[TS+] Equation fonctionnelle

[invitefc60305c]

Bonjour.
Je bloque sur des questions de cet exo, une ptite aide serait la bienvenue ! merci

Soit E l'ensemble des fonctions f : R -> R tq :
f continue sur R.
f s'annule au moins une fois sur R.
R on a

1)a) Mq la fonction nulle est dans E.

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trivial

b) Mq la fonction cos est dans E.

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trivial si on sait que et

c) Si f appartient à E et si t est un réel non nul, mq E

2) On considère une fonction f appartenant à E. Prouver que :
a) f(0) = 0 ou 1.

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Supposons x=y=0 alors 2f(0) = f²(0) donc f(0) = 0 ou 1.

b) si f(0) = 0 alors f = 0.

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Supposons y = 0 alors on a 2f(x) = 0 <=> f(x) = 0

c) si f(0) = 1 alors f paire.

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Supposons alors <=>

d) si f(0) = 1 alors R on a

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Supposons ...

e) si f s'annule en a un réel non nul, alors réel on a
En déduire que f est 4a-périodique.

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Supposons f(0) = 1 donc f paire. Voila c'est tout

Donc voila, je bloque sur la 1)c) et la dernière question 2)e) !

[invite9c9b9968]

Salut,

Je n'ai pas regardé la e), mais j'ai regardé la c. Qu'est-ce qui te bloque exactement dessus ? Rappelle-toi que t est non nul

[invite4793db90]

Salut,

1c), il s'agit de montrer que la fonction g(x)=f(tx) vérifie g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y) sachant que f est dans E...

2e) indice : 2a-x=a+(a-x) et x=a-(a-x)...

Cordialement.

EDIT : encore grillé par Gwyddon !

[invitefc60305c]

Bonsoir et merci d'avoir répondu !

1)c) g(x) = f(tx)
g(y) = f(ty)
g(x+y) = f(tx + fy)
g(x-y) = f(tx - ty)

g(x+y) + g(x-y) = f(tx + fy) + f(tx - fy)
or f appartient à E donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
En posant X = tx et Y = ty avec t réel non nul, on a :
f(tx + fy) + f(tx - fy) = 2f(tx)f(ty)
Donc par transitivité, g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)

Right ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bonsoir et merci d'avoir répondu !

1)c) g(x) = f(tx)
g(y) = f(ty)
g(x+y) = f(tx + fy)
g(x-y) = f(tx - ty)

g(x+y) + g(x-y) = f(tx + fy) + f(tx - fy)
or f appartient à E donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
En posant X = tx et Y = ty avec t réel non nul, on a :
f(tx + fy) + f(tx - fy) = 2f(tx)f(ty)
Donc par transitivité, g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)

Right ?

Oui c'est ça.

[invitec053041c]

Pour la périodicité, tu as f(2a-x)= -f(x)
En changeant x en -x, cela te donne: f(x+2a)=-f(-x)=-f(x) (parité)
Et enfin x+4a=(x+2a)+2a .

[invitefc60305c]

2)e)
2a - x = a + (a-x)
On a : f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
On pose X = a et Y = a-x
Et le tour est joué ! (merci beaucoup Martini !)
Moi j'essayais d'utiliser la parité et f(x) = 2[f(x/2)]² - 1

[invite9c9b9968]

Pour la 1c), tu n'as pas encore tout vérifié... Qu'en est-il de la nullité de la fonction f_t en au moins 1 point ?

[invitec053041c]

Ah bien vu Gwyddon

f s'annule au moins une fois sur R.

Je n'avais pas vu cette condition.

[invitefc60305c]

J'ai un peu de mal à comprendre mais si on prend t=1 ?

[invitec053041c]

Ton t est fixé une bonne fois pour toute. C'est un réel non nul.
Tu sais qu'il existe a tq f(a)=0.
Et ft(x)=f(tx)
Comment arriver à f(a) grâce à ft ?
(n'oublie pas t non nul !)

[invitefc60305c]

Si x = a/t alors f(tx) = f(a) = 0
Or ft(x) = f(tx)
Donc ft(x) = ft(a/t) = 0

Right ?

PS: N'importe quoi mon t=1 ! Il est tard (une bonne excuse ça hein :P)

[invitec053041c]

Oui c'est bien ça.
Après pour la continuité, une composée de fonctions continues sur IR l'est aussi.
Donc ft appartient bien à E.

[invited9092432]

salut,

2)e)
2a - x = a + (a-x)
On a : f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
On pose X = a et Y = a-x
Et le tour est joué !

tu peux développer stp?, parce que j'ai pas fait comme ça .

[invitefc60305c]

f appartient à E.
Donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)

Maintenant on pose X = a et Y = a-x
Ce qui donne : f(a+a-x) + f(a-a+x) = 0
f(2a-x) + f(x) = 0
f(2a-x) = -f(x)

[invited9092432]

f appartient à E.
Donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)

Maintenant on pose X = a et Y = a-x
Ce qui donne : f(a+a-x) + f(a-a+x) = 0
f(2a-x) + f(x) = 0
f(2a-x) = -f(x)

Ah woups ! J'avais oublier le

Prouver que

devant la question: j'avais admis ce résultat pour juste montrer que f était 4a-périodique !

quel clown !, je sors

[invited9092432]

Si déjà j'y suis :

On a (2a-x)+2a=4a-x et (2a-x)-2a=-x

d'où, sachant f(X+Y)+f(X-Y)=2f(X).f(Y), on a :

f(4a-x)+f(-x)=2.f(2a-x).f(2a)

or, f(2a)=2.f(a)²-f(0)=0-1=-1

d'où:

f(4a-x)=2f(x)-f(-x)=f(x) car f est paire. f est périodique de période 4a.

[invitec053041c]

Oui il y a plusieurs manières de montrer qu'elle est 4a-périodique.
J'avais fait quelque chose qui ressemblait à ça:
f(2a-x)=-f(x)
En changeant x en -x, on a f(x+2a)=-f(-x)=-f(x) (parité)
Donc f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-f(x+2a)=f(x)

[FonKy-]

Là tu fais une faute de logique encore assez classique. En effet, il existe , ce qui ne signifie en aucune façon que tu peux le choisir comme tu le fais. Il existe, mais tu ne connais pas a priori sa valeur !

hmm, chui pas d'accord, la il me semble qu'il a le droit. Quelqu'un pour nous departager
Il suppose qu'il existe et lui donne meme une valeur dépendant de Epsilon vu que epsilon est defini juste avant lui. Ensuite il se debrouille pour que ce qu'il affirme apres soit juste, donc je ne trouve pas ca choquant mais je peux effectivement me tromper

FonKy-