]^\pi_0-\frac{1}{2}\int^\pi_0\frac{1}{ 2}\sin2x dx=\frac{1}{2}[\frac{x^2}{2}]^\pi_0+\frac{1}{2}[x(\frac{1}{2}\sin2x)]^\pi_0-\frac{1}{4}[-\frac{1}{2}\cos2x]^\pi_0$

On obtient au final $I=\frac{\pi^2}{4}$

b) On a $x.\sin^2x=x(1-cos^2x)=x-x.\cos^2x$

D'où $J=\int^\pi_0x.\sin^2x dx=\int^\pi_0x-x.\cos^2xdx$

Or nous avons vu précédemment que $\int^\pi_0\cos^2xdx=\frac{\pi^ 2}{4}$

Donc $\int^\pi_0x.\sin^2xdx=[\frac{x^2}{2}]^\pi_0-\frac{\pi^2}{4}=\frac{\pi^2}{2 }-\frac{\pi^2}{4}$

Soit au final $J=\frac{\pi^2}{4}$

Je posterai ma réponse à l'exercice 4 plus tard (c'est long le LaTeX

)

**benjy_star** · 01/11/2006 - 18h31

Bien joué, encore une fois !

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