[TS+] Equation fonctionnelle

[anonymus]

Bonjour.
Je bloque sur des questions de cet exo, une ptite aide serait la bienvenue ! merci

Soit E l'ensemble des fonctions f : R -> R tq :
f continue sur R.
f s'annule au moins une fois sur R.
R on a

1)a) Mq la fonction nulle est dans E.

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trivial

b) Mq la fonction cos est dans E.

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trivial si on sait que et

c) Si f appartient à E et si t est un réel non nul, mq E

2) On considère une fonction f appartenant à E. Prouver que :
a) f(0) = 0 ou 1.

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Supposons x=y=0 alors 2f(0) = f²(0) donc f(0) = 0 ou 1.

b) si f(0) = 0 alors f = 0.

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Supposons y = 0 alors on a 2f(x) = 0 <=> f(x) = 0

c) si f(0) = 1 alors f paire.

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Supposons alors <=>

d) si f(0) = 1 alors R on a

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Supposons ...

e) si f s'annule en a un réel non nul, alors réel on a
En déduire que f est 4a-périodique.

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Supposons f(0) = 1 donc f paire. Voila c'est tout

Donc voila, je bloque sur la 1)c) et la dernière question 2)e) !

[Gwyddon]

Salut,

Je n'ai pas regardé la e), mais j'ai regardé la c. Qu'est-ce qui te bloque exactement dessus ? Rappelle-toi que t est non nul

[martini_bird]

Salut,

1c), il s'agit de montrer que la fonction g(x)=f(tx) vérifie g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y) sachant que f est dans E...

2e) indice : 2a-x=a+(a-x) et x=a-(a-x)...

Cordialement.

EDIT : encore grillé par Gwyddon !

[anonymus]

Bonsoir et merci d'avoir répondu !

1)c) g(x) = f(tx)
g(y) = f(ty)
g(x+y) = f(tx + fy)
g(x-y) = f(tx - ty)

g(x+y) + g(x-y) = f(tx + fy) + f(tx - fy)
or f appartient à E donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
En posant X = tx et Y = ty avec t réel non nul, on a :
f(tx + fy) + f(tx - fy) = 2f(tx)f(ty)
Donc par transitivité, g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)

Right ?

[Ledescat]

Bonsoir et merci d'avoir répondu !

1)c) g(x) = f(tx)
g(y) = f(ty)
g(x+y) = f(tx + fy)
g(x-y) = f(tx - ty)

g(x+y) + g(x-y) = f(tx + fy) + f(tx - fy)
or f appartient à E donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
En posant X = tx et Y = ty avec t réel non nul, on a :
f(tx + fy) + f(tx - fy) = 2f(tx)f(ty)
Donc par transitivité, g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)

Right ?

Oui c'est ça.

[Ledescat]

Pour la périodicité, tu as f(2a-x)= -f(x)
En changeant x en -x, cela te donne: f(x+2a)=-f(-x)=-f(x) (parité)
Et enfin x+4a=(x+2a)+2a .

[anonymus]

2)e)
2a - x = a + (a-x)
On a : f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
On pose X = a et Y = a-x
Et le tour est joué ! (merci beaucoup Martini !)
Moi j'essayais d'utiliser la parité et f(x) = 2[f(x/2)]² - 1

[Gwyddon]

Pour la 1c), tu n'as pas encore tout vérifié... Qu'en est-il de la nullité de la fonction f_t en au moins 1 point ?

[Ledescat]

Ah bien vu Gwyddon

f s'annule au moins une fois sur R.

Je n'avais pas vu cette condition.

[anonymus]

J'ai un peu de mal à comprendre mais si on prend t=1 ?

[Ledescat]

Ton t est fixé une bonne fois pour toute. C'est un réel non nul.
Tu sais qu'il existe a tq f(a)=0.
Et ft(x)=f(tx)
Comment arriver à f(a) grâce à ft ?
(n'oublie pas t non nul !)

[anonymus]

Si x = a/t alors f(tx) = f(a) = 0
Or ft(x) = f(tx)
Donc ft(x) = ft(a/t) = 0

Right ?

PS: N'importe quoi mon t=1 ! Il est tard (une bonne excuse ça hein :P)

[Ledescat]

Oui c'est bien ça.
Après pour la continuité, une composée de fonctions continues sur IR l'est aussi.
Donc ft appartient bien à E.

[anonymus]

Oki ! Merci beaucoup pour ton (et aussi Gwyddon et Martini) aide !
Si jamais t'as des exos assez dur (genre de prépa) faisables par un TS (et aussi du temps à me consacrer), n'hésite pas à les poster stp !
Enfin c'est beaucoup demandé surtout pendant les vacs...

[Ledescat]

Enfin c'est beaucoup demandé surtout pendant les vacs...

Non pas du tout . Si j'en trouve j'en posterai.

EDIT: on a répondu sur tes fonctions périodiques, il manque juste un petit truc pour la 2.