Seconde : Problème de trigonométrie

[younes guessous]

Bonjour,

j'ai bloqué sur un exercice de trigonométrie, et je vous serais bien reconnaissant de m'aider :

Dans un triangle ABC, posons :
Et soit : et S l'aire du triangle ABC
R est le rayon du cercle circonscrit et r le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC.
Démontrer que :



et conclure que :

Merci d'avance

[Ledescat]

Salut.
C'est un problème de seconde? eh ben!
Je crois avoir fait ça cette année (en sup), essaye de faire apparaître des triangles rectangles, je crois grâce aux médiatrices.Mais je ne me souviens plus très bien.

[younes guessous]

Si si, c'est bien un problème de seconde, trouvé dans un livre (marocain) de seconde.
J'essaierais ta solution, merci.

[Ledescat]

Ah d'accord, j'ai l'impression que le niveau au Maroc monte assez vite dès le lycée, j'ai appris récemment qu'en terminale on y abordait déjà les groupes, qu'on fait en 1ère année après le bac.

[romaric7]

Salut !

je pense avoir trouvé la solution au début de ton exercice.

Tu as ton triangle ABC avec AB=c ; AC=b et BC= a

Pose ta hauteur AH avec H sur [BC]. Tu es d'accord que AH est perpendiculaire à (BC)
Alors présence de deux triangles rectangles en H.

alors pour cos B = BH/AB = BH/c
tu en déduis que BH = c* cos B

pour cos C = CH/AC = CH/ b
tu en déduis que CH = b* cos C

OR tu sais que BC=BH+CH alors finalement tu as

BC= BH+CH= c*cos B+ b*cos B

même démarche pour les deux autres distances b et c : tu poses une nouvelle hauteur pour "la nouvelle base de ton triangle", formant deux triangles rectangles.

pour b, tu poses ta hauteur CH' avec H' sur AB et ainsi de suite.

pour la conclusion, je cherche encore.

[KhaoUula]

Commence par développer 2p(cosa+cosB..) en remplaçant 2p par a+b+c puis après remplace -a par : (-ccosb-bcosc)
idem pr -b et -c
jvoi par prq izon parlé dla surface du triangle é du rayon du cercle inscrit et du cercle circonscrit !

[younes guessous]

Salut,

Je confirme vos solutions romaric7 et KhaoUula. Merci beaucoup

Effectivement, avec ces solutions, on n'a pas besoin des cercles inscrits et circonscrits, mais peut-être qu'il y a une autre solution où on utilise ces données.

A+

[KhaoUula]

Salut,
Pour la première question il faut signaler que tous les angles sont aigus sinon h (par exemple) ne fera pas partie du segment [BC] je pense qu'il faut procéder par disjonction de cas :
le cas ou tous les angles seront aigus et les cas ou un angle sera obtus mais c'est trop long je pense qu'il y a une autre solution
....