Le dernier théorème de Fermat.

[Antikhippe]

Bonjour !


Je suis en train de lire Le dernier théorème de Fermat (un bouquin très intéressant de Simon Singh) et je me pose une question : est-ce-que Fermat n'a pas menti lorsqu'il a anoncé qu'il pouvait prouver le théorème qu'il venait d'inventer mais qu'il ne l'avait pas démontré, faute de place et de temps ?
Je ne doute pas du génie du mathématicien amateur qu'il était, mais quand on sait que nombre de mathématiciens illustres tels Cauchy, Lamé, Kummer et bien d'autres s'y sont essayé sans jamais arriver à le démontrer... Il aura fallu attendre plus de trois siècles avant la démonstration réalisée par Andrew Wiles 1993 à qui il aura fallu consacrer sept années de travail acharné pour y parvenir.
Comme Fermat était très pris par son métier, il n'a jamais pu avoir l'occasion de consacrer autant de temps à son problème. Enfin, Andrew Wiles a utilisé des théorèmes et des techniques inconnues à l'époque de Fermat et il s'est servi de nombreux travaux de mathématiciens post-Fermat.

Qu'en pensez-vous ??? Est-ce possible que Fermat est réussi à démontrer son théorème ??? Je ne vois pas d'arguments en faveur d'une réponse positive... et vous ?
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[invite48d4167a]

la communaute des mathematiciens affirment que Fermat a peut etre fait une erreur dans ca demonstartion et non menti, il a peut etre fait une demonstration fausse (vu qu il disait qu il n avait pas assez de marge pour l ecrire) mais il croiait avoir bien demontrer son theoreme, mais menti je ne crois pas
car il pouvait bien ennoce son theoreme sous forme d hypothese

[azt]

Je pense que comme tous les autres qui auront proposé leur solution, il y aura cru.
Les erreurs ne sont généralement dévoilées que par une tierce personne qui lit la démonstration avec un oeil neuf.

[invite1e0feeaf]

D'après ce que je sais Fermat aurait dit : "démonstration facile je la ferait plus tard" enfin ce son les dire de ma prof de math...mais effectivement il serait possible que cette facilité soit issue d'une erreur...qui biensûr en tant que telle lui soit passée totalement inaperçu...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antikhippe]

Hmmm... Vous devez avoir raison. Merci pour vos contributions. Dans le livre, j'ai pourtant l'impression qu'ils croient que Fermat avait réussi à le démontrer...

[Tom-Tom]

Je viens de finir un devoir de Maths du CNED, et ça parlé aussi de Fermat : je vous en fais donc part, si vous pouvez m'aider en + sa serait sympa !

"Fermat affirma que les nombres de la forme a_n = 2⁽²ⁿ⁾ + 1 , où n est un nombre entier, étaient premiers."

On me pose la question suivante : vérifier que 641 divise a₅ (pour a₅ je trouve 1045.
L'affirmation de fermat est-elle exacte ?

J'ai répondu que l'affirmation était fausse car je n'obtiens pas un nombre entier quand je divise 641 par 1045.

Est-je juste ?

Merci d'avance !

[Antikhippe]

C'est pas plutôt 1025 qu'on trouve au lieu de 1045 ?

[Antikhippe]

Non, ça ne marche même pas avec 1025 et comme à mon avis, 641 doit diviser a5, tu as dû faire une erreur dans l'énoncé. N'est-ce pas plutôt 2^2^n + 1 ??? Là, ça marcherait parce qu'on trouve ainsi que a5 = 4 294 967 297 or 4 294 967 297 = 641*6 700 417 où 6 700 417 est un nombre entier.

[invite48d4167a]

Les nombres de Fermats :

F_n = 2⁽²ⁿ⁾ + 1
Fermat conjectura qu ils sont premiers
mais c'est le cas seulement pour pour n élément de {0,1,2,3,4} fournissant 3, 5, 17, 257, 65537.
mais Euler prouva en (1732) que F₅ est divisible par 641, le quotient étant 6700417.

[Tom-Tom]

C'est pas plutôt 1025 qu'on trouve au lieu de 1045 ?

Si désolé j'ai fais une faute, je trouve 1025 et non pas 1045 ! Désolé.

N'est-ce pas plutôt 2^2^n + 1 ???

Si désolé mais j'avais pas regardé le résultat à l'écran, donc c'est : 2^(2^n) + 1.

Oula... c'est difficile tout ça... je commence à tout me mélanger... bon relisons tout depuis le début...

L'affirmation est-elle juste alors ?

[invite48d4167a]

Oula... c'est difficile tout ça... je commence à tout me mélanger... bon relisons tout depuis le début...

L'affirmation est-elle juste alors ?

relit ma reponse

[Antikhippe]

L'affirmation est-elle juste alors ?

Oui, elle est juste !!!

[Tom-Tom]

J'ai tout recalculé hier soir, et je trouve pas les même résultats car je me suis trompé pour les indices. Donc voilà les réponses :
a₀ = 3
a₁ = 5
a₂ = 17
a₃ = 257
a₄ = 65 536
a₅ = 4 294 967 296 (comme Antikhippe avait trouvé).

Ca change pas, l'affirmation est donc toujours juste, puisque vu les calculs que vous avez fais on trouve un nombre entier ?

Merci encore pour votre aide !

[Tom-Tom]

mais c'est le cas seulement pour pour n élément de {0,1,2,3,4} fournissant 3, 5, 17, 257, 65537.
Mais Euler prouva en (1732) que F5 est divisible par 641, le quotient étant 6700417.

Donc ça marche pour les 5 ?

L'affirmation de Fermat est donc juste ?

Tom-Tom qui en à marre des maths !!!

[invitebb921944]

Lu,
Ben si l'affirmation de Fermat est que cette propriété est vraie pour {0,1,2,3,4}, alors elle est vraie
Tu es où sur Grenoble l'année prochaine ?

[invitebb921944]

A part çà, il me semblait que Fermat n'avait fait qu'un petit et un grand théorème, ce "dernier" théorème de Fermat c'est le petit non ?

[invitebb921944]

Ca change pas, l'affirmation est donc toujours juste, puisque vu les calculs que vous avez fais on trouve un nombre entier ?

Je crois que tu confonds nombres premiers et nombres entiers...
Parce que 2²ⁿ+1 , çà ne peut pas faire autre chose que des nombres entiers. (pr n appartient à N)

[Tom-Tom]

Tu es où sur Grenoble l'année prochaine ?

Oui.

Je crois que tu confonds nombres premiers et nombres entiers...

Ouai je pense aussi !

Merci encore !

[invite48d4167a]

Fermat affirme que tous les nombres de la forme F_n 2²ⁿ+1 sont tous premiers
Euler prouva en (1732) que F₅ est divisible par 641 donc non premier

[Tom-Tom]

Un nombre premier, c'est un nombre qui peut se diviser par un autre nombre et dont leur total est entier ?

C'est ça ou je suis encore à côté de la plaque ?

[invitebb921944]

Tu es où sur Grenoble l'année prochaine ?

Oui.

J'adore !

Un nombre premier, c'est un nombre qui peut se diviser par un autre nombre et dont leur total est entier ?

Un nombre premier est un nombre qui n'a que 2 diviseurs dans N : 1 et lui-même. (4 diviseurs dans Z car on ajoute les valeurs négatives de ces deux diviseurs)

[Tom-Tom]

Ok. Merci pour la définition.

Enfait pourquoi tu voulais savoir si j'étais à Grenoble l'année prochaine ? T'y sera aussi ?

[invitebb921944]

Je en PCSI au lycée Champollion à Grenoble l'année prochaine

[invite51f4efbf]

Pour la preuve de Fermat, elle était très probablement fausse - il avait indiqué en avoir une dans la marge, mais ne pas pouvoir la reproduire faute de place. En grattant un peu sur ses recherches de l'époque, on pense savoir l'erreur qu'il avait faite (supposer que certains anneaux, dits cyclothimiques, étaient factoriels, ce qui est faux).

Le résultat de Fermat est inintéressant au possible (le domaine développé pour la démonstration - les courbes elliptiques et plus généralement la géométrie algébrique - est passionant et riche en revanche).

[invite48d4167a]

Pour la preuve de Fermat, elle était très probablement fausse - il avait indiqué en avoir une dans la marge, mais ne pas pouvoir la reproduire faute de place. En grattant un peu sur ses recherches de l'époque, on pense savoir l'erreur qu'il avait faite (supposer que certains anneaux, dits cyclothimiques, étaient factoriels, ce qui est faux).

oui exactement

[Antikhippe]

Merci, je ne savais pas qu'on avait retrouvé des traces d'une démonstration de Fermat.

[invitecfc5d942]

Bravo à tous pour vos réponses sur le théorême de Fermat.
Mais comme je reste un peu sur ma faim, j'aimerais que vous, Antikhippe qui avez bien lu Singh, vous nous fassiez part de la démonstration de Andrew Wiles (en 2 ou 3 pages maxi).
Je plaisante bien sûr ! Je crois que celà représente plusieurs centaines de pages particulièrement difficiles à comprendre.
Bonne continuation à tous dans vos délires mathématiques.
(*!*) !!!
Domino

[Antikhippe]

En effet, je crois que la démonstration de Wiles fait environ mille pages... et en plus, j'ai lu qu'il y avait à peu près une demi-douzaine de personnes dans le monde qui peuvent bien la comprendre à 100%, alors, je ne crois pas que je vais me lancer dans un résumé !!!

[leg]

bonjours à tous, au sujet de ce dernier théhorème de FERMAT il ne mentait pas . la communauté mathématique n'a jamais démontré que l'on pouvait démontré le cas N = 4 autrement que la méthode de descente infinie découverte par Fermat ni d'ailleur comment il avait découvert cette méthode. Fermat était capable de démontrer si Z est un carré alors X ou Y ne peut en être un , en plus de sa démo si X est un carré alors Y n'en est pas un celle ci utilise sa méthode de descente infinie, de plus dans cette démo il y a une contradiction élémentaire, dont aucun mathématicien apres Fermat ne s'est rendu compte, qu'il était inutile de continuer plus loing, donc de faire appel au raisonnement de descente infinie. Alors les supposition sur l'affirmation de Fermat devienne aussi peu crédible ! il était un specialiste de la formule des Triplets Pythagoriciens il n'avait pas besoins de la propiété de la divisibilté ni des outils mathémtiques moderne de plus la méthode de descente infinie conduit à une impasse pour la solution générale ce que Pierre de Fermat ne pouvait ignorer mais que tout le monde a essayé d'utilisé pour résoudre chaque cas de N > 2 premier! sauf A willes et Fermat qui avait la solution par induction ce qui est vrai pour N = 2 et 4 et qui est vrai pour N +1 et 2 est vrai de manière générale ! A bientôt amicalement leg..

[invite995693c1]

Pouvez-vous me dire à quoi sert ce théorème de Fermat s'il était exacte ? Quelle application ?