TS spé math : décomposition de facteurs premiers

[sekhmet45]

Bonjour à tous, j'ai un petit exercice sur les décompositions de facteurs premiers. Même en ayant lu et compris le cours il m'est impossible de faire cet exercice :

a = p₁^k1 x p₂^k2 x ... x p_n^kn

b = p₁^l1 x p₂^l2 x ... x p_n^ln

Les p sont des nombres premiers distincts et les k et l des entiers naturels, n entier naturel non nul..

1) Démontrer que si un nombre premier p divise a² alors p divise a. En déduire que p² divise a².
2)a) Démontrer que si a² divise b² alors a divise b.
b) Démontrer que si a³ divise b² alors a divise b.
c) Si a² divise b³ peut on dire que a divise b ?
3)Démontrer que PGCD (aⁿ; bⁿ) = [PGCD ( a;b)]ⁿ


On a montré au préalable que les décompositions de a et a² ont les mêmes facteurs premiers.

Et bien sur vive les démonstrations =)

Merci de votre aide..

[sekhmet45]

C'est assez urgent..

[mach3]

Ce forum n'est pas une machine à résoudre les exercices.

Commence deja par nous montrer ce que tu as fait, où tu bloques, ce que tu ne comprends pas...

[sekhmet45]

Herm Herm...
Ce que je vous ai donné c'est où je bloque justement!

Et ce que j'ai fait je l'ai aussi dit : " les décompositions de a et a² ont les mêmes facteurs premiers"

[mach3]

tout d'abord, d divise n ça veut dire qu'il existe un entier k tel que k*d=n. de plus tout nombre entier peut etre écrit comme un produit de nombres premiers (ces nombres premiers divisent tous cet entier).

commence par écrire a², en mettant au carré l'expression de a. Tu choisis ensuite l'un des p, et tu vérifie qu'il divise bien a², puis tu pourras vérifier qu'il divise a également.

exemple :

15=3x5
15²=225=3²x5²

on constate que 5 divise 225, car 225/5=3²x5=45 qui est un entier
et que 5 divise 15, car 15/5=3 qui est un entier

m@ch3

[sekhmet45]

Oui merci pour le coup de main, les autres questions se résument à la même idée mais je reste toujours bloqué sur la question 3)

[prgasp77]

Introduit ces égalités

Dans l'égalité

L'égalité apparait très facilement