[Maths-Phys] [TS-Sup] Miroir parabolique

[invite2c6a0bae]

Bonjour,

Ledescat m'a envoyé ce petit exercice sur le miroir parabolique qui est un mélange de math/physique. C'est un très bon exercice pour ceux qui se dirigent vers une prépa par exemple...

Miroir parabolique:

En considérant l'équation d'une parabole dans un repère orthonormal adapté (y=ax²), on veut montrer qu'il y a stigmatisme rigoureux entre l'infini et un point (appelé foyer) situé sur l'axe de symétrie du miroir parabolique.

Le dessin ci-dessous illustre et précise mon propos: on veut montrer que tout rayon arrivant parallèlement à l'axe du miroir parabolique est réfléchi par ce miroir, et le rayon réfléchi coupe l'axe de la parabole en un point commun à tous les rayons incidents.
A noter qu'un rayon arrivant avec un angle d'incidence de ia par rapport à la normale à la surface est réfléchi avec un angle de réfléction ib par rapport à la normale à la surface avec ia=ib.


Proposition de cheminement (pas pour les sup )

On se propose d'étudier le devenir d'un rayon d'équation (D): x=x0.

1/ Donner la relation entre x0 et y0 du point M0(x0,y0) appartenant à la parabole.

2/ On appelle un vecteur tangent à la parabole en M0 et un vecteur normal à .
Donner une expression simple de et .

3/ On appelle un vecteur directeur de (D) (le rayon incident vertical).
Par des projections adaptées de sur et , déterminer les coordonnées du vecteur dirigeant le rayon réfléchi. (*)

4/ En déduire une équation de la droite formée par le rayon réfléchi.

5/ Montrer finalement que ce rayon coupe l'axe des ordonnées en un point indépendant de x0 (donc de M0).
Exprimer alors en fonction de a l'emplacement du foyer d'un miroir parabolique d'équation y=ax².

6/ (bonus ) Pourquoi a-t-on des paraboles sur le toit de notre maison ?


(*) Dans un repère orthonormal, le vecteur projeté de sur est :

où | désigne le produit scalaire.


voila, à vos crayons et merci qui ??? Merci Ledescat

François.