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Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

  1. M I L A S

    Date d'inscription
    juin 2007
    Localisation
    Paris
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    303

    Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Bonjour à tous!

    Par cette belle journée, je rentre de la capitale après une aprem shopping ( c'es génial en effet), mais une question reste gravée dans moin esprit :
    Tout le monde sait qu'en maths, il y n'y a pas qu'une seule méthode pour déterminer un résultat, mais Euclide a t-il utiliser une seule méthode pour démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini?

    *Je la réexplique : (demo par l'absurde)

    On suppose que l'ensemble IP des nombres premiers est un ensemble fini :
    IP : {p1,p2,...,pn}
    -Soit N, un entier naturel défini par N=p1xp2x...xpn + 1, N étant plus grand que n'importe quel élément de IP, N n'appartient pas à IP.
    -De plus N 1, donc par définition, N possède au moins un diviseur premier p, élément de IP.
    -p divise alors, à la fois p1xp2x...xpn, et N, donc p divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers de ces deux nombres, et notamment leur différence, donc p divise 1. Ce qui absurde car p est premier, donc l'hypothèse posée sur IP est fausse, on en déduit qu'il existe une infinité de nombres premiers...

    Une autre méthode?

    -----

    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."
     


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  2. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Il doit certainement il y en avoir plusieurs.
    Comme la démonstration de l'irrationnalité de (par la décomposition en facteurs premiers,le lemme de Gauss...).
    Cogito ergo sum.
     

  3. M I L A S

    Date d'inscription
    juin 2007
    Localisation
    Paris
    Messages
    303

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Tu peux préciser?
    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."
     

  4. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Localisation
    Lyon
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    29
    Messages
    4 541

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Citation Envoyé par M I L A S Voir le message
    Tu peux préciser?
    Préciser quoi ?
    Cogito ergo sum.
     

  5. M I L A S

    Date d'inscription
    juin 2007
    Localisation
    Paris
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    303

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Le lemme de gauss
    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."
     


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  6. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    4 541

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Mmm, moi et l'arithmétique ça fait 2 (c'est le cas de le dire )
    Mais de mémoire ça donne quelque chose comme ça:
    Si , p et q entiers naturels premiers entre eux (car on peut supposer la fraction irréductible).
    Alors, p²=2q²
    donc p|2q² mais pgcd(p,q)=1 donc pgcd(p,q²)=1
    Et d'après le lemme de Gauss, p|2.
    1er cas:
    p=1, donc ce qui est faux car le carré d'un nombre compris entre 0 et 1 est compris entre 0 et 1.

    2nd cas:
    p=2, donc
    ,avec q entier, faut pas rêver . (les carrés parfaits ne se terminent pas par 2)
    Cogito ergo sum.
     

  7. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    Lyon
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    Messages
    4 541

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    (mais c'est complètement hors sujet )
    Cogito ergo sum.
     

  8. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    32
    Messages
    18 609

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Belle démonstration Ledscat


    Sinon pour revenir au sujet initial, il existe bien sûr d'autres méthodes. Par exemple on peut prouver qu'un sous-ensemble de l'ensemble des nombres premiers est infini ce qui a fortiori prouve que l'ensemble des nombres premiers est infini.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
     

  9. invite43219988

    Date d'inscription
    juin 2004
    Messages
    0

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    On suppose que l'ensemble IP des nombres premiers est un ensemble fini :
    IP : {p1,p2,...,pn}
    -Soit N, un entier naturel défini par N=p1xp2x...xpn + 1, N étant plus grand que n'importe quel élément de IP, N n'appartient pas à IP.
    -De plus N>=1, donc par définition, N possède au moins un diviseur premier p, élément de IP.
    -p divise alors, à la fois p1xp2x...xpn, et N, donc p divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers de ces deux nombres, et notamment leur différence, donc p divise 1. Ce qui absurde car p est premier, donc l'hypothèse posée sur IP est fausse, on en déduit qu'il existe une infinité de nombres premiers...
    J'suis d'accord mais il me semble que tu n'as pas justifié que N n'est pas premier si ?
     

  10. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    4 541

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    J'suis d'accord mais il me semble que tu n'as pas justifié que N n'est pas premier si ?
    Si:
    N étant plus grand que n'importe quel élément de IP, N n'appartient pas à IP
    Comme IP est l'ensemble supposé fini des nombres premiers, alors N ne l'est pas.

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.
     

  11. invité576543
    Invité

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Par exemple on peut prouver qu'un sous-ensemble de l'ensemble des nombres premiers est infini ce qui a fortiori prouve que l'ensemble des nombres premiers est infini.
    Quelqu'un connaît-il un ensemble explicite infini de premiers, genre P(n) avec P une formule explicite injective des entiers vers les entiers premiers?

    Cordialement,
     

  12. M I L A S

    Date d'inscription
    juin 2007
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    303

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Il me semble qu'il existe des algorithmes permettant de déterminer les nombres premiers, d'ailleurs c'est le soucis de la cryptographie actuelle, réussir à factoriser un nombre très grand, genre 650650650530000580148111505068 054032106505640654006540252299 898797981330031651964108408421 54154 en un produit de facteurs premiers...

    bon c'est pas le sujet mais c'est important de le dire!
    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."
     

  13. Ledescat

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    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Je doute qu'il existe un tel algorithme si ?
    Car connaissant , il est extrêmement difficile de connaître .
    Cogito ergo sum.
     

  14. M I L A S

    Date d'inscription
    juin 2007
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    Paris
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    303

    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Au moyen des algorithmes de tri non ?
    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."
     

  15. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    Re : Démonstration de l'ensemble des Nombres premiers

    Citation Envoyé par M I L A S Voir le message
    Au moyen des algorithmes de tri non ?
    Je ne sais pas, je préfère me taire plutôt que dire des bêtises.
    Cogito ergo sum.
     


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