TES : Rythme de croissance et résolution

derko · 02/10/2006 - 17h53

Bonsoir à tous.
J´ai un DM et j´ai presque tout réussi sauf:

P(t)= (6t² + 20t + 75)/(t²+25)

3)
a) Déterminer à quel(s) moments(s) la population était de 650 000 habitants.

(J´ai essayé de faire (6t² + 20t + 75)/(t²+25) = 650 000 puis de faire le produit en croix, mais après, je me retrouve avec -649994t² + 20t - 16249925 = 0
Et le calcul de delta est trop compliqué avec tout ces chiffres... comment faire ? )

b) On rappelle que le rythme de croissance d´une population est sa dérivée par rapport au temps.
Calculer le rythme de croissance à chaque instant où la population était de 650 000 habitants.

Je sais pas du tout ce qu´il faut faire mais je suppose qu´il faut la dérivée

PS : La dérivée de P est égale à P´(x) = (-20t² + 150t + 500)/(t^4 + 625)

(t^4 = t puissance 4)

Quelques explications seraient les bienvenues ! Merci

vulture · 02/10/2006 - 18h24

Hello,
donc on a $P(t)=\fr{6t^{2}+20t+75}{t^{2}+ 25}$ .
Déjà, une question, ton sujet ne te spécifierait pas l'unité de décompte ? c'est bien l'habitant ? le millier d'habitants ? le million ... ?

le fait est que là, en comptabilisant "par habitants", si je me base sur l'équation du second degré que tu as trouvé, tu compares $20^{2} = 400$ , et $-4\times- 16249925\times -649994=-(4\times 16249925\times 649994)$ . Et donc, ton discriminant serait négatif... donc pas de solution pour une équation de population.

Donc, vérifie l'unité du compte, ensuite, oui, il faudra dériver ta fraction rationnelle, puis après, aux instants où tu aura trouvé que la population était de 650 Khab, calculer le nombre dérivé (remplacer le t dans la dérivée par les instants ou l'instant trouvé).

Sinon, à part ça, ta dérivée est fausse. Il faut appliquer "(u'v-v'u)/(v carré)"... et à vue de nez, $(t^{2}+25)^{2} \neq (t^{2})^{2} + 25^{2}$ (le second membre est celui que tu as trouvé au dénominateur, utiliser l'identité remarquable... et encore, pas la peine de développer là dedans)

derko · 02/10/2006 - 18h40

Ah j'ai oublié quelque chose d'essentiel !
La population est comptée en Centaines de milliers !!

P correspond à la population et t au temps écoulée depuis le début de l'analyse.

Le problème, c'est qu'en faisant :

(6t² + 20t + 75)/(t²+25) = 6.5

Je trouve après recherche de delta, 2 racines négatives

J'ai tout essayé je crois...
Merci pour l'aide !!

derko · 02/10/2006 - 19h57

Est ce que quelqu'un peu faire (6t² + 20t + 75)/(t²+25) = 6.5
et me dire combien il trouve ? (algébriquement)

Normalement, d'apèrs la calculatrice, ça doit faire 5 et 35 mais moi je trouve des racines négatives! Je sais pas pourquoi, j'ai recommencé 10 fois le calcul, et toujours des racines négatives

derko · 02/10/2006 - 20h19

Ah c'est bon j'ai trouvé 5 et 35!

Par contre, je ne sais pas faire cette question !!

b) On rappelle que le rythme de croissance d´une population est sa dérivée par rapport au temps.
Calculer le rythme de croissance à chaque instant où la population était de 650 000 habitants.

Comment le calculer ce rythme de croissance ?
Ci dessous les informations qui doivent sûrement être nécessaire pour y répondre...

P´(x) = (-20t² + 150t + 500)/(t² + 25) ²

Et le nombre d'habitant atteint 650 000 lorsque t= 5 et t= 35

car (6t² + 20t + 75)/(t²+25) = 6.5 lorsque t= 5 et t=35

Merci !