[Maths] [MPSI] Algèbre - endomorphismes nilpotents

martini_bird · 10/07/2006 - 17h48

1) Construire $u \in L(\mathbb{R} ^3)$ tel que son indice de nilpotence soit 3.

2) Soit $p \in L(E)$ un projecteur et $f \in L(E)$ : prouver l'équivalence

fop = pof <=> Ker(p) & Im(p) sont stables par f.

Merci à Romain29 pour cet exercice.

Eti-N · 18/07/2006 - 17h47

1) $u:\mathbb{R} ^3 \rightarrow \mathbb{R} ^3$
$(x,y,z) \mapsto (y,z,0)$
$u \in L(E)$ et $u^3=0_{L(E)}$ .

2) Soit $p \in L(E)$ un projecteur et $f \in L(E)$ ,

a) on suppose que $p \circ f = f \circ p$ ,
(i) $x \in Ker p \Rightarrow p(x)=0 \Rightarrow f \circ p(x)=f(0)=0 \Rightarrow p(f(x))=0 \Rightarrow f(x) \in Ker p$ . Donc, $Ker p$ est stable par $f$ .
(ii) $x \in Im p \Rightarrow p(x)=x \Rightarrow f \circ p(x)=f(x) \Rightarrow p(f(x))=f(x) \Rightarrow f(x) \in Im p$ . Donc, $Im p$ est stable par $f$ .

b) on suppose que $Im p$ et $Ker p$ sont stable par $f$ .
$E = Ker p \oplus Im p$ . Il existe donc $B=(e_i)_{i \in I}$ une base de $E$ formée de vecteurs de $Ker p$ et $Im p$ .
(i) si $e_i \in Ker p$ , $f \circ p(e_i)=f(0)=0$ . Or, $f(e_i) \in Ker p$ , d'où $p \circ f(e_i)=0=f \circ p(e_i)$ .
(ii) si $e_i \in Im p$ , $f \circ p(e_i)=f(e_i)$ . Or, $f(e_i) \in Im p$ , d'où $p \circ f(e_i)=f(e_i)=f \circ p(e_i)$ .
$\forall i \in I, f \circ p(e_i) = p \circ f(e_i)$ . Donc, $f \circ p = p \circ f$ .