résolution d'une équation avec coefficients complexes

[Lindaaa]

Bonsoir!

J'ai besoin d'un peu d'aide pour mes révisions. Comment fait-on pour résoudre une équation avec coefficients complexes? Y-a-t'il une méthode générale?
J'ai un exemple pour illustrer vos explications:
résoudre
z³ - (1-i) z² - (2-2i)z + 8 = 0
sachant qu'elle admet une solution réelle a (et on note b et c les deux autres solutions).

Merci beaucoup!

[Jeanpaul]

Soit donc a cette racine réelle. Remplace z par a dans l'équation, ça fait zéro, évidemment.
Mais tu as alors devant toi, si tu arranges un peu les choses, un nombre complexe A + i B = 0 où A et B sont réels. Tu conclus.

[Lindaaa]

Attend je comprends pas... Quand tu remplace z par a, tu fais quoi..?! merci!

[Coincoin]

Salut,
Tu remplaces z par a, puis tu prends la partie réelle et la partie imaginaire de l'équation, en te souvenant bien que a est réel.

[Lindaaa]

Ah c'est bon, je crois que j'ai compris, dis-moi si c'est ça...
Alors tu remplaces z par a, tu obtiens A+iB=0 et alors a=-2. Et ensuite tu dis que a étant une racine, tu peux factoriser par (z+2)(az^2+bz+c) et tu procèdes ensuite par identification des coefficients. C'est ça, non?!

[Coincoin]

Exactement.

[Lindaaa]

Ouaiii!
Et quand on a une équation du style z²+ 5(1-i) z - 4i + 3 = 0. Il faut calculer le discriminant mais après pour avoir sa racine.. on fait comment?!

[Jeanpaul]

Cette équation du second degré n'est pas celle que je trouve quand on a mis (z+2) en facteur.
Autrement, pour calculer la racine carrée d'un complexe, le plus souvent, il vaut mieux mettre sous forme module - argument,la racine carrée vient toute seule.

[Lindaaa]

Non, c'est une toute autre équation. Je n'ai pas encore vu les arguments...

Mais en tout cas merci beaucoup de votre aide, je viens d'avoir un DST ce matin et toute la partie concernant la factorisation d'un polynôme je pense avoir bon et comme l'exo était sur 7 points..!

Enfin j'attends de voir ma note quand même...

[Jeanpaul]

Pour calculer la racine carrée d'un nombre complexe de la forme a + i b où a et b sont des réels, on peut la chercher sous la forme x + i y où x et y sont des réels.
On a donc :
(x + i y)² = a + ib que l'on peut décomposer en :
x² - y² = a
2 x y = b
donc :
y = b/(2x)
x² - b²/4x² = b
Ca donne une équation du second degré où x² est l'inconnue. On en tire y.

[mahdihalleb]

salut je voudrais savoir dans une equation complexe si on a z= a+ib solution
alors est ce que son conjugue Z= a-ib est toujours une solution ? ( c 'est un théorème ou pas ) Merci

[pallas]

non si z est solution le conjugue de z n'est pas obligatoirement solution par exemple ( z-i) (z+3i) = 0
par contre ce principe est exact si tous les coefficients de l'équation sont des reels par exemple 7 z²+4 z+9= 0 faux si on a 7iz² +3z + 9=0