Limites de l'expression: x+sin²(x)

[Laurerual]

Me revoilà avec ma fichue fonction: f(x)= x+sin²(x).

Dans la question 1, j'ai montré que: x<(ou égal) f(x)<(ou égal) x+1 et que f(x)+pi= f(x+pi).

Dans la question2, on me demande d'en déduire les limites de f(x) quand x tend vers + l'infini et - l'infini sauf que j'ai lu que sin(x) n'avait pas de limites. Comment traiter ça?

Me servir de l'inéquation?

[Tonton Nano]

Bonjour,

Connais-tu le théorème d'encadrement (ou des gendarmes) ?
La limite de x et de x+1 quand x tend vers +inf est la même ...

[Laurerual]

Je l'ai vu l'an dernier. Je vais chercher et l'appliquer. Merci

[Laurerual]

Bon j'ai l'encadrement suivant: x<(ou égal) f(x)<(ou égal) x+1.

Quand x tend vers+ l'infini, la limite est de plus l'infini ainsi que pour x+1 donc d'après le théorème des gendarmes, x+sin²(x) tend aussi vers + l'infini.

Quand x tend vers - l'infini, x+1 tend aussi vers - l'infini donc, d'après le théorème des gendarmes, on a x+sin²(x) qui tend vers - l'infini.

[cypher_2]

Oui c'est correct car le théorème des gendarmes dit que si une fonction f est encadré comme dans ton inéquation, et que si les fonctions encadrant f tendent vers ou et bah logiquement f tend elle aussi dans le même sens. ( cf analogie avec les vrais gendarmes et le voleur )

[Laurerual]

Ensuite, on me demande de trouvers les limites de f(x)/x soit:

(x+sin²(x))/x. Et là, j'ai un trou de mémoire! Je peux écrire 1+ sin²'(x)/x?

Ensuite, grâce à l'encadrement, puis je écrire: x/x< f(x)/x< (1+x)/x?

Ce qui me donnerait 1< f(x)/x< 1+ 1/x.

Bizarre non?

[cypher_2]

Oui or les deux fonctions encadrantes tendent vers combien ?

[Laurerual]

En + l'infini vers 1 donc, f(x) tend vers 1.

En - l'infini vers 1, f(x) tends vers 1.

En fait, c'est évident, merci de m'avoir guidé!

[cypher_2]

Pas de problèmes Bonne soirée

EDIT: surtout merci à Tonton Nano , perso j'aurais pas pensé au théroème des gendarmes.

[Nox]

Bonsoir,

Attention tout de même à la rédaction : tu divises par x une inégalité sans changer le sens de ton inégalité ce qui suppose x>0 donc pour la limite en tu dois réecrire en changeant de sens, ce qui aboutit au résultat ici bien sûr, mais qui reste une faute courante ...

Cordialement,

Nox

[Laurerual]

Ah oui exact! J'avais fait la faute! Merci beaucoup!