Problème de spé

[invite9fc497b1]

Bonjour,
En fait j'ai un petit problème j'arrive pas aà repondre à une question et ça me bloque pour le reste!!

donc voila l'ennoncé et ce que j'ai deja ..

1. Soit B une boîte en forme de pavé droit de hauteur L, à base carrée de côté l ,
où l et L sont des entiers naturels non nuls tels que l < L. On veut remplir la
boîte B avec des cubes tous identiques dont l’arête a est un entier naturel non
nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d’espace
vide).
a. Dans cette question, l = 882 et L = 945. Quelle est la plus grande valeur
possible pour a ? Ici j'ai fait le pgcd de 882 et 945 qui est égal à 63
Quelles sont les valeurs possibles pour a ? tout les mulitiples de 63
b. Dans cette question, le volume de la boîte B est v = 77 760. On sait que,
pour remplir la boîte B, la plus grande valeur possible de a est 12. Montrer
qu’il y a exactement deux boîtes B possibles, dont on donnera les
dimensions.
Et puis ici je sais que l'une des reponse est L=540 et l= 12 mais je sais pas comment le trouver et comment trouver l'autre ..

Merciii
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[Jeanpaul]

Quelles sont les valeurs possibles pour a ? tout les mulitiples de 63

Tu veux sûrement dire : tous les diviseurs de 63.
Pour le 2ème exo, tu devrais commencer par divisier toutes les dimensions par 12 et dire que tu entres un cube de côté 1. Tu y verras bien mieux.
Comment décomposer sous forme L*l² le volume ainsi obtenu. Ca se voit assez bien.

[shokin]

Quelles sont les valeurs possibles pour a ? tout les mulitiples de 63

Tous les diviseurs de 63, je dirais.



Pour le b,

si la plus grande valeur est 12, les cubes de côté 12 auront alors un volume de 12 à la puissance 3, soit 1728.

Divise maintenant 77760 par 1728 (en passant 7776 égale 6 à la puissance 5 ). Tu obtiens normalement 270. Càd que le 1728 serait la boîte minimale qui admette des cubes jusqu'au côté égal à 12. Mais celle-ci serait cubique. Or l < L.

Décompose alors 270 en facteurs premiers.

Quels, parmi ces facteurs premieres, iront dans l^2, quels dans L ? Sachant que :

- l < L

- 12 doit rester le pgdc entre l et L.

Shokin

[invite9fc497b1]

Quand je divise 77760 pas 1728 je trouve 45 ... c'est normal??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9fc497b1]

En faite j'ai pas bien compris ce que vous me dite de faire ...

[invite9fc497b1]

en fait il faudrait que je decompose 45 en nombre premier .. ce qui fait 3^2 +5 mais après j'en fait quoi?? ..

[shokin]

Quand je divise 77760 pas 1728 je trouve 45 ... c'est normal??

Oui, je me suis trompé.

Décompose alors 45 en facteurs premiers. Comment ces facteurs se répartiront dans l et L ? quelles répartitions sont possibles sachant que deux côtés sont égaux à l et l < L.

Shokin

[shokin]

en fait il faudrait que je decompose 45 en nombre premier .. ce qui fait 3^2 +5 mais après j'en fait quoi?? ..

3^2 * 5 = 3 * 3 * 5.

Ces trois facteurs doivent se retrouver dans les côtés de la boîte, pour que celle-ci aie une aire de 77760 (et pas seulement de 1728).

Mais l et l doivent rester égaux et l doit être plus petit que L.

Shokin

[invite9fc497b1]

Youpyyy J'ai trouvé!! Donc en faite on a soit
v=( 12 *1^2 ) * (12*45)
ou
v=(12*3^2) * (12*5) ...
C'est bien ça??

Pour la suite j'ai donc
2. On veut remplir une caisse cubique C, dont l’arête c est un entier naturel non
nul, avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites dans la question 1
(Les boîtes B, empilées verticalement, doivent remplir complètement la caisse
C sans laisser d’espace vide).
a. Dans cette question, l = 882 et L = 945. Quelle est la plus petite arête c
pour la caisse C? C'est le PPCM de 882 et 945 qui est égal à 13230
Quel est l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour l’arête c ? cette fois ci c'est bien les multiple de 13230
b. Dans cette question, le volume de la boîte B est 15435. On sait que la plus
petite arête possible pour la caisse C est 105.
Quelles sont les dimensions l et L de la boîte B? Et puis ici c'est comme la question d'avant donc je vais chercher ..

[invite9fc497b1]

En fait j'ai a^3/v = 75 donc je décompose 75 en nombre premier 75 = 5*5*3

Donc j'ai v= ..*1^2 * ...*75
ou v= ...*5^2 *...*3

Mais ça marche pas ... de toute façon 5>3 donc y'a une prob faut pas faire comme ça!

[shokin]

Pour le 1, c'est tout bon !

b. Dans cette question, le volume de la boîte B est 15435. On sait que la plus
petite arête possible pour la caisse C est 105.
Quelles sont les dimensions l et L de la boîte B? Et puis ici c'est comme la question d'avant donc je vais chercher ..

Dans cette question, on veut mettre des boîte B de chacune 15435 dans une boîte cubique C de côté n*105 (n naturel non nul) ?

Si oui, le volume de la boîte C égale V(C) = (3*5*7)^3.

Et V(B) = 15'435 = 3^2 * 5^1 * 7^3.

Il faut alors diviser V(C) par V(B).

Comment as-tu trouvé ton 75 ?

Shokin

[invite9fc497b1]

En faite nan ... Je crois plutot que la boite C c'est la plus grande!! Elle a une arrete a connu donc Vc = a^3

Et il faut trouver les dimensions de la boite B de volume Vb= connu pour pouvoir remplir la boite C avec x boite B (il faut pas de trou ..)

C'est bien ça nan??

[shokin]

Le volume de la boîte C égale 105^3. Sinon (par l'absurde), 105 ne serait pas la plus grande arête possible.

Shokin

[invite9fc497b1]

oui mais ça on le connait! Ce qu'il faut trouver en fait c'est les dimention de la boite B
..

[shokin]

Si la boîte B doit être telle que décrite dans l'exercice 1.

Il faut que ses trois côtés soient :

l, l et L avec l < L et l, L entiers naturels non nuls.

Il lui faut donc une base carrée, car deux côtés égaux.

On sait que V(B) = 15'435 = 3^2 * 5^1 * 7^3.

Le 3, élevé à la puissance 2, peut faire partie de la base carrée [3*3] ou (ou exclusif) de la hauteur [9]. Deux possibilités donc a priori.

Le 5, élevé à la puissance 1, ne peut faire partie que de la hauteur, car élevé à une puissance impaire inférieure à 2. Une seule possibilité donc.

Le 7 est élevé à la puissance 3. Parmi le 7*7*7, un des 7 sera forcément dans la hauteur. Les deux autres pourront se trouver soit dans la base [7*7] soit dans la hauteur [49]. Deux possibilités donc a priori.

Mais la boîte C a un côté de longueur 105.

Les trois 7 ne peuvent donc pas être tous trois facteurs de la hauteur, sinon ils donneraient 343, qui est plus grand que 105 (longueur du côté de C). Il y a donc un 7 dans la longueur, un 7 dans la largeur et un 7 dans la hauteur.

De plus, il y a un 5 dans la hauteur, ce qui nous donne déjà une hauteur de 35. Reste la question du 3^2.

3^2 ne peut pas se situer dans la hauteur car 35*9=315>105. Donc 3^2 donne un 3 dans la longueur et un 3 dans la largeur.

Ce qui nous donne finalement une unique possible boîte B dont les dimensions sont 21*21*35.


Shokin

[Jean-Luc97233]

Je ne suis pas rentré dans le détail de tous ces calculs. J'étais bloqué sur une valeur pour B mais vos remarques m'ont aidé a trouver la deuxième :
1 er cas : L=60 et l=36 soit L*l^2 = 77760 et PGCD(60,36)=12
2 ème cas : L=540 et l=12 soit L*l^2= 77760 et PGCD(540,12)=12