démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

[cabz]

démontrer que lorsque x tends vers 0 alors lim x*ln(x)=0

comen le démontrer svp ??????

[Calvert]

Salut!

Une possibilité est d'écrire:



qui est du type . On peut donc appliquer le théorème de l'Hospital, si tu les connais.

[Hamb]

on peut aussi poser le changement de variable X=ln x et donc x = e^X
la limite devient donc lim (X-> -oo) Xe^X

[prgasp77]

La fonction exponentielle est une bijection continue de dans . Ainsi, converge vers si et seulement si converge vers .

Soit
qui converge vers et vaut 1 en 0. Ainsi, f converge vers en zéro.

[Médiat]

Soit
qui converge vers et vaut 1 en 0. Ainsi, f converge vers en zéro.

Tu écris que tu ne crois pas qu'il y a une petite confusion ?

[dododo]

Salut,




Et tu en éduit la limite par composée.

Je vois que plus haut on t-a proposé l'utilisation du théoréme de l'Hospital mais celui ci est toujours à utiliser de préférence en dernier recourt, tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement lol .


@+ dodo

[Calvert]

Pourquoi se refuser l'utilisation d'un théorème simple lorsque c'est possible? La vérification des hypothèses permettant d'appliquer l'Hospital est aisée, mettre une fonction sous la forme permettant son emploi également.

[dododo]

Bien sur je te dit pas le contraire Calvert mais à ma connaissance les prof n'aime pas trop ce théoréme ils préférent largement l'utilisation de joli tranformations ... Mais bien sur que l'on peut l'utiliser il n'y a pas de probléme sur ça, mais c'est juste une vision personnelle " tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement " et souvent beaucoup de prof préférent qu'on utilise l'Hospital quand on a vraiment pas d'idée . Ce théoréme sert parfois à se sortir de limite plutôt coriace, ce qui est loin d'être le ca pour celle ci qui est tout a fait triviale, donc c'est un peu abusé d'utliser l'Hospital dans ce cas (c'est comme si tu utilisé un missile intercontinental pour écraser une mouche ).

[Follium]

Tu ne l'écrases pas dans ce cas-là (au sens tu appliques une force mécanique dessus), tu l'as fait fondre. C'est bon, je

Bien sur je te dit pas le contraire Calvert mais à ma connaissance les prof n'aime pas trop ce théoréme ils préférent largement l'utilisation de joli tranformations ... Mais bien sur que l'on peut l'utiliser il n'y a pas de probléme sur ça, mais c'est juste une vision personnelle " tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement " et souvent beaucoup de prof préférent qu'on utilise l'Hospital quand on a vraiment pas d'idée . Ce théoréme sert parfois à se sortir de limite plutôt coriace, ce qui est loin d'être le ca pour celle ci qui est tout a fait triviale, donc c'est un peu abusé d'utliser l'Hospital dans ce cas (c'est comme si tu utilisé un missile intercontinental pour écraser une mouche ).

[lolouki]

bonjour tout le monde,
Hum ... le théoreme de l'hospital en terminale ... C'est pas au programme vous savez

Si je me rapelle bien, en Ts j'avais demontré ca en etudiant la limite de ln(x) / (racine(x)) d'abord .

[astzckwiq]

peuton ne pas écrire xlogx =logx^x et comme x^x tend vers 0^0=1 (convention) et comme log est strictement croissante sur R+-{0},on fera avec ca le xlogx tend vers log1 = 0.ensuite avex x=1/X si X tend vers +00. 1/Xlog1/X = 1/X(log1-logX) = 1/X(-logX)=-log(X)/X tend vers 0 quand X tend vers +00 (connu hihihi)

[Ledescat]

peuton ne pas écrire xlogx =logx^x et comme x^x tend vers 0^0=1 (convention) et comme log est strictement croissante sur R+-{0},on fera avec ca le xlogx tend vers log1 = 0.ensuite avex x=1/X si X tend vers +00. 1/Xlog1/X = 1/X(log1-logX) = 1/X(-logX)=-log(X)/X tend vers 0 quand X tend vers +00 (connu hihihi)

C'est en fait très maladroit.
En effet, on montre que x^x tend vers 1 lorsque x tend vers 0 (et on pose 0^0=1 pour prolonger par continuité) grâce à la limite que l'on cherche.

[astzckwiq]

en effet x^x = exp(xlogx).mais comme on sait par convention que x^x tend vers 0^0=1 quand x tend vers 0, celza reésoud la question avec droiture et justesse!

[Médiat]

en effet x^x = exp(xlogx).mais comme on sait par convention que x^x tend vers 0^0=1 quand x tend vers 0, celza reésoud la question avec droiture et justesse!

Ce que dit Ledescat avec juste raison, c'est que comme on est capable de démontrer que x^x tend vers 1 quand x tend vers 0, alors, par convention (et prolongement par continuité) on pose 0^0 = 1. Il ne reste plus qu'à démontrer ... il ne suffit pas de dire que les gens qui ont décidé de la convention ont déjà fait le boulot.

[Ledescat]

en effet x^x = exp(xlogx).mais comme on sait par convention que x^x tend vers 0^0=1 quand x tend vers 0, celza reésoud la question avec droiture et justesse!

On ne sait pas pas par convention que x^x tend vers 1 . Il tend vers 1 car x.logx tend vers 0.
D'ailleurs rien ne tend vers quelque chose par convention, ça ne signifie rien du tout. Du fait que la fonction x^x tendait vers 1 en 0, et qu'il est en général plus pratique de travailler avec des fonctions continues, on a posé que 0^0 était égal à 1 (par convention ici).
Tu te mords la queue en utilisant comme hypothèse une conclusion.

EDIT: grillé comme une brochette