[Maths] [BacS] Comparaison asymptotique d'une suite avec n!

matthias · 05/05/2005 - 15h12

Voici un exercice proposé par Romain ayant un lien direct avec la formule de Stirling, bien qu'il ne permette pas de la démontrer.

Soit $(u_n)_{n>0}$ la suite définie pour tout n strictement positif par:

$u_n=\frac{1}{n!}{\left(\frac{n }{e}\right)}^n$

1- Montrer que:

$\forall \; t \in [0;1], \; \ln{(1+t)} \; \leq \; t - \frac{t^2}{4}$

2- En déduire que pour tout n>0:

${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n \leq e^{\left(1-\frac{1}{4n} \right)}$

3- Démontrer alors pour tout n>0:

$\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq e^{-\frac{1}{4n}}$

4- En déduire que pour tout n>1:

$u_n \leq e^{\left( -1-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\right)}$

On rappelle que :

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1}$

5- Démontrer que pour tout n>1:

$\int_{1}^{n}\frac{1}{t}dt \leq \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$

6- En déduire que pour tout n>1:

$u_n \leq e^{\left( -1-\frac{1}{4}\ln{(n)} \right)}$

7- Démontrer alors que:

$\stackrel{u_n \rightarrow 0}{\small n \rightarrow +\infty}$

On dit alors que la suite ${{\left( \frac{n}{e} \right)}^n}$ est négligeable par rapport à la suite $(n!)$ .

8- Montrer que ce résultat est conforme à la formule de Stirling qui dit:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \frac{1}{n!}{\left( \frac{n}{e} \right)}^n \sqrt{2 \pi n} \right) = 1$

baryon · 05/05/2005 - 19h10

pour le 1) je montre que la différence $ln(n+1)-t+\frac{t^2}{4}$ est négative.
soit $f(t)=ln(n+1)-t+\frac{t^2}{4}$ donc $f'(t)=\frac{t(t-1)}{2(t+1)}$ qui est négatif sur [0,1] donc f est décroissante et f(0)=-1 donc f(t) est négatif d'où $ln(1+t)<_ t-\frac{t^2}{4}$
dsl j'ai pas trouvé plus court. En plus je sais pas si c'est bien rigoureux.

baryon · 05/05/2005 - 19h26

pour la 2) on utilise la 1) et on pose:
t=1/n ce qui donne
$ln(1+\frac{1}{n})<=\frac{1}{n} +\frac{1}{4n^2}$
en multipliant de chaque coté par n>0 on a
$n*ln(1+\frac{1}{n})<=1+\frac{1 }{4n}$
puis on prend l'exponentiel de chaque terme et on a:
$1+\frac{1}{n}<=e^{1-\frac{1}{4n$ }

baryon · 05/05/2005 - 19h27

Pardon mais j'ai du mal avec les inégalité large en laTEX

. Toute les inégalité sont larges !

doryphore · 05/05/2005 - 19h32

[tex[ \geq [/tex] et [tex[ \leq [/tex]
pour les inégalité larges.

Sinon, n'oublie pas de préciser que les fonctions que tu dérives sont dérivables sur l'intervalle considéré.

Dans la 1), il ne devrait pas y avoir de "n" mais seulement des t.

Et n'oublie pas la puissance n sur ton $1+ \frac {1} {n}$

Et prends le temps de prévisualiser tes messages avant de les envoyer.

Sinon, pas d'erreur de calcul ni de raisonnement repérés.

baryon · 05/05/2005 - 19h41

oui pardon je commence tout juste avec le laTEX il me manque de l'entrainement. ça commence à se compliquer et je suis fatigué (il est déjà tard chez moi!)

bon courage à ceux qui vont faire la suite.

matthias · 05/05/2005 - 19h41

Il faut tout de même préciser que l'on peut prendre t=1/n car pour tout n>0, 1/n est dans l'intervalle [0;1]

Romain-des-Bois · 09/05/2005 - 17h57

J'ai répondu à la première question en dérivant la fonction différence et en étudiant ses variations et son signe.

Antikhippe · 14/05/2005 - 09h29

Pour la troisième question, faut faire par récurrence ou c'est juste du calcul qu'il faut faire ?

matthias · 14/05/2005 - 11h06

Envoyé par Antikhippe

Pour la troisième question, faut faire par récurrence ou c'est juste du calcul qu'il faut faire ?

Juste un peu de calcul (rien de méchant) et utiliser les résultats démontrés avant.

Antikhippe · 14/05/2005 - 12h48

Envoyé par matthias

Soit $(u_n)_{n>0}$ la suite définie pour tout n strictement positif par:

$u_n=\frac{1}{n!}{\left(\frac{n }{e}\right)}^n$

Juste une petite question : pourquoi ne pas commencer la suite à 0 ?
0!=1 donc $(u_0)$ existe... et vaut 1.

matthias · 14/05/2005 - 13h01

Envoyé par Antikhippe

Juste une petite question : pourquoi ne pas commencer la suite à 0 ?
0!=1 donc $(u_0)$ existe... et vaut 1.

J'ai hésité à le faire et j'ai finalement décidé de reprendre l'exercice que m'avait soumis Romain tel quel. En plus, on est obligé de supposer n non nul pour certaines questions.
Le but étant uniquement de trouver la limite de la suite, les premiers termes n'ont pas d'importance.

.:Spip:. · 11/07/2005 - 14h22

Envoyé par Antikhippe

Pour la troisième question, faut faire par récurrence ou c'est juste du calcul qu'il faut faire ?

salut

non pas de reccurence

moi j'ai procedé comme suit

je en redige pas tout, mais je donne les grandes lignes

je developpe Un+1/Un
je en perd pas de vu que (n+1)!=n! (n+1)
pas mal de simplification s'opere pour obtenir
$\frac{Un+1}{Un}=e^{(-1)}(1+\frac{1}{n})^n$

je reprend le resultat de 2/ en multipliant de part et d'autre par 1/e
(pour el membre de droite utilisez la proriété exp(a+b)=exp a . exp b)

on remarque que le membre de droite vaut Un+1/Un et voila ...

matthias · 11/07/2005 - 14h37

Nickel.
Un volontaire pour la 4) ?

bobbyfischer · 11/07/2005 - 14h49

4) l'inegalite voulut s'obtient tout simplement par iteration de l'inegalite obtenue a la question 3
5) par integration sur [k,k+1] on obtient aisement que
ln(k+1)-ln(k)<1/k
donc par sommation de 1 a n on obtient la majoration voulue car le membre de gauche est egal a ln(n)
6)trivial en combinant 4 et 5
7)Un est minoree par 0 d ou par encadrement on obtient lim Un=0
8) je saisis pas trop la question doit-on remarquer que la suite sqrt(2*Pi*n) tend vers +oo et donc qu'il est "pseudo-logique" que le produit tende vers 1